Вопросы и Ответы коллоквиума №1

3

Ответ: Микрочастицы проявляют корпускулярно-волновой дуализм. Поэтому координата микрочастицы и соответствующая ей проекция импульса одновременно не существуют. Это принципиально новое свойство микрочастиц по существу и приводит к специфическим свойствам микромира. Другая принципиальная особенность микромира состоит в том, что объекты микромира не могут наблюдаться с помощью органов чувств. Вся информация о микрообъектах получается с помощью приборов. Наблюдение же за микрообъектом изменяет его поведение. Эта особенность микромира заставляет (по Дираку) отказываться от наглядных моделей микросистем и определять микрообъекты на основе результатов измерений. В квантовой механике свойство микрообъектов изменять своё поведение под воздействием прибора специально учтено.

4. Что в микромире понимают под прибором?

Ответ: Приборэто макроскопическая система, которая, взаимодействуя с микрообъектом, даёт макроскопический сигнал: отклонение стрелки, след на фотопластинке, звук, след в камере Вильсона и т.д.

5. Что в микромире понимают под измерением ?

Ответ: Измерение – это любое взаимодействие макроскопического объекта и микрообъекта, в результате которого возникает макроскопический сигнал.

6. Почему понятие микрочастицы в квантовой теории определяется на основе результатов измерений?

Ответ: Измерение - единственный источник информации о микрообъектах. Поэтому для определения микрообъектов квантовая механика использует только те понятия, которые основаны на измерениях, и только те величины, которые экспериментально измеримы.

7. Что такое электрон? Протон? Нейтрон? Ядро атома?

Ответ: Электрон - это микрообъект, масса покоя которого m=9,1·10-31кг; электрический заряд e=-1,6·10-19Кл; проекция спина на

некоторое выделенное направление равна sz = ± 1 , и т.д. Протон, нейтрон

2

или ядро атома определяются аналогично.

8. Почему квантовая теория пользуется вероятностным описанием поведения микрочастиц?

5

макроскопических объектов, в микромире одновременно не существуют. В качестве примера таких пар величин можно назвать координаты и импульсы микрочастицы.

16.Сформулируйте постулат о состоянии квантовой системы. Что такое волновая функция? От чего она зависит?

Ответ: Состояние микрочастицы или какой– либо квантовой системы описывается вспомогательной функцией Ψ, называемой волновой. Это положение называется постулатом о состоянии микрочастицы или квантовой системы. Знание волновой функции позволяет вычислить любую физическую величину, характеризующую квантовую систему и вероятность появления этой величины в любой заданный момент времени, если эта величина может быть измерена (то есть, существует). Волновая функция может содержать в качестве переменных, от которых она зависит, столько пространственно-временных и (или) импульсноэнергетических переменных, сколько может быть найдено операторов, коммутирующих между собой и с гамильтонианом системы.

17.Почему волновые свойства частиц обнаружены в явлениях атомного масштаба? Можно ли в рамках квантовой теории описывать движения макротел? Вселенной?

Ответ: По формуле длины волны де Бройля λ = h / mv, где h- постоянная Планка, m- масса, а ν- скорость частицы, нетрудно подсчитать длину волны мяча массой 0,1кг, движущегося со скоростью 10 м/c: λ =6,62·10-25нм. Эта длина волны не может быть зафиксирована приборами по малости, в то время, как длина волны электрона, движущегося со скоростью 100 км/c составляет величину λ ≈7нм, соответствующую рентгеновскому излучению, которое может быть зафиксировано приборами.

Движение макротел принципиально можно описать в квантовой теории, но это описание громоздко и им никто не пользуется.

Эволюция же Вселенной является предметом исследования и интерпретации квантовой теории.

18. Что означают координаты x, y, z в волновой функции ψ (х, y, z). Чем эти координаты отличаются от координат частицы в макромире?

Ответ: Координаты, от которых зависят волновые функции микрообъектов, являются не координатами самих объектов, а координатами точек пространства. В отличие от координат в макромире,

координаты, определяющие волновую функцию, являются независимыми переменными, в том числе и от времени. Эти координаты выбираются по усмотрению исследователя. Смысл этого в том, что в выбранной точке волновая функция позволяет найти плотность вероятности пребывания частицы.

19. Как в квантовой механике понимается классическое выражение “ Частица движется”?

Ответ: В микромире частицы не движутся по траектории. Поскольку волновые функции частицы непрерывны и определены в каждой точке

6

пространства в каждый момент времени, то существует ненулевая вероятность найти частицу в объёме V, окружающем выбранную произвольно точку c координатами x, y, z в каждый из моментов времени. Эта вероятность определяется выражением:

W (t) = ∫ Ψ (x, y, z, t)Ψ(x, y, z, t)dV

(V )

Для бесконечно-малого объёма dV эта вероятность определяется так:

dW (x, y, z,t) = Ψ (x, y, z,t)Ψ(x, y, z,t)dV

Обе эти вероятности зависят от времени. Таким образом, под движением микрочастицы понимается движение (изменение) её вероятности в пространстве и во времени.

20.Волновая функция позволяет получить полную информацию о квантовой системе. Что это значит?

Ответ: Это значит, что, используя известную волновую функцию, можно рассчитать все величины, которые можно найти экспериментально, и вероятности их появления.

21.Может ли квантовая частица покоиться? Почему?

Ответ: Не может. Это противоречило бы принципу неопределённости. Действительно, у покоящейся частицы одновременно определённые значения имеют координаты и компоненты скорости (импульса).

22. Обязательно ли использование ψ-функции в аппарате квантовой механики? Всегда ли ψ-функции имеют математический вид волн? Приведите примеры, подтверждающие Ваши утверждения.

Ответ: Целой замкнутой системе всегда может быть сопоставлена волновая функция. Однако если попытаться целую неразделимую систему представить себе состоящей из двух подсистем А и В, то оказывается, что каждую из подсистем, строго говоря, уже нельзя описать волновой функцией. Примером такой системы может служить молекула, находящаяся в термодинамическом равновесии с окружающим её газом.

Для описания состояния такой молекулы необходимо использовать более сложный математический объект, называемый матрицей плотности.

Волновые функции не обязательно имеют математический вид волн. Например, волновая функция единственного электрона атома водорода в нижнем (основном) 1s -энергетическом состоянии имеет вид:

ψ1s = Ke−r a ,

где К=const; a-радиус первой Боровской орбиты, r-сферическая координата. Эта функция, конечно же, не волна но по-прежнему называется волновой.

23. Каким условиям должна удовлетворять волновая функция частицы? Какой физический смысл имеют стандартные условия: непрерывности, однозначности, ортогональности, нормированности ψ ?

7

Ответ: Волновая функция должна быть однозначной, непрерывной, конечной во всей области определения, двукратно дифференцируемой, а на бесконечности обращаться в нуль. Эти условия, называемые стандартными, необходимы по физическому смыслу волновой функции. Непрерывность волновой функции необходима для того, чтобы микрочастица или система имела вероятность быть найденной в бесконечно малом объёме, окружающем любую точку пространства. Однозначность волновой функции необходима для того чтобы каждой точке пространства могло соответствовать только одно значение вероятности. Конечность и равенство нулю волновой функции на бесконечности обеспечивает значения вероятности пребывания частицы в пространстве между нулём и единицей. Двукратная дифференцируемость волновой функции необходима для того, чтобы выполнялось уравнение Шрёдингера. Нормированность волновой функции обеспечивает значения вероятности между нулём и единицей.

24.Какой физический смысл можно увидеть в том, что ψ-функция свободной частицы не нормируется обычным образом? Какой физический смысл в нормировке волн Де Бройля по Борну?

Ответ: Свободная частица – это абстракция. Реальность не содержит свободных частиц. Поэтому, волновая функция свободной частицы (волна де Бройля), как волновая функция, описывающая несуществующую в реальности частицу, не нормируется обычным образом. Способ нормировки волн де Бройля, предложенный М. Борном, рассматривает движение частицы

вискривлённом пространстве, неявным образом вводит движение частицы в гравитационном поле. Эта модель ближе к реальности и потому позволяет нормировать волновую функцию.

25.Сформулируйте принцип суперпозиции полей, волн, сил и т.д.

Ответ: Если векторное поле образовано двумя векторными полями, то

вектор результирующего поля в каждой его точке находится геометрическим сложением векторов составляющих полей в каждой точке. Аналогичные формулировки могут быть даны для суперпозиции векторов сил, скоростей, ускорений и т.д.

26. Пусть r - расстояние до некоторой фиксированной точки, которое может принимать значения от 0 до ∞. Волновая функция частицы имеет

вид Aeαr. Любые ли значения r допустимы?

Ответ: Ответ зависит от значения α . Если α <0 или α - мнимая величина, r- может принимать любые положительные значения.

27. Может ли функция er быть волновой функцией? А функция eir? Почему? Может ли функция аrcsin x быть волновой функцией?

Ответ: На первые два вопроса ответ см. в вопросе 26. Функция arcsin x может быть волновой функцией, если ограничить эту функцию так, чтобы была обеспечена её однозначность. Для этого должно выполняться условие:

0 ≤ arcsin x ≤ 2π .

8

28. Пусть α - угол, определяющий положение точки на окружности.

Нужны ли какие-либо ограничения на функцию ψ= eiαm , чтобы она могла быть волновой функцией? m=±1, ±2,...

Ответ: Необходимость обеспечения однозначности волновой функции заставляет потребовать её периодичности:

eimα = eim(α +2π )

При декларированных в условии задачи значениях m этот критерий выполняется автоматически.

29. Какое выражение характеризует плотность вероятности ρ (x, y, z) найти частицу с координатами x, y, z?

Ответ: ρ (x, y, z) =ψ (x, y, z)ψ (x, y, z) = ψ (x, y, z) 2 .

30. Чем отличается плотность вероятности от вероятности? Какова вероятность найти частицу в точке x0, y0, z0? А плотность вероятности?

Ответ: Элементарная вероятность dW (x, y, z) определяется выражением: dW (x, y, z) = ρ (x, y, z)dV . В точке x0 , y0 , z0 объём dV = 0. Поэтому вероятность найти микрочастицу в точке всегда равна нулю. Плотность же вероятности характеризует ненулевую вероятность найти микрочастицу в единице объёма, окружающего точку с выбранными координатами x,y,z.

31. Какие эксперименты указывают на невозможность классического описания движения микрочастицы?

Ответ: Назовём 1. эксперименты по фотоэффекту, которые обнаружили

а. его «непонятную» безинерционность; б. так называемую «красную границу» фотоэффекта;

в. независимость фотоэффекта от интенсивности падающего

света.

2.опыты Дэвиссона и Джермера по рассеянию электронов на кристаллах, продемонстрировавших их волновые свойства.

3.эффект Комптона по увеличению длины волны коротковолнового излучения, наблюдаемый при рассеянии рентгеновских лучей на электронах лёгких атомов, продемонстрировавшие корпускулярные свойства излучения.

32. Состояние микрочастицы характеризуется волновой функцией

Ψ = А exp i px.

Какая из следующих функций (1, 2) описывает другое состояние

Ответ: Функция (32.1). Этой функции соответствует другое ( p′ ¹ p )

постоянное значение импульса.

33. Для чего введен принцип суперпозиции состояний в квантовой механике?

Ответ: Принцип суперпозиции состояний был введён для того, чтобы устранить противоречие между корпускулярным и волновым описанием явлений.

Этот принцип позволил проанализировать волновые явления в терминах корпускулярных представлений. Например, наука столкнулась с необходимостью объяснить такие типичные волновые явления, как дифракция электронов, интерференция фотонов, прохождение фотона через поляризатор и т.д. При этом пришлось отказаться от некоторых классических понятий, таких, например, как лапласовский детерминизм, траектория движения микрочастиц, импульс частицы в точке и др., неприменимых к микропроцессам. Тем самым принцип суперпозиции

34.Какой математический смысл имеет утверждение, что умножение волновой функции на любую постоянную С не меняет состояние системы?

Ответ: Волновая функция может рассматриваться как вектор в Гильбертовом пространстве. Тогда утверждение принципа суперпозиции о том, что умножение волновой функции на любое постоянное число С не меняет состояние системы означает, что состояние микросистемы определяется только направлением, а не длиной вектора. Это утверждение важно в том отношении, что позволяет проводить нормировку волновой функции умножением её на нормировочный множитель.

35.Будет ли суперпозиция двух разных волн Де Бройля описывать состояние с определенным импульсом и энергией?

Ответ: Суперпозицию

невозможно представить в виде одной экспоненты с одним значением импульса и энергии.

2. ОПЕРАТОРЫ

10

36. Почему математический аппарат квантовой механики использует операторы? Что называется оператором? Сформулируйте постулат об операторах.

Ответ: Вероятностное поведение объектов микромира приводит к необходимости вычислять средние значения различных физических величин. Вычисление средних значений физических величин, зависящих от одной группы переменных, через волновые функции, зависящие от другой группы переменных, приводит к появлению операторов. Например, вычисление среднего значения вектора импульса через волновые функции, зависящие от координат, приводит к необходимости использования оператора импульса:

p = ∫ Y (r ) (-i Ñ) Y(r )dV

.

operator

Оператор L- это символ, устанавливающий соответствие между функциями или между векторами. Символически это можно записать так:

ϕ (x) = Lψ (x)

или

= L −

В квантовой механике принимается следующий постулат: «Каждой

динамической переменной классической механики, в квантовой механике сопоставляется линейный, самосопряжённый оператор». Этот переход от величин к операторам называют первичным квантованием.

37. Почему операторы квантовой механики должны быть линейными?

Ответ: Линейность операторов необходима для того, чтобы выполнялся принцип суперпозиции. В частности, для того, чтобы волновые функции ψ

иcψ описывали одно и то же состояние.

39.Почему операторы квантовой механики должны быть эрмитовыми?

Ответ: Эрмитовость (самосопряжённость) операторов квантовой механики необходима потому, что только операторы этого класса приводят к действительным средним значениям физических величин.

48. Коммутирует ли гамильтониан частицы с оператором импульса, оператором потенциальной энергии?

Ответ:

В общем случае не коммутирует, так как оператор потенциальной энергии, являющийся функцией координат и являющийся составной частью гамильтониана, не коммутирует с оператором импульса. Только гамильтониан свободной частицы (то есть, оператор кинетической энергии) коммутирует с оператором импульса. Так как оператор кинетической энергии всегда входит в состав гамильтониана и не коммутирует с оператором координаты, гамильтониан не коммутирует с оператором потенциальной энергии, за исключением случая, когда оператор

постоянен € =

U (x) : U (x) const