обыкновенные диф ур-я 1-порядка
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0112
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9 9
y = f (x)g(y), |
A9 9B |
F (x)dx = P (y)dy, |
A9 (B |
N (y)M (x)dx = P (x)Q(y)dy |
A9 ;B |
1 & ! 10
A9 ;B & 1 A9 (B & !
2 / & 1 N (y)P (x)
|
|
M (x) |
dx = |
Q(y) |
dy. |
A9 ,B |
|
|
|
|
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|
|
P (x) |
N (y) |
|
|||
P (x) dx = |
|
N (y) dy + C. |
A9 +B |
||||
|
M (x) |
|
Q(y) |
|
|||
C ! & "
N (y) = 0, P (x) = 0,
1 2 & A9 ;B C
& 2 " 0 7 5 !&/ !"
1
D ! / !" & ! y(x0) = y0 C !
0 ! A9 +B x = x0 y = y0
9 ? 0 / &
(x2 − 1)y + 2xy2 = 0,
& ! 10 / !" & & ! 1 EA)BF9 ! C & & A9 ;B
−(x2 − 1) |
dy |
= 2xy2 −(x2 − 1)dy = 2xy2dx. |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
dx |
|
|||||||||||
# ! / & |
(x2 − 1)y2 |
|
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|
|
|
|
|
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dy |
|
2xdx |
|
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|
|
|
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− |
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= |
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|
|
|
|
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y2 |
x2 − 1 |
|
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C ! = & !&/ 0 |
|
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|
− |
|
|
y2 dy = |
x22− 1 dx; |
|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
= ln |
|x2 − 1| + C. |
A9 .B |
||||||
|
|
|
|
|
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|
|
y |
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7
(x2 − 1)y = 0 y = 0, x = ±1.
? 2 & & / y = 0 !
C ! / !" & ! y(0) = 1 0 A9 .B !& / &
1 = ln |0 − 1| + C C = 1.
$1 /
y1 = ln |x2 − 1| + 1.
, % 2 ,4
(x2 + 1)dx + (y2 + 1)dy = 0
( (ex + 2)dy − ydx = 0
* 2(x2y − y)dy + 3 + y2dx = 0
/ tg x sin2 ydx + cos2 x ctg ydy = 0(x − 1)y = y2x
. (cos 2x − 1)y = y2 − 1
e2x−ydx = e6x+ydy
, 5 ! 2 $% 5 ! '
,4
|
|
6 y ctg x + y = 2, |
|
|
y(0) = |
− |
1 |
|
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y sin x = y ln y, |
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π |
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y |
= 1 |
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7 |
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2 |
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xy2dx, |
|
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|
|
|
2xdx |
|
ydy = yx |
2dy |
|
y(0) = 1 |
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− |
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− |
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) 4 x3 +y3 +3(x+y) = C ( y = C(1+2e−x)−1/2 * 4 |
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3 + y2 |
= |
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|
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C(x+1) |
|
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2 y |
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|
C. |
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|
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ln |
|
x−1 |
|
|
x = |
± |
1 |
|
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ctg |
|
|
= tg |
|
|
+ |
|
|
|
− |
1/y |
= x + ln |
x |
1 + |
|
|
= 0 |
|
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|
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|
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|
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− | |
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= |
|
|
ctg x |
y = |
|
1 |
|
|
e |
2y |
|
|
|
|
4x |
/2 = C |
6 |
y = |
|
3 cos x + 2 |
|
y |
= 1 |
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|
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y+1− |
Ce |
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|
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+ e− |
|
|
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− |
|
|
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|
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2 |
) = 2 + y |
2− |
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7 3(1 + x |
|
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y = f (ax + by + c)
& & ! 10
|
|
|
z − a |
|
z − a |
|
|
z(x) = ax + by + c |
|
y = |
|
= f (z). |
|||
b |
b |
||||||
|
|
|
( ? &
y = cos(y − x).
! # ! & z = y − xG 2 y = 1 + z C ! 2 &
|
|
|
z |
= cos z − 1. |
|
A9 :B |
||||
C & & A9 (B |
|
|
|
−sin |
( 2 ) |
|
||||
|
cos z − 1 |
|
|
|
|
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|
dz |
|
= dx; |
|
d |
z2 |
= dx. |
|||
|
|
|
2 |
z |
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|
|
|
|
|
|
|
|
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= & |
ctg |
z |
= x + C. |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|||||||
7
cos z − 1 = 0.
!" z
z = 2πk, k = ±0, ±1 . . . |
A9 @B |
? A9 @B A9 :B & / A9 @B !
C 2
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
y − x |
= x + C; y |
|
x = 2πk. |
|
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||||||
|
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|
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, % 2 ,4 |
|
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y = (3x − y + 1)2 |
|
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|||||
( y = (x + y)2 |
|
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|
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* y = √4x + 2y |
|
1 |
|
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|
|||
|
|
|
− |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
/ y = − tg2(x − y) |
√ |
|
|
|
√ |
|
|
2√ |
|
x ( |
|
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) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
y = |
|||||
|
|
3x − y + 1 + 3 = C(3x − y + 1 − 3)e |
|
|
|
|||||||||||
tg(x + C) − x * √4x + 2y − 1 − 2 ln(2 + √4x + 2y − 1) = x + C / y = 12 sin 2(x − y) − x + C
( 9 H& |
F (x, y) & |
|||
n ! ! 2 k > 0 ! F (kx, ky) = knF (x, y) |
|
|||
( ( $ & 1 & |
||||
|
y = f |
x , |
A( 9B |
|
|
|
|
y |
|
|
F (x, y)dx = P (x, y)dy, |
A( (B |
||
F (x, y) P (x, y) I & |
|
|||
$ & |
& ! 10 |
|
||
y = xz(x) y = xz + z ! dy = xdz + zdx |
|
|||
9 ? & |
|
|
|
|
|
(x − y)ydx − x2dy = 0. |
A( ;B |
||
! 7 |
! ! & |
|||
& F (x, y) = (x − y)y P (x, y) = x2 |
|
|||
F (kx, ky) = (kx − ky)ky = k2(x − y)y = k2F (x, y),
P (kx, ky) = (kx)2 = k2x2 = k2P (x, y).
H& F (x, y) = (x − y)y P (x, y) = x2
2 ! !" & A( ;B C ! y = zx J dy =
zdx + xdz C ! &
|
|
|
|
dz |
|
dx |
|
1 |
|
|
|
||||||||
x3dz = −z2x2dx − |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= ln |x| + C. |
|||||||
z2 |
x |
|
|
|
z |
||||||||||||||
C 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= ln |x| + C. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||
C ' x = 0 y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ? 0 & |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y = |
|
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2xy |
|
. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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x2 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
! # ! / ! !" !" x2 |
|||||||||||||||||||
|
|
y = 1 |
2 xy |
2 , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
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− x |
|
|
|
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y = z + xz |
G & |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = zx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + z3 |
|
|||||||
z + xz = |
2z |
|
|
|
|
|
xz = |
|
|||||||||||
|
, |
|
! |
|
|
1 − z2 . |
|
||||||||||||
1 − z2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
C ! 1
dx (z2 − 1)dz
x + z(1 + z2) = 0.
! !
z2 − 1 = Az |
+ |
|
B |
+ C |
= |
(A + C)z2 + Bz + C |
|
|||
z(1 + z2) |
|
1 + z2 |
|
|
1 + z2 |
|
z |
|
z(1 + z2) |
|
z2 − 1 = (A + C)z2 + Bz + C.
C 5 2 2 !&/ &A B C
z0 |
− 1 = C, |
|
z1 |
0 |
= B, |
z2 |
1 |
= A + C. |