Вопросы и Ответы коллоквиума №1
.pdf11
3.ИЗМЕРЕНИЯ. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
49.Сформулируйте постулат об измерении.
50.Пусть микрочастица находится в состоянии ψ . Какова должна быть эта функция, чтобы некоторая физическая величина L в результате измерения не давала разброса значений?
Ответ: Физическая величина L будет иметь определённое значение, если состояние, в котором находится микрочастица, является собственной функцией оператора соответствующей физической величины.
51.Как узнать теоретически, дает ли в состоянии ψ величина L разброс значений?
Ответ: Надо подействовать оператором € на функцию ψ и выяснить,
L
является ли она собственной функцией этого оператора. Если является собственной функцией, разброса значений при измерениях не будет.
52. Пусть при единичном измерении интересующей нас величины L мы получили значение L=Lk. Можно ли на основании этого утверждать, что до этого измерения частица находилась в таком состоянии, что L равнялась
Lk?
Ответ: Нет, нельзя. Существует неравная нулю вероятность получить при измерении значение L=Lk, даже если система находится в произвольном состоянии, не совпадающем ни с одним собственным состоянием системы.
53. Пусть частица находится в состоянии ψ (x,t), а функции ϕ n(x)
являются собственными функциями некоторого оператора Lɵ . Запишем разложение:
ψ(x, t) = ∑cn ϕ n (x) . |
(53.1) |
n |
|
Ответьте:
а) зависят ли коэффициенты Сn от х? б) зависят ли коэффициенты Сn от t?
в) какой физический смысл имеют коэффициенты Сn? г) как из (1) выразить Сn?
д) каковы математические основы записи (1)? е) что является физической основой записи (1)?
Ответ:
г) По теореме обращения интеграла Фурье коэффициент Сn определяется выражением:
Сn (t) = ∫ψ (x, t)ϕn (x)dx |
(53.2) |
Из вида интеграла ясно, что
а) коэффициенты Сn не зависят от x; б) коэффициенты Сn зависят от t;
12
д) математическую основу записи (1) составляет возможность разложения
вектора ψ по базису {ϕ} ;
е) физической основой записи (1) является принцип суперпозиции со-
|
стояний; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
квадрат модуля |
|
|
Сn (t) |
|
2 |
равен |
вероятности ωn получить при |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
измерении величину Ln . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
54. |
Частица находится в состоянии |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ψ(x, t) = |
1 |
|
ϕ1 (x, t)+ |
1 |
|
ϕ |
4 |
(x, t)+ |
1 |
|
ϕ |
6 (x, t), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
где ϕn (x, t) - собственные функции оператора Lɵ .
Ответьте:
а) какие величины будут получаться при измерении L?
б) какова вероятность получить при измерении значения L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7?
Ответ:
а) Только величины L1, L4 или L6.
б) Вероятность ωn получить при измерении величину Ln равна квадрату модуля коэффициента разложения состояния ψ (x, t) по базису {ϕ} . Таким
образом, для искомых вероятностей получаем значения:
ω1 =1 / 2; ω2 = ω3 =ω5 = ω7 = 0; ω4 =1 / 3; ω6 =1 / 6.
55. Волновая функция частицы не удовлетворяет уравнению
Lɵψ(x, t) = Lψ(x, t).
Может ли в результате измерения получиться величина Lk? С какой вероятностью?
Ответ: Может, если в разложении состояния ψ (x, t) по базису
€ |
с ненулевым коэффициентом |
||||
{ϕ} собственных функций оператора L |
|||||
разложения Сk встретится слагаемое Сkϕk . |
В этом случае вероятность ωk |
||||
получить при измерении величину Lk будет равна ωk = |
|
Сk |
|
2 . |
|
|
|
||||
52. Общей собственной функцией операторов Мɵ 2 и Мɵ z электрона в атоме является функция:
( |
ϕ |
) |
|
|
|
( |
2iϕ |
) |
. |
|
2 |
|
|||||||
ψ |
|
= 1 |
|
exp |
|
||||
13
Каковы следствия этого факта? Каков будет результат измеренияМɵ 2 и
Мɵ z ?
Ответ: Отметим два следствия этого факта:
1)операторы Мɵ 2 и Мɵ z коммутируют;
2)Величины М 2 и M z одновременно существуют и могут быть измерены одновременно точно.
Поскольку |
|
собственная функция оператора |
ɵ |
имеет вид |
|
Мz |
|||
ψm (ϕ) = (1/ |
|
)eimϕ , а в данном случае m=2, то M z |
= m = 2 , l =m=2, |
|
2 |
||||
аM 2 = 2l(l +1) = 6 2 .
53.Пусть величина в некотором состоянии может принимать два значения - L1 и L2. Будут ли вероятности их одинаковы?
Ответ: Однозначного ответа не существует. Всё зависит от волновой функции микрообъекта. Если коэффициенты разложения волновой функции
€ |
= C2 ), |
то |
по собственным функциям оператора L будут равны ( C1 |
||
вероятности определения величин L1 и L2 будут равны. |
|
|
54.Можно ли одновременно точно измерить полную энергию частицы Е
иее потенциальную энергию U? Кинетическую энергию Т и потенциальную
U?
Ответ: Поскольку операторы пар величин Е и U, T и U не коммутируют (см. также задачу 48), то названные пары величин относятся к канонически сопряжённым и не могут быть измерены одновременно точно.
55.Могут ли одновременно точные значения иметь величины x и pх?
Ответ: В задаче 46а показано, что операторы x€ и p€ x не коммутируют.
Поэтому величины x |
и |
px не могут иметь одновременно определённых |
|||||||||||||||
значений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бройля ψ p (r ) = |
|
1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
pr |
|
|||||
|
82. |
Как |
|
показать, |
что волна де |
|
|
|
является |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
||||
собственной |
функцией |
оператора |
кинетической энергии |
частицы |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = - |
|
|
|
Ñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Учитывая, что действие оператора Ñ на функцию аналогично действию
€ |
|
оператора дифференцирования, прямым действием оператора T |
на функцию ψ p (r ) |
получаем |
|
14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
pr |
|||||||||
- |
|
|
2 |
|
Ñ 2ψ p |
(r ) = - |
|
|
2 |
Ñ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 m |
|
L3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
i |
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pr |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pÑe |
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
L3 2 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
L3 |
2m |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i |
|
pr |
|
|
|||||||||
= - |
|
|
|
2 |
Ñ |
Ñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|||||||
|
i |
|
|
|
pr |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
pr |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
p |
|
pe |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, действительно волна де Бройля является собственной функцией оператора кинетической энергии с собственным значением p2 
2m .
83. Каков физический смысл вырождения состояний оператора кинетической энергии?
87. В чём состоит физический смысл вырождения собственных функций оператора Мɵ 2 ?
5. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ СО ВРЕМЕНЕМ
99. Запишите гамильтониан для следующих микросистем:
а) Li, |
|
|
б) Be, |
|
|
|
в) Li2, |
|
г) |
Ве2+ , |
|
|
|
|
|
|
е) Н2О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
€ |
|
|
|
2 3 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
3e2 |
|
|
|
e2 |
|
|
|
e2 |
|
|
e2 |
|
|
|
|
|||||||||||
а) H Li |
= - |
|
|
|
∑Ñi |
- |
|
|
|
|
|
ÑLi3+ - ∑ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
(99.1) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ri |
|
|
r12 |
|
r13 |
r23 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2m i=1 |
|
|
|
2M Li3+ |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
7 |
2 2 2 Ñ2 |
|
7 2 |
|
Z e2 |
|
|
1 |
|
7 e2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
ZαZβe2 |
|||||||||||||||||||||
г) |
Be2 |
|
|
|
|
∑ i |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
(99.2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
- |
|
α |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
H + =- |
|
|
|
Ñ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2m i=1 |
|
|
|
2 α=1 Mα |
|
i=1 α=1 riα |
|
|
2 i¹j rij |
|
2α¹β |
|
Rαβ |
|||||||||||||||||||||||||||
е) |
HH2O = - |
2 10 |
2 |
- |
2 3 |
Ñ2 |
|
10 3 |
|
Z e2 |
+ |
1 |
10 |
|
e2 |
+ |
1 |
3 |
|
Zα Zβ e2 |
||||||||||||||||||||||||
|
∑Ñi |
|
|
∑ |
|
α |
-∑∑ |
α |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
(99.3) |
||||||||||||||||||||||||||
|
€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2m i=1 |
|
|
2 α =1 Mα |
|
i=1 α=1 riα |
|
|
|
|
2 i¹ j rij |
|
|
2 α¹β |
Rαβ |
|||||||||||||||||||||||||
100. |
|
Покажите, что |
|
точный |
«Шрёдингеровский» |
гамильтониан |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
молекул изомеров одинаков для всех изомеров.
Ответ.
Запишем «Шрёдингеровский» гамильтониан молекулы, содержащей n электронов и N ядер:
H = - |
2 |
n |
2 |
- |
2 N |
Ñ2 |
n N |
Z e2 |
+ |
1 |
n |
' e2 |
+ |
1 |
N |
'Zα Zβ e2 |
||||||
|
∑Ñi |
|
∑ |
α |
-∑∑ |
α |
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
, (100.1) |
|||||||
€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m i=1 |
|
|
2 α=1 Mα |
i=1 α=1 riα |
|
2 i, j |
|
rij |
|
2 α,β |
|
Rαβ |
|||||||||
где штрихи у двойных сумм означают, что индексы суммирования не принимают равных значений. Поскольку символы riα , rij , Rαβ , стоящие в двойных суммах
выражения (96.1)– операторы, то записанный гамильтониан не содержит фиксированных расстояний. Молекулы изомеров имеют одинаковый количественный и качественный состав и одинаковые молекулярные массы. Поэтому их гамильтонианы содержат одни и те же слагаемые, которые могут
15
быть записаны в другой последовательности. Суммарные операторы от таких перестановок не изменяются. Это и доказывает утверждение задачи.
102. Покажите, что:
а) точный гамильтониан молекулы не меняется при перестановке любой пары частиц молекулы;
б) точный гамильтониан левой и правой частей уравнения химической реакции одинаков.
Ответ.
а) При перестановке частиц молекулы, слагаемые в гамильтониане (100.1) только меняются местами, но суммы при этом сохраняются неизменными.
б) Электронно-ядерный состав молекул или других химических частиц реагентов, вступающих в реакцию, и молекул, возникающих в продуктах реакции, одинаков. Отсюда следует, что независимо от природы пар переставляемых частиц в молекулах реагентов или продуктов, в гамильтонианах левой и правой частей уравнения химической реакции слагаемые могут только изменят последовательность в суммах выражения (100.1), но суммы при этом сохраняются неизменными.