Глава_7_Приложение_произв
.pdf
|
|
139 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
xn 1 |
|
f xn 1 b xn 1 |
|
(8.4) |
|||||
f |
|
b |
|
f xn 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
при этом замечаем, что в формуле (8.4) точка b фиксируется, т.е. один конец хорды с абсциссой b неподвижен, а другой при каждом приближении меняется. Из
рисунка 8.5 видно, что f b 0 и кривая вогнута, следовательно, f b 0 . |
|
Неподвижным является тот конец хорды где знак f x совпадает со знаком |
|
f x . Если неподвижным является другой конец хорды (Рис 8.6), т.е. f a и |
f a |
имеют одинаковые знаки, то n-е приближение значения корня определяется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
xn 1 |
|
f xn 1 xn 1 a |
|
(8.5) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f xn 1 f a |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Оба итерационных процесса (8.4) и (8.5) сходятся, причем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
x* |
|
|
|
f xn |
|
|
, |
m min |
|
f x |
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
x a;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
x* |
|
|
|
x |
n |
x |
n 1 |
|
, M max |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a;b |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Метод касательных (Метод Ньютона) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пусть |
на |
|
a; b |
|
имеется |
|
единственный |
|
корень уравнения f x 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||
f |
|
a |
|
f |
|
|
|
x |
|
на |
a; b |
|
сохраняет знак. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
b 0 и |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Рис. 8.7 |
Рис.8.8 |
|
Из рисунка 8.7 видно , что если провести касательную к графику функции |
|
y |
f x в точке с абсциссой а ( в этой точке знаки |
f x и f x совпадают) то |
абсцисса точки пересечения касательной с осью ОХ будет первым приближением корня уравнения. Касательная, проведенная в точке с абсциссой b, может пересечь ось абсцисс в точке, не принадлежащей a; b (в этой точки знаки f x и f x противоположны).
Запишем уравнение касательной к графику функции y f x в той точке, где f x и f x имеют одинаковые знаки. В случае, изображенном на рисунке 8.7 это
точка а. Общее уравнение касательной:
y f a f a x a
140
Найдем точку пересечения касательной с осью ОХ |
|
|
|
||||||||||
y f |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
f a |
|||
|
|
f |
|
x a |
x a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
a |
|
|
Полученное значение есть первое приближение корня. Второе приближение получаем в ходе итерационного процесса
|
x x |
|
|
|
f x1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
1 |
|
|
f x1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
повторяя вычисления получаем формулы |
|
|
f xn 1 |
|
|
|
||||
|
xn xn 1 |
|
n N , |
|||||||
|
f xn 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a, |
f a f c 0, |
|
|||||||
|
|
|
f a f c 0, |
|
||||||
x0 |
b, |
|
|
|||||||
|
|
|
f c 0, |
|
|
|
||||
|
c, |
|
|
|
|
|||||
где |
c a |
b a f a |
. Тогда последовательность |
приближений x |
|
сходится к |
||||||||||||||||||||||||||||
f b f a |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
корню x * при n и для n N справедливы неравенства: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x* |
|
|
|
f xn |
|
|
|
|
x* |
|
|
M |
x |
|
x |
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
, |
x |
n |
|
1 |
n |
n 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
2m |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
m min |
|
f x |
|
; |
M1 |
max |
|
f x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x a;b |
|
|
|
|
|
|
|
x a;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Случай, когда вторая производная совпадает по знаку со значением функции в точке b, можно проиллюстрировать рисунком 8.8.
141
Список литературы
1.Аксенов А.П. Математика. Математический анализ. Ч.1. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. — 614 с.
2.Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. — 3 изд., переработ. и доп. — М.: Дрофа, 2003. — 640 с.
3.Банах С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука,
1972. — 424 с.
4.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. — 9 изд. —М.: Издательство Физико-математической литературы,
2003. — 800 с.
5.Берс Л. Математический анализ. Т. I. Перевод с анг. — М., «Высш.
школа», 1975. — 519 с.
6.Богданов Ю.С., Кастрица О.А., Сыроид Ю.Б. Математический анализ. —
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. — 351 с.
7.Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А.
Математический анализ в вопросах и задачах. 6-е изд. — СПб.: «Лань», 2008.— 480 с.
8.Веричев С.Н., Корабельникова Г.Б., Максименко В.Н., Шалагинов А.А.,
Шварц Э.Б. Математический анализ в примерах и задачах. Часть 1. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. — 140 с.
9.Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. В 3 т. Т.1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 672 с.
10.Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ. Ч.1. — Мн.:
Выш. шк., 1989. — 287 с.
11.Долгих В.Я. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной и многих переменных. Часть I: — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. — 560 с.
12.Долгих В.Я, Корабельникова Г.Б., Шварц Э.Б. Математический анализ в примерах и задачах. Часть 2. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. — 199 с.
13.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. — СПб.: Издательство «Лань», 5-е изд. стер. 2009. — 464 с.
14.Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч.1. Введение
ванализ и дифференциальное исчисление. — Минск: Выш. шк., 2006. — 309 с.
15.Злобина С.В., Посицельская Л.Н. Математический анализ в задачах и упражнениях. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 360 с.
16.Зорич В.А., Математический анализ. — Часть I. — Изд. 4-е испр. —М.:
МЦНМО, 2002. — 664 с.
17.Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного переменного. — 2-е изд., стереотип. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.
— 408 с.
18.Ивашев – Мусатов О.С. Начала математического анализа. Изд. 7-е. —
М.: Лань, 2009.— 256 с.
19.Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. — 3
изд., переработ. и доп. В 2 ч. Ч.1 — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004. — 672 с.
20.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х частях часть 1. 7-е издание. — М.: Физматлит, 2009. — 648 с.
142
21.Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т.1. — 2-е изд., испр. и
доп. — М.: Изд-во МГУ, 2001. —432 с.
22.Карасев В.А., Лёвшина Г.Д. Математический анализ. Часть 1. Дифференциальное исчисление. — М.: Илекса, 2011. — 296 с.
23.Киркинский А.С. Математический анализ. — М.: Академический проспект, 2006. — 526 с.
24.КоровкинП.П. Математический анализ. — М.: Просвещение, 1974, — 464
с.
25.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. — М.: Наука. Гл.
ред. Физ.-мат. лит. 1989. — 736 с.
26.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 томах. Т.1 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. — М.: Дрофа. 2008 — 704 с.
27.Ландау Э. Введение в дифференциальное и интегральное исчисление: пер. с нем. Изд. 3-е. — М.: КомКнига 2010. — 456 с.
28.Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной. 3-е изд. стер. — СПб.: Издательство «Лань»,
2008. — 400 с.
29.Мордкович А.Г., Солодовников А.С. Математический анализ. — М.:
Вербум-М, 2000. — 416 с.
30.Морозова В.Д. Введение в анализ. — 2-е изд., стереотип. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. — 408 с.
31.Натанзон С.М., Краткий курс математического анализа. — 2-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2008. — 96 с.
32.Никольский С.М. Курс математического анализа. — 6-е изд. стереотип. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. —592 с.
33.Очан Ю.С., Шнейдер В.Е. Математический анализ. — М.: Учпедгиз,
1964. — 976 с.
34.Пилидии В.С. Математический анализ. — Ростов н/Д: Феникс, 2009. —
239 с.
35.Пухначев Ю.В. Семь семинаров по математическому анализу. — М.: Физматкнига, 2005. — 592 с.
36.Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч.1, кн. 1 — Новосибирск: Из-во Ин-та математики, 1999. —454 с.
37.Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч.1, кн. 2 — Новосибирск: Из-во Ин-та математики, 1999. —512 с.
38.Сабитов К.Б., Сабитова Ю.К., Основные элементарные функции. — М.:
Высш. шк., 2010. — 175 с.
39.Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. — 2-е изд. —М.: Физматлит: Лаборатория Базовых знаний, 2003. — 672 с.
40.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т I. 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 680 с.
41.Хаусдорф Ф., Теория множеств: пер. с нем. Изд. 5-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2019. — 304 с.
42.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3 т. Т. 1. — СПб.: Политехника, 2003. — 703 с.
43.Шибинский В.М. Примеры и контпримеры в курсе математического анализа. — М.: Высш. шк. 2007. — 543 с.
143
44.Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. Часть 1: — 2-е изд. перераб. и доп. — М.: Издательство Физико-математической литературы, 2004. — 340 с.
45.Adams A., Calculus. A Complete Course. Fifth edition. — Toronto: Pearson Education Canada Inc., 2003. — 1045 p.