2. Определение ускорения свободного падения с помощью физического маятника

Цель работы: экспериментальное определение ускорения свободного падения на основе параметров колебательного движения физического маятника

Приборы и оборудование: физический маятник (стержень), секундомер

Теоретическая часть

Свободным падением называется движение тела под действием силы тяжести .

Строго говоря, система отсчета, связанная с Землей, не является инерциальной. Вызвано это тем, что Земля вращается вокруг своей оси и движется ускоренно по орбите относительно инерциальной гелиоцентрической системы отсчета, связанной с Солнцем.

Но в большинстве практических случаев, когда не требуется высокой точности измерений, мы полагаем, что ускорение свободного падения тела массой m обусловлено действием только силы гравитационного притяжения к Земле. Тогда, согласно закону всемирного тяготения она равна:

где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная ( ).

Соответственно, ускорение свободного падения

Модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли одинаков для всех тел, но зависит от географической широты  и высоты h над уровнем моря. На экваторе ( = 0) ускорение g принимает наименьшее значение ~ ; на полюсах ( = 90 ⁰ ) ускорение g равно ~ . На широте ( = 45 ⁰ ) ускорение g составляет ~ .

Ускорение свободного падения убывает при удалении от поверхности Земли по закону

где g_h и g₀ - ускорения свободного падения соответственно на высоте h и у поверхности Земли. Вблизи поверхности Земли h во много раз меньше R и . Вблизи поверхности Земли с подъемом на 1 км ускорение свободного падения убывает приблизительно на 0,03%.

Для измерения ускорения свободного падения в работе используют физический маятник. При отклонении тела от положения равновесия на угол  возникает вращающий момент силы тяжести , стремящийся вернуть тело в положение равновесия. Этот момент относительно оси, проходящий через точку подвеса, равен

где m – масса тела; b – расстояние между точкой подвеса и центром масс тела. Знак « - » означает, что момент и угловое смещение  имеют противоположные направления.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно оси, проходящей через точку подвеса, примет вид

где I – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса. В случае малых колебаний (  0,1 рад  6 ⁰), когда можно принять sin   , это уравнение принимает вид

где

Из решения этого уравнения

следует, что при малых отклонениях от положения равновесия тело совершает гармонические колебания, частота которых  зависит от массы тела, момента инерции тела относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром масс тела. Период колебаний определяется выражением

По измеренному периоду колебаний Т можно найти момент инерции тела относительно оси вращения

Ф изическим маятником в данной работе является стержень длиной l, один конец которого подвижно связан с горизонтальной осью, перпендикулярной стержню.

Момент инерции стержня относительно оси симметрии

Используя теорему Штейнера, можно получить выражение для момента инерции стержня относительно оси подвеса.

Порядок выполнения работы

1. Отклонить физический маятник на небольшой угол (6 – 8 ⁰) и отпустить его. Измерить время N = 30 колебаний.

2. Повторить измерения не менее пяти раз.

3. Провести обработку результатов измерений времени как для прямых измерений.

4. Зная длину физического маятника (длина стержня указана на установке), по формуле

найти среднее значение ускорения свободного падения.

5. Вычислить относительную и абсолютную погрешности косвенных измерений g.

Контрольные вопросы и задания

1. Как зависит ускорение силы тяжести от широты местности на Земле? Как зависит ускорение силы тяжести от высоты тела над поверхностью Земли?

2. Вывести рабочую формулу.

3. Записать основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

4. При какой длине l стержня его период колебаний будет равен 3 с?