3. Определение момента инерции диска относительно оси симметрии методом наклонной плоскости

Цель работы: экспериментальное определение момента инерции на основе параметров вращательного и поступательного движения диска

Приборы и оборудование: диск, наклонная плоскость, секундомер, линейка

Теоретическая часть

Экспериментальная установка для определения момента инерции диска показана на рисунке:

В настоящей работе момент инерции диска радиусом D и массой m определяется экспериментально методом наклонной плоскости. Обозначим АВ=S₁ и ВС=S₂. В начальный момент времени диск находится в точке А и имеет потенциальную энергию mgh₁. Если отпустить диск, то он будет скатываться по наклонной плоскости, совершая работу против сил трения и приобретая кинетическую энергию вращательного и поступательного движений. На основании закона сохранения энергии для точки В можно записать:

Скатываясь с высоты h₁, диск проходит точку В и поднимается до высоты h₂ (h₁ > h₂). Убыль потенциальной энергии на участке АВС равна работе силы трения:

Отсюда сила трения:

Движение диска на участке АВ является равноускоренным (V₀=0), и если пренебречь работой сил трения

Значения линейной и угловой скоростей найдем

; ; ; ;

В итоге

Таким образом, определение момента инерции диска сводится к измерениям диаметра оси вращения диска d, времени движения диска от точки А до точки В, массы диска m, высот h₁ и h₂.

Порядок выполнения работы

1. Установите диск на некоторой высоте h₁ (точка А).

2. Отпустите диск. При помощи секундомера измерьте время t движения диска на участке АВ.

3. Отметьте точку С максимального подъема диска.

4. Измерьте линейкой величины h₁ и h₂.

5. Повторите пункты 1-4 пять раз.

6. Проведите обработку результатов измерений времени как для прямых измерений.

7. Результаты измерений запишите в таблицу

8. Измерьте микрометром диаметр d оси диска.

9. Определите массу диска m с помощью технических весов.

10. Подставьте в расчетную формулу средние значения всех измеренных величин и вычислите величину момента инерции диска I.

11. Измерьте штангенциркулем диаметр диска D и по теоретической формуле вычислите значение момента инерции диска. Проведите оценку погрешностей косвенных измерений величины I_теор.

12. Сравните величины I и I_теор Они должны совпасть в пределах погрешностей эксперимента.

13. Оцените работу сил трения на участке АВС.

Контрольные вопросы и задания

1. Физический смысл момента инерции тела относительно неподвижной оси.

2. Запишите формулы для вычисления моментов инерции материальной точки, диска, тонкого кольца стержня и шара относительно их осей симметрии.

3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

4. Объясните характер движения диска при отсутствии трения.

4. Определение момента инерции тела методом колебаний

Цель работы: уяснить основной закон динамики вращательного движения, научиться применять его к вращательно-колебательному движению, определить момент инерции тела методом колебаний и сравнить его с теоретически рассчитанным значением.

Приборы и оборудование: экспериментальная установка, диск или кольцо (по заданию преподавателя), секундомер, штангенциркуль, весы, микрокалькулятор.

Теоретическая часть

Момент инерции тела является характеристикой инерционных свойств этого тела при вращательном движении. Важно, что при вращательном движении инерционные свойства существенно зависят от того, относительно какой оси вращается тело. Для материальной точки (частицы) момент инерции относительно оси ОО' определяется по формуле

,

где m - масса частицы, r - расстояние от этой частицы до оси ОО'. Если размерами тела нельзя пренебречь по сравнению с расстоянием от разных точек тела до оси, то для определения его момента инерции необходимо тело пред­ставить как совокупность частиц, определить момент инерции для каждой частицы и затем найти сумму моментов инерции всех этих частиц. Таким образом

где n - число частиц, на которое разбито тело. Единица измерения момента инерции (кгм²). Для тел правильной геометрической формы (обруч, кольцо, диск, шар, стержень и др.) момент инерции относительно оси симметрии может быть рассчитан теоретически:

где m - масса тела, R - радиус тела, R₁, и R₂ - внешний и внутренний радиусы кольца, l - длина стержня; для обруча, кольца и диска ось СС' перпендикулярна плоскости фигуры, а для стержня - самому стержню.

Для определения момента инерции тел неправильной формы можно воспользоваться основным законом динамики вращательного движения

Приложив к телу определенный момент силы и измерив то угловое ускорение , которое при этом приобретает тело, можно определить его момент инерции относительно оси ОО'. На рис.1 показана ситуация, когда приложенная к телу сила лежит в плоскости чертежа, а ось вращения ОО' ей перпендикулярна. В этом случае момент силы равен

где r - расстояние от оси до точки приложения силы,  - угол между линией действия силы и отрезком r, - вращающая сила, - плечо силы, т.е. наименьшее расстояние от оси до линии действия силы.

Если угол  = 0, то момент этой силы равен 0, т.к. приложенная сила имеет только перпендикулярную составляющую к оси F_. В общем случае, когда сила не лежит в плоскости чертежа, появляется составляющая этой силы, параллельная оси , которая, как и F_, не оказывает вращающего действия на тело относительно оси ОО'.

Другой способ определения момента инерции тела заключается в том, что тело закрепляют на оси, не проходящей через его центр масс, и определяют период колебаний Т получившегося физического маятника. При малых углах отклонения маятника от положения равновесия ( ≤ 6°) его колебания оказываются близкими к гармоническим, при этом период колебаний Т и циклическая частота  не зависят от амплитуды колебаний, а определяются формой и размерами маятника, его массой m, расстоянием от точки подвеса до центра масс а и ускорением свободного падения g.

Период колебаний Т легко определить, измерив время t для N = 100 колебаний ( ). С учетом этого можно выразить

Для определения момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс , необходимо воспользоваться теоремой Штейнера

После подстановки получим

В данной работе в качестве исследуемого тела используется однородный диск или кольцо (по указанию преподавателя). К цилиндрической боковой по­верхности этих тел прикреплена легкая пластинка, используемая для подвеса диска (кольца) на острые ребра опорных призм подставки, поэтому расстояние от оси подвеса до центра масс а равняется радиусу диска R или половине диаметра (а = R = D/2) (для кольца а = D₁ /2, где D₁ - внешний диаметр).

С учетом этого

Порядок выполнения работы

1. Диск (или кольцо) взвесить на весах с точностью до 0,1 г, рассчитать относительную погрешность, записать результат измерений в виде

2. Штангенциркулем провести 5 раз измерения диаметра диска D и обработать результаты по данных прямых измерений. В случае кольца провести измерения и обработку для внешнего диаметра D₁, а для внутреннего диаметра D₂ ограничиться приборной погрешностью штангенциркуля.

3. Расположить пластинку диска (кольца) на острых ребрах опорных призм подставки, отклонить диск (кольцо) на угол, не превышающий 6° и с помощью секундомера измерить время t для N = 100 полных колебаний.

4. Повторить п.3 не менее 5 раз и провести обработку результатов измерений времени как для прямых измерений.

5. По рабочей формуле рассчитать момент инерции диска (или кольца).

6. Выбрать соотношение для исследуемого Вами тела (диска или кольца) и рассчитать величину момента инерции, которая должна быть согласно теории с учетом геометрических размеров тела. На основании этой формулы получить формулу для относительной погрешности , рассчитать относительную и абсолютную погрешности полученного таким образом значения момента инерции, записать ответ.

7. Сравнить значения момента инерции, полученного экспериментально и рассчитанного на основании геометрических измерений.

Контрольные вопросы и задания

1. Как определяется момент инерции материальной точки и тела относительно оси? Что характеризует эта физическая величина, в чем измеряется?

2. Что позволяет определить теорема Штейнера? Определите, пользуясь теоремой Штейнера, момент инерции шара радиусом R относительно оси, проходящей на расстоянии 4R от центра этого шара.

3. Как находится, что характеризует, в чем измеряется момент силы относительно оси?

4. Основной закон динамики вращательного движения. Как его использовать для определения момента инерции тела?

5. Что собой представляет физический маятник? Почему при определении момента инерции необходимо маятник отклонить на маленький угол?