Глава_7_Приложение_произв

129

Рис. 4.6

§5 Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что расстояния между точками графика и точками некоторой прямой бесконечно малы. Такую прямую принято называть асимптотой графика.

Определение 5.1 Асимптотой графика функции называется такая прямая, для которой расстояние между графиком и точкой прямой, стремится к нулю по мере удаления точки от начала координат.

можно представить в виде f x kx b x , где x 0 при x x . Теорема 5.1. Для того, чтобы график функции y f x имел наклонную

асимптоту y kx b , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:

графика функции y f x . Тогда функцию можно представить в виде

130

f x kx b x

где x 0 при x . Следовательно,

Достаточность. Пусть существуют пределы (5.1) тогда по свойствам предела функции получаем

f x kx b x f x kx b x

b lim f (x) kx 0

x

Других асимптот нет. Напомним, что график кривой имеет специальное название «Локон Аньези»

В точке x 1 функция терпит разрыв. Найдем односторонние пределы

Следовательно, прямая x 1 является вертикальной асимптотой. Ищем параметры наклонной асимптоты

133

Рис. 6.2

§7 Интерполирование функций

Под интерполированием функции y f x на отрезке [a;b] понимают восстановление этой функции с заданной степенью точности по таблице n ее значений на [a;b] :

Рис. 7.1

Многочлен Pn x называют интерполяционным многочленом степени n функции f x на [a;b]. Для определения неизвестных коэффициентов многочлена Pn x используем условия (7.2)

134

Получим систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными. Определитель этой системы

xnn xnn 1 ... 1

если x0 , x1 ,..., xn различны. Можно доказать, что он равен

xi x j .

0 i j n

Так определитель второго порядка

и т.д. Значит система (7.3) имеет единственное решение. Следовательно существует единственный интерполяционный многочлен Pn x , коэффициенты которого определяются из системы (7.3). Однако определение этих коэффициентов из системы (7.3) связано с громоздкими вычислениями. Для упрощения выкладок будем искать интерполяционный многочлен в виде

Pn x a0 x x1 x x2 ... x xn a1 x x0 x x2 ... x xn a2 x x0 x x1 x x3 ... x xn... an x x0 ... x xn 1 .

Будем полагать в последнем равенстве x xi i 0,1,2,..., n и учитывать

137

На примере видно, что приближенные значения корней изолированы на

отрезках x1* a; c1 , x2* c1; c2 , x3* c2 ; c3 , x4* c4 ;b

пересечения этих графиков и будут корнями уравнения (8.1) Рис. 8.2. Промежутки изоляции корней можно получать аналитически, используя теоремы о свойствах функций (непрерывных на отрезке).

Уравнение имеет на a; b единственный корень, если

1)функция y f x непрерывна на a; b ;

2)f a f b 0 ;

3)f x сохраняет знак на a; b .

Пример 8.1. Найти изоляции действительных корней уравнения x3 x 1 0 .

Воспользуемся графическим методом отделения корней : построим графики функций y x 3 и y 1 x . Придем к выводу, что корень принадлежит промежутку

[0;1] (Рис. 8.3).

Уточнение корня. Постанова задачи.

Задача отыскания приближенного значения корня с заданной точностью сводится к нахождению отрезка a; b b a , содержащего только один корень

уравнения (8.1). Эту задачу называют задачей уточнения корня.

Метод половинного деления.

отрезок изоляции корня сузили вдвое (Рис. 8.4).

138

Если b c , то искомый корень уравнения найден с заданной точностью и любое число из c; b можно считать его значением. В противном случае процесс деления пополам можно продолжать.

В методе половинного деления погрешность решения находится в прямой зависимости от числа деления отрезка пополам. При n делениях погрешность равна

b a

2n . Поэтому если произвести достаточно много делений, то искомый корень

можно вычислить с любой степенью точности. Рассмотренный метод удобен еще и тем . что в нем используются однотипные вычисления, поэтому он удобен при реализации вычислений на ЭВМ.

продолжая этот процесс, получим n-е приближение значения корня уравнения: