Министерство сельского хозяйства РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежский государственный аграрный университет

имени К. Д. Глинки»

Агроинженерный факультет

Кафедра физики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторным работам по физике

Часть 1

для студентов

факультета технологии животноводства и товароведения

очной и заочной форм обучения

Воронеж – 2010

Методические указания составлены доцентом кафедры физики, кандидатом физико-математических наук Поповым И.В.

Рецензент – доцент кафедры физики твердого тела и наноструктур ВГУ, кандидат физико-математических наук Руднев Е.В.

Утверждены на заседании кафедры физики – протокол № 9 от 14 апреля 2010 г.

Печатается по решению методических комиссий:

агроинженерного факультета – протокол № 8 от 30 апреля 2010 г.;

факультета технологии животноводства и товароведения – протокол № 6 от 12 мая 2010 г.

ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ

Лабораторные работы в высшем учебном заведении позволяют:

проиллюстрировать теоретические положения физики;

познакомиться с приборами;

приобрести опыт в проведении экспериментов.

НЕКОТОРЫЕ СОВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Извлечь из работ практикума максимальную пользу можно, только относясь к каждой задаче как к небольшой самостоятельной работе. Описания задач – только стержни, вокруг которых строится работа. Объем навыков и сведений, которые будут получены вами при выполнении работы, определится, главным образом, не описанием, а вашим подходом к выполнению работы.

Бесполезно приступать к выполнению работы без четкого представления об основных понятиях теории изучаемого явления. Не имея ясности в основных теоретических вопросах, вы не сможете отделить изучаемое явление от случайных и несущественных помех, часто не сможете даже обнаружить, что установка неисправна и непригодна к работе.

Главное условие успешного выполнения измерений заключается во внимательном и неторопливом ознакомлении с установкой перед измерениями, в ее тщательной проверке и наладке. Прежде чем приступать к систематическим измерениям, убедитесь, что вы знаете, как установка работает, т.е. что чем регулируется. Никогда не следует жалеть времени на эту предварительную стадию эксперимента из опасения не успеть сделать измерения. Эти затраты времени всегда окупаются при дальнейшей работе над задачей.

Работу с незнакомыми приборами можно начинать, лишь прочтя до конца инструкции и выяснив все необходимые предосторожности. Нужно вырабатывать в себе умение бережно обращаться с оборудованием.

С другой стороны, ознакомление с прибором должно быть активным, нужно не только осмотреть и понять прибор, но наладить и проверить его, смазать, если нужно, трущиеся части, установить нулевые показания стрелок, удалить пыль с оптических поверхностей и т.п. Нельзя рассчитывать в этом деле на других. Перед началом работы с помощью нескольких простых опытов, результат которых может быть надежно заранее предсказан, убедитесь в исправности аппаратуры.

Проверка очевидного

Если считается, что установка механически устойчива, проверьте, не качается ли она.

Если считается, что основание прибора установлено горизонтально, все же взгляните и проверьте хотя бы приблизительно, так ли это. Если потом потребуется выверить установку точнее, то можно всегда воспользоваться уровнем.

При проведении оптических экспериментов убедитесь, что все отражающие и преломляющие поверхности выглядят достаточно чистыми. Для недорогостоящей оптики известен прекрасный способ – подышать на поверхность и быстро ее протереть. Никогда не протирайте тряпкой или носовым платком дорогостоящие линзы! Они изготавливаются из мягкого стекла и к тому же часто покрыты очень тонким слоем – толщиной около 100 нм – минеральных солей для уменьшения отражающей способности. Такие линзы легко поцарапать. Их никогда не следует касаться пальцами и хранить открытыми. Чаще всего с них достаточно просто смахнуть пыль мягкой кисточкой или, в крайнем случае, осторожно протереть специально предназначенной тканью.

Убедитесь в том, что оптические детали, которые должны быть соосными, действительно соосны и линзы расположены примерно под прямым углом к направлению светового пучка.

В опытах по электричеству, когда вам приходится иметь дело с клеммными соединениями проводов, проверьте, хорошо ли последние зачищены, – если необходимо, зачистите их, – убедитесь, что клеммы плотно затянуты.

Если вы пользуетесь гальванометром или другим аналогичным прибором с переключателем чувствительности, то сначала всегда ставьте переключатель в положение, соответствующее наименьшей чувствительности. Когда вы собираете электросхему, которая питается от сети, всегда включайте ее в сеть в самую последнюю очередь, и если вам надо в ней что-то изменить, не полагайтесь на выключенный тумблер сети, а выньте штепсель из сетевой розетки.

Подключить источник питания можно только после того, как вся схема тщательно проверена.

Повторение измерений

В точности измерения большую роль играет внимание и сосредоточенность экспериментатора, умение выбрать разумный план работы и спокойно, удобно организовать измерение. Нужно правильно расположить оборудование, обеспечить достаточно яркое и равномерное освещение, выбрать удобную позу, периодически делать перерывы в измерениях, своевременно обдумывать предварительные результаты опыта и т.д. Поспешно сделанные измерения обычно никуда не годятся!

Измерение отдельной величины необходимо повторить несколько раз. Такое повторение помогает избежать ошибки при снятии показаний приборов и их записи и дает возможность оценить ошибку измерения.

Число измерений

Если в задаче исследуется зависимость одной величины от другой, число отдельных точек на различных участках кривой выбирается с таким расчетом, чтобы подробно исследовать места изгибов, максимумов, крутых скачков. В тех участках, где кривая идет плавно, ставить особенно много точек не имеет большого смысла.

Область изменения переменных следует брать как можно шире, т.к. на границах широкого интервала часто нагляднее обнаруживаются недостатки аппаратуры и новые явления, влияние которых начинает обычно сказываться существенно раньше, но не может быть там с достоверностью обнаружено. Перед началом работы полезно произвести несколько предварительных измерений по всему диапазону изменения переменных, чтобы сразу познакомиться с основными чертами явления и правильно спланировать ход эксперимента.

В конце работы обязательно надо возвращаться к началу кривой и повторить первые измерения. Это позволит проверить стабильность установки. Еще лучше проделать все измерения в обратном порядке. При этом могут быть обнаружены и новые интересные подробности в самом явлении (гистерезис).

ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Таблицы

Старайтесь всегда записывать результаты измерений в виде таблиц. Такая запись компактнее и проще для чтения. Значения одной и той же величины лучше всего записывать в вертикальный столбик, ибо глазу легче сопоставлять цифры, расположенные столбиком. В начале каждого столбца напишите название или символ соответствующей величины и укажите единицу измерения. Для удобства следует придать единице измерения такой десятичный множитель, чтобы записываемые значения были заключены в интервале примерно от 0.1 до 1000.

Рассмотрим таблицу, которая представляет собой лишь начало большой таблицы значений модуля Юнга для разных материалов.

Материал	Модуль Юнга E, 1011 H·м-2
Железо	2.11

Модуль Юнга для железа равен 2.11·10¹¹ H·м-². Рекомендуем вам пользоваться записью, при которой после физической величины просто ставят запятую и указывают единицу измерения – в данном случае 10¹¹ H·м^-2. Такая запись понятна и вряд ли может вызвать недоумение. Коль скоро единица измерения указана в начале столбца, нет необходимости повторять ее при каждом значении. Вообще следует избегать ненужных повторений. Это потеря времени, энергии и загромождение записи. Чем меньше второстепенного, тем легче увидеть главное.

Запись измерений

Все результаты измерений следует записывать немедленно и без какой либо обработки. Из этого правила нет исключений. Не производите никаких – даже самых простых – арифметических расчетов в уме, прежде чем записать результат измерения. Допустим, например, что для получения тока в амперах показания амперметра следует делить на 2. Прежде всего, запишите показания прибора в делениях шкалы и не делите предварительно пополам. Почему следует так поступать, ясно: если при делении в уме вы допустите ошибку, то позже исправить ее уже не сможете.

При проведении и записи измерений хорошо проверить то, что вы записали, взглянув еще раз на прибор. Итак: посмотрите, запишите, проверьте.

Об обработке результатов будет подробно рассказано в последующих разделах, а здесь мы сделаем лишь общее замечание.

Очень плохо, когда проводят все новые и новые измерения, а их результаты обрабатывают лишь в конце эксперимента. При обработке части результатов нередко обнаруживается какое-либо расхождение, которое приводит к необходимости внести те или иные изменения в аппаратуру. Кроме того, сама работа часто ведется так, что одной серией результатов может определиться дальнейшее направление эксперимента.

Схемы

Есть древняя китайская пословица: «Один рисунок лучше тысячи слов». Важность значения схем в записях эксперимента и в отчетах об эксперименте вряд ли можно переоценить. Дополненная несколькими словами схема часто оказывается самым простым и самым хорошим способом объяснения идеи эксперимента, описания установки и введения обозначений.

Для примера приведем два разных описания одного и того же элемента установки для исследования колебаний пары связанных маятников.

Описание 1. К горизонтальному стержню в точках A и B привязана нить. К ней в точках P₁ и P₂ прикреплены скользящими узлами еще две нити, на которых подвешены шары S₁ и S₁. Длины участков AB, AP₁, BP₂ и P₁P₂ обозначены через a₁, y₁, y₂ и x. Расстояние от узла P₁ до центра шара S₁ равно l₁, а расстояние от узла P₂ до центра шара S₂ равно l₂. Связь между маятниками изменяем, изменяя расстояние x. Для этого узлы P₁ и P₂ перемещаем вдоль нити AP₁P₂B так, чтобы система оставалась симметричной, т.е. всегда y₁ = y₂.

Рис.1

Описание 2. Схема установки представлена на рис.1. AP₁P₂B– цельный отрезок нити, P₁ и P₂– скользящие узлы. Связь изменяем, изменяя х за счет перемещения узлов, причем y₁ = y₂.

Комментарии к этим описаниям излишни.

Схема не должна быть художественным или фотографически точным изображением установки. Она должна быть как можно проще, и на ней должно быть указано только то, что имеет отношение к эксперименту. Далее, хотя часто бывает полезно вычертить полную схему установки с приблизительным соблюдением масштаба, на других схемах без всяких колебаний следует сильно искажать масштаб, если это позволяет четче выявить ту или иную особенность.

Графики

В экспериментальной физике графиками пользуются для разных целей. Во-первых, графики строят, чтобы определить некоторые величины, – обычно наклон или отрезок, отсекаемый на оси координат, прямой, изображающей зависимость между двумя переменными.

Во-вторых, и это, пожалуй, самое главное, – графиками пользуются для наглядности. Допустим, например, что мы измеряем скорость течения воды по трубке как функцию перепада давления с целью определить, когда поток перестает быть ламинарным и становится турбулентным.

Полученные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Перепад давления, Н·м-2	Средняя скорость, мм/c	Перепад давления, Н·м-2	Средняя скорость, мм/с
7,8	35	78,3	245
15,6	65	86,0	258
23,4	78	87,6	258
31,3	126	93,9	271
39,0	142	101,6	277
46,9	171	109,6	284
54,7	194	118,0	290
62,6	226

Рис. 2

Пока поток остается ламинарным, скорость его пропорциональна перепаду давления. Глядя на цифры, приведенные в таблице, трудно сказать, где пропорциональность начинает нарушаться.

Другое дело, когда те же данные, представлены графиком (рис.2). В этом случае сразу видна точка, в которой нарушается пропорциональность.

Графики позволяют также более наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой. Нанося результаты измерений на график, очень удобно следить за тем, как идет эксперимент.

В-третьих, графиками пользуются в экспериментальной работе, чтобы установить эмпирическое соотношение между двумя величинами. Например, градуируя свой термометр по какому-либо образцовому прибору, мы определяем поправку как функцию показаний термометра, (см. рис.3). На графике через полученные точки проводим плавную кривую (рис.4), которой и пользуемся для введения поправки в показаниях термометра.

Рис. 3	Рис. 4

Масштаб

В физике на графиках принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т.е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Короче говоря, по горизонтали откладывается «причина», а по вертикали – «следствие».

Существуют различные виды бумаги для графиков, но из них в физике наиболее употребительны два: с обычным линейным масштабом (миллиметровая) и логарифмическая. Последняя бывает двух видов: полулогарифмическая, когда логарифмический масштаб взят только на одной оси координат, и двойная логарифмическая, когда такой масштаб удобно использовать для изображения изучаемой величины, изменяющейся на несколько порядков в пределах измерений. Полулогарифмическая бумага удобна в том случае, когда связь между переменными логарифмическая или экспоненциальная.

Рис.5. Неудачный выбор масштаба.	Рис.6 Более удачный выбор масштаба

Допустим, что мы взяли миллиметровую бумагу. При выборе масштаба нужно исходить из следующих соображений:

1. Экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом. Из рисунка 5 довольно трудно извлечь полезную информацию. Поэтому лучше выбирать такой масштаб, чтобы расположить точки с разумным интервалом, как на рис.6 . Если начальные значения x и y отличаются намного от нуля, то предпочтительнее начинать отсчет делений на соответствующей оси с некоторого значения, которое лишь немногим меньше найденного на опыте наименьшего значения переменного, откладываемого на данной оси, иначе на графике будет необоснованно много пустого места. После нанесения масштабных делений на осях около них пишут необходимые цифры.

2. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единице измеренной величины (или 10; 100; 0.1 единицы и т.д.) соответствует 1 см. Можно также выбрать такой масштаб, чтобы 1 см соответствовал 2 или 5 единицам.

Единицы измерения

Как и в случае с таблицами, десятичный множитель удобнее отнести к единице измерения. Тогда деления на графике можно помечать цифрами 1, 2, 3, ... или 10, 20, 30, ..., а не 10000, 20000 и т.д., или 0.0001, 0.0002 и т.д. На осях координат следует указать название или символ (или то и другое). Единицы измерений нужно указывать тем же способом, что и в таблицах, а именно десятичный множитель относить к единице измерения. См. на рис.7 пример, показывающий, как делать надписи вдоль осей графика и как указывать единицы измерения.

Рис.7 Зависимость модуля Юнга от температуры Т.

Как строить графики

Графики делают в основном для того, чтобы наглядно представить результаты эксперимента, и потому они должны быть предельно ясными. Ниже мы дадим ряд общих советов по вычерчиванию графиков. Пользоваться ими нужно с учетом особенностей каждого конкретного случая.

Когда на графике для сравнения с экспериментальными данными проводят теоретическую кривую, то точки, по которым ее проводят, выбирают по своему усмотрению. Наносить их надо без нажима, лучше всего карандашом, чтобы при необходимости можно было стереть. Экспериментальные же данные следует отмечать жирными, хорошо выделяющимися точками. Примеры смотри на рис. 8 и 9.

Рис.8.	Рис.9

Рис.8 – пример неудачного графика, на котором экспериментальные точки очень мелкие и не отличаются от расчетных точек, по которым проведена теоретическая кривая.

Рис.9 – расчетные точки не видны, а экспериментальные точки четко выделяются.

Полезно иногда через экспериментальные точки проводить «наилучшую» плавную кривую. Обратите внимание на слово плавную. Начинающие нередко соединяют экспериментальные точки просто ломаной линией, как показано на рис.10.

Но тем самым как бы указывается, что соотношение между двумя величинами носит скачкообразный характер, а это, вообще говоря, весьма маловероятно. Скорее следует ожидать, что данное соотношение описывается какой-либо плавной кривой (рис.11),

Рис.10.	Рис.11

а отклонения точек вызваны«шумом» эксперимента, случайными ошибками при измерениях.

При проведении кривой следует руководствоваться правилами:

чем больше изгибов и неровностей имеет кривая, тем она менее вероятна (выписывать изгибы можно лишь при высокой точности измерений);

проводить кривую следует так, чтобы она лежала возможно ближе к точкам и чтобы по обе стороны оказалось приблизительно равное их количество;

по возможности не должно быть очень больших отклонений точек от кривой, лучше иметь два–три небольших отклонения, чем одно большое.

Если на графике имеется теоретическая кривая, то «плавную» кривую через экспериментальные точки лучше не проводить. Такая кривая, может быть, не совсем соответствует фактическим данным, и тогда она будет мешать прямому сравнению эксперимента с теорией.

Чтобы различать экспериментальные данные, относящиеся к разным условиям или разным веществам, можно воспользоваться разными значками, например, темными или светлыми кружками, крестиками, или точками разного цвета. Но при этом нужно знать меру: если график начинает выглядеть загроможденным, то лучше для каждой группы данных построить специальный график.

Размечать деления на осях координат и наносить график экспериментальные точки лучше всего сначала карандашом. Вдруг вы решите изменить масштаб или окажется, что какая-либо точка случайно поставлена неверно.

Если с масштабом и расположением точек все в порядке, то нетрудно обвести все тушью или чернилами и сделать жирные экспериментальные точки. В результате вам удастся избежать переделок и лишних затрат графической бумаги. По окончании построения пишут заголовок, который должен содержать краткое и точное содержание того, что показывает график.

Как указывать ошибки

Ошибку в экспериментальном значении можно указать следующим образом:

  или

Экспериментальная точка находится в середине отрезка, изображающего величину ошибки. Поскольку нанесение таких значков – дополнительный труд и приводит к усложнению графика, это следует делать лишь в том случае, когда без такой информации обойтись нельзя, т.е. когда от ошибок может зависеть значимость отклонения экспериментальных данных от теоретической кривой (см. рис.12 и 13)

Рис.12.	Рис.13

Отклонения экспериментальных точек от прямой линии на обоих графиках одинаковы, но на рис.12 отклонения вряд ли значимы, а на рис.13, по-видимому, значимы.

Ошибки обычно указывают и еще в одном случае, – когда они неодинаковы для разных экспериментальных точек.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Виды измерений

Измерением какой-либо величины называется операция, в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за эталон (единицу измерения). Все измерения можно разбить на два типа: прямые и косвенные.

ПРЯМЫЕ – это такие измерения, при которых измеряется непосредственно интересующая нас физическая величина (масса, длина, интервалы времени, изменение температуры и т.д.).

КОСВЕННЫЕ – это такие измерения, при которых интересующая нас величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, связанных с ней определенной функциональной зависимостью. Например, определение скорости равномерного движения по измерениям пройденного пути промежутка времени, измерение плотности тела по измерениям массы и объема тела и т.д.

Общая черта измерений – невозможность получения истинного значения измеряемой величины, результат измерения всегда содержит какую-то ошибку (погрешность). Объясняется это как принципиально ограниченной точностью измерения, так и природой самих измеряемых объектов. Поэтому, чтобы указать, насколько полученный результат близок к истинному значению, вместе с полученным результатом указывают ошибку измерения.

Например, мы измерили фокусное расстояние линзы f и написали, что

f = (256 ± 2) мм        (1)

Это означает, что фокусное расстояние лежит в пределах от 254 до 258 мм. Но на самом деле это равенство (1) имеет вероятностный смысл. Мы не можем с полной уверенностью сказать, что величина лежит в указанных пределах, имеется лишь некоторая вероятность этого, поэтому равенство (1) нужно дополнить еще указанием вероятности, с которой это соотношение имеет смысл (ниже мы сформулируем это утверждение точнее).

Оценка ошибок необходима, т.к., не зная, каковы они, нельзя сделать определенных выводов из эксперимента.

Обычно рассчитывают абсолютную и относительную ошибку. Абсолютной ошибкой Δx называется разность между истинным значением измеряемой величины μ и результатом измерения x, т.е. Δx = μ - x

Отношение абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины ε = (μ - x)/μ и называется относительной ошибкой.

Абсолютная ошибка характеризует погрешность метода, который был выбран для измерения.

Относительная ошибка характеризует качество измерений. Точностью измерения называют величину, обратную относительной ошибке, т.е. 1/ε.

Классификация ошибок

Все ошибки измерения делятся на три класса: промахи (грубые ошибки), систематические и случайные ошибки.

ПРОМАХ вызван резким нарушением условий измерения при отдельных наблюдениях. Это ошибка, связанная с толчком или поломкой прибора, грубым просчетом экспериментатора, непредвиденным вмешательством и т.д. Грубая ошибка появляется обычно не более чем в одном–двух измерениях и резко отличается по величине от прочих ошибок. Наличие промаха может сильно исказить результат, содержащий промах. Проще всего, установив причину промаха, устранить его в процессе измерения. Если в процессе измерения промах не был исключен, то это следует сделать при обработке результатов измерений, использовав специальные критерии, позволяющие объективно выделить в каждой серии наблюдений грубую ошибку, если она имеется.

СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКОЙ называют составляющую погрешности измерений, остающуюся постоянной и закономерно изменяющуюся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические ошибки возникают, если не учитывать, например, теплового расширения при измерениях объема жидкости или газа, производимых при медленно меняющейся температуре; если при измерении массы не принять во внимание действие выталкивающей силы воздуха на взвешиваемое тело и на разновесы и т.д. Систематические ошибки наблюдаются, если шкала линейки нанесена неточно (неравномерно); капилляр термометра в разных участках имеет разное сечение; при отсутствии электрического тока через амперметр стрелка прибора стоит не на нуле и т.д.

Как видно из примеров, систематическая ошибка вызывается определенными причинами, величина ее остается постоянной (смещение нуля шкалы прибора, неравноплечность весов), либо изменяется по определенному (иногда довольно сложному) закону (неравномерность шкалы, неравномерность сечения капилляра термометра и т.д.).

Можно сказать, что систематическая ошибка – это смягченное выражение, заменяющее слова «ошибка экспериментатора».

Такие ошибки возникают из-за того, что:

неточны измерительные приборы;

реальная установка в чем-то отличается от идеальной;

не совсем верна теория явления, т.е. не учтены какие-то эффекты.

Как поступать в первом случае, мы знаем, – нужна калибровка или градуировка. В двух других случаях готового рецепта не существует. Чем лучше вы знаете физику, чем больше у вас опыта, тем больше вероятность, что вы обнаружите подобные эффекты, а значит, и устраните их. Общих правил, рецептов для выявления и устранения систематических ошибок нет, но некоторую классификацию можно провести. Выделим четыре типа систематических ошибок.

Систематические ошибки, природа которых вам известна, а величина может быть найдена, следовательно, и исключена введением поправок.

Пример. Взвешивание на неравноплечных весах. Пусть разность длин плеч – 0.001 мм. При длине коромысла 70 мм и массе взвешиваемого тела 200 г систематическая ошибка составит 2.86 мг. Систематическую ошибку этого измерения можно устранить, применяя специальные методы взвешивания (метод Гаусса, метод Менделеева и т.д.).

Систематические ошибки, о которых известно, что величина их не превышает некоторого определенного значения. В этом случае при записи ответа может быть указано их максимальное значение.

Пример. В паспорте, прилагаемом к микрометру, написано: «допустимая погрешность составляет ±0.004 мм. Температура +20 ± 4° C. Это означает, что, измеряя данным микрометром размеры какого-нибудь тела при указанных в паспорте температурах, мы будем иметь абсолютную погрешность, не превышающую ± 0.004 мм при любых результатах измерений.

Часто максимальная абсолютная ошибка, даваемая данным прибором, указывается с помощью класса точности прибора, который изображается на шкале прибора соответствующим числом, чаще всего взятым в кружок. Число, обозначающее класс точности, показывает максимальную абсолютную ошибку прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения измеряемой величины на верхнем пределе шкалы.

Пусть в измерениях использован вольтметр, имеющий шкалу от 0 до 250 В, класс точности его – 1. Это значит, что максимальная абсолютная ошибка, которая может быть допущена при измерении этим вольтметром, будет не больше 1% от наибольшего значения напряжения, которое можно измерить на этой шкале прибора, иначе говоря:

δ = ±0.01·250В = ±2.5В.

Класс точности электроизмерительных приборов определяет максимальную погрешность, величина которой не меняется при переходе от начала к концу шкалы. Относительная ошибка при этом резко меняется, потому приборы обеспечивают хорошую точность при отклонении стрелки почти на всю шкалу и не дают ее при измерениях в начале шкалы. Отсюда следует рекомендация: выбрать прибор (или шкалу многопредельного прибора) так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы.

Если класс точности прибора не указан и нет паспортных данных, то в качестве максимальной ошибки прибора берется половина цены наименьшего деления шкалы прибора.

Несколько слов о точности линеек. Металлические линейки очень точны: миллиметровые деления наносятся с погрешностью не более ±0.05 мм, а сантиметровые не хуже, чем с точностью 0.1 мм. Погрешность измерений, производимых с точностью таких линеек, практически равна погрешности отсчета на глаз (≤0.5 мм). Деревянными и пластиковыми линейками лучше не пользоваться, их погрешности могут оказаться неожиданно большими.

Исправный микрометр обеспечивает точность 0.01 мм, а погрешность измерений штангенциркулем определяется точностью, с которой может быть сделан отсчет, т.е. точностью нониуса (обычно 0.1 мм или 0.05 мм).

Систематические ошибки, обусловленные свойствами измеряемого объекта. Эти ошибки часто могут быть сведены к случайным.

Пример. Определяется электропроводность некоторого материала. Если для такого измерения взят отрезок проволоки, имеющей какой-то дефект (утолщение, трещину, неоднородность), то в определении электропроводности будет допущена ошибка. Повторение измерений дает такое же значение, т.е. допущена некоторая систематическая ошибка. Измерим сопротивление нескольких отрезков такой проволоки и найдем среднее значение электропроводности данного материала, которая может быть больше или меньше электропроводности отдельных измерений, следовательно, ошибки, допущенные в этих измерениях, можно отнести к так называемым случайным ошибкам.

Систематические ошибки, о существовании которых ничего не известно.

Пример. Определяем плотность какого-либо металла. Вначале находим объем и массу образца. Внутри образца содержится пустота, о которой мы ничего не знаем. В определении плотности будет допущена ошибка, которая повторится при любом числе измерений. Приведенный пример прост, источник погрешности и ее величину можно определить без больших затруднений.

Ошибки, такого типа можно выявить с помощью дополнительных исследований, путем проведения измерений совсем другим методом и в других условиях.

СЛУЧАЙНОЙ называют составляющую погрешности измерений, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

При проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же постоянной неизменяющейся величины мы получаем результаты измерений – некоторые из них отличаются друг от друга, а некоторые совпадают. Такие расхождения в результатах измерений говорят о наличии в них случайных составляющих погрешности.

Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может оказаться достаточно сильным.

Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта ошибка в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса повторных измерений относительно истинного значения (рис.14).

Если, кроме того, имеется и систематическая ошибка, то результаты измерений будут разбросаны относительно не истинного, а смещенного значения (рис.15).

Рис. 14 Рис. 15

Допустим, что при помощи секундомера измеряют период колебаний маятника, причем измерение многократно повторяют. Погрешности пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника – все это вызывает разброс результатов повторных измерений и поэтому может быть отнесено к категории случайных ошибок.

Если других ошибок нет, то одни результаты окажутся несколько завышенными, а другие несколько заниженными. Но если, помимо этого, часы еще и отстают, то все результаты будут занижены. Это уже систематическая ошибка.

Некоторые факторы могут вызвать одновременно и систематические и случайные ошибки. Так, включая и выключая секундомер, мы можем создать небольшой нерегулярный разброс моментов пуска и остановки часов относительно движения маятника и внести тем самым случайную ошибку. Но если к тому же мы каждый раз торопимся включить секундомер и несколько запаздываем выключить его, то это приведет к систематической ошибке.

Случайные погрешности вызываются ошибкой параллакса при отсчете делений шкалы прибора, сотрясении фундамента здания, влиянием незначительного движения воздуха и т.п.

Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяем уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно провести.

Следует иметь в виду, что если случайная погрешность, полученная из данных измерений, окажется значительно меньше погрешности, определяемой точностью прибора, то, очевидно, что нет смысла пытаться еще уменьшить величину случайной погрешности – все равно результаты измерений не станут от этого точнее.

Наоборот, если случайная погрешность больше приборной (систематической), то измерение следует провести несколько раз, чтобы уменьшить значение погрешности для данной серии измерений и сделать эту погрешность меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Обработка результатов прямого измерения

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:

x₁, x₂, x₃, ... x_n.      (2)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

µ = ± Δx        (3)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

l = (8.34 ± 0.02) мм,    (P = 0.95)

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм.

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

     (4)

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ² – дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Рис.16

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.

На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx₁ и Δx₂ (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx₁,Δx₂) .

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

,     (5)

где n - число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

   (6)

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ:

(7)

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

    (8)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

,     (9)

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Δx = · t.    (10)

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности; – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2.

Из сказанного следует:

Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.

При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

Таблица 2

Коэффициенты Стьюдента t
n	Значения Р
	0.6	0.8	0.95	0.99	0.999
2	1.376	3.078	12.706	63.657	636.61
3	1.061	1.886	4.303	9.925	31.598
4	0.978	1.638	3.182	5.841	12.941
5	0.941	1.533	2.776	4.604	8.610
6	0.920	1.476	2.571	4.032	6.859
7	0.906	1.440	2.447	3.707	5.959
8	0.896	1.415	2.365	3.499	5.405
9	0.889	1.397	2.306	3.355	5.041
10	0.883	1.383	2.262	3.250	4.781
11	0.879	1.372	2.228	3.169	4.587
12	0.876	1.363	2.201	3.106	4.437
13	0.873	1.356	2.179	3.055	4.318
14	0.870	1.350	2.160	3.012	4.221
15	0.868	1.345	2.145	2.977	4.140
16	0.866	1.341	2.131	2.947	4.073
17	0.865	1.337	2.120	2.921	4.015
18	0.863	1.333	2.110	2.898	3.965
19	0.862	1.330	2.101	2.878	3.922
20	0.861	1.328	2.093	2.861	3.883
21	0.860	1.325	2.086	2.845	3.850
22	0.859	1.323	2.080	2.831	3.819
23	0.858	1.321	2.074	2.819	3.792
24	0.858	1.319	2.069	2.807	3.767
25	0.857	1.318	2.064	2.797	3.745
26	0.856	1.316	2.060	2.787	3.725
27	0.856	1.315	2.056	2.779	3.707
28	0.855	1.314	2.052	2.771	3.690
29	0.855	1.313	2.048	2.763	3.674
30	0.854	1.311	2.045	2.756	3.659
31	0.854	1.310	2.042	2.750	3.646
40	0.851	1.303	2.021	2.704	3.551
60	0.848	1.296	2.000	2.660	3.460
120	0.845	1.289	1.980	2.617	3.373
∞	0.842	1.282	1.960	2.576	3.291

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.

2. Вычислите среднее значение из n измерений

3. Найдите погрешность отдельного измерения .

4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

5. (Δx₁)², (Δx₂)², ... , (Δx_n)².

6. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического

7. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

8. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

9. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Δx = · t. Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ , то в качестве границы доверительного интервала возьмите

10. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

11. Окончательный результат запишите в виде .

12. Оцените относительную погрешность результата измерений

.

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4).

Таблица 4

n	d, мм
1	4.02	+ 0.01	0.0001
2	3.98	- 0.03	0.0009
3	3.97	- 0.04	0.0016
4	4.01	+ 0 .00	0.0000
5	4.05	+ 0.04	0.0016
6	4.03	+ 0.02	0.0004
Σ	24.06	–	0.0046

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Δd = 0.01238 · 2.57 = 0.04 мм.

Сравним случайную и систематическую ошибки:

,

следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить.

Окончательный результат запишем в виде

d = (4.01 ± 0.04) мм при Р = 0.95.

Округление результатов

Обработка результатов измерений в лабораториях проводятся на калькуляторах и ПК, и просто удивительно, как магически действует на многих студентов длинных ряд цифр после запятой. «Так точнее» – считают они. Однако легко видеть, например, что запись a = 2.8674523 ± 0.076 бессмысленна. При ошибке 0.076 последние пять цифр числа не означает ровно ничего.

Если мы допускаем ошибку в сотых долях, то тысячным, тем более десятитысячным долям веры нет. Грамотная запись результата была бы 2.87 ± 0.08. Всегда нужно производить необходимые округления, чтобы не было ложного впечатления о большей, чем это есть на самом деле, точности результатов.

Правила округления

Результаты измерения округляют с точностью «до погрешности», т.е. последняя значащая цифра в результате должна находиться в том же разряде, что и в погрешности.

Примеры:

243.871 ± 0.026 ≈ 243.87 ± 0.03; 243.871 ± 2.6 ≈ 244 ± 3; 1053 ± 47 ≈ 1050 ± 50.

Округление результата измерения достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше 5.

Примеры: