Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

обыкновенные диф ур-я 1-порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

389.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

≡ ∂N∂x .

! " #

# $%

% && ' %

, 9

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0	A, 9B
& ! 2 ! 2 ! !	/ "
! ! ! & F (x, y)

C ! / & M N !

! D 1 /

x y J ! / & A, 9B ! & ! 2 ! 2 2 / /

! ! "

∂M

∂y

A, (B

8& ! 2

K " & A, 9B & 1 F (x, y)

! ! dF (x, y) = Fxdx + Fydy ! / & A, 9B J 0 & A, 9B " F (x, y) =

C !" H& F (x, y) ! & ! "

&
	∂F	A, ;B
	∂y	= N.
	∂F	= M,
	∂x

	A/ B x
= &						& A, ;B
	F (x, y) =				M (x, y)dx + ϕ(y),					A, ,B
ϕ(y) !1 &				y
7 ϕ(y) / &								A, ,B !
& A, ;B # & & A, ,B y !									∂F	= N
									∂y
!&/ !	2		ϕ(y) ! & !" &
ϕ (y) = ω(y)				/ " !" y = &
C 5 & 0 ! &					A, 9B(			"
5 & / / ϕ y) " ϕ(y) =										ω(y)dy
		M (x, y)dx + ω(y)dy = C.
! / 2 &					∂F	= N 2 0 & !&
					∂y
			N (x, y)dx +				ω1(y)dy = C.
$0 ! & !" & &!&
	x					y
	x0	M (x, y)dx + y0					N (x0, y)dy = C.

4 / x0 y0 1 / &0 ! 5 !

! ! !

9 ? &

2xydx + (x2 − y2)dy = 0.

! 7

M (x, y) = 2xy; N (x, y) = x2 − y2.


J			∂(2xy)			∂N		∂(x2 − y2)
	∂M	=		= 2x,			=			= 2x,
			∂y
	∂y					∂x			∂x
& !			&		! 2				! 2
& F (x, y) !

∂F∂x = 2xy

∂F∂y = x2 − y2.

= & & A, +B !&/

F (x, y) = 2xydx = x2y + ϕ(y).

A, +B

A, .B

C ! A, .B & A, +B !&/

x2 + ϕ (y) = x2 − y2 ϕ (y) = −y2 ϕ(y) = −y3 .

= A, .B ! &

F (x, y) = x2y − y3 .

$0 ! 2 &

x2y − y3 = C.

	$0 ! &		A, 9B "
	x0	M (x, y)dx +	y0	N (x0, y)dy = C	A, :B
	x		y
!	x0	M (x, y0)dx + y0		N (x, y)dy = C,	A, @B

	x		y
! x0		y0 1		!" / /

(x0, y0) ! ! ! D

7 5 2 &! 2

2 ! /

! & A ! & !& &

! B

( ? &

(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0.

! 4 "

∂M∂y = ∂N∂x = 12xy,

& ! A, (B ! ! !" & " &

! 2 ! 2

? 0 ! & &! A, :B 7 x0 = 0

y0	= 0 !&/	0 x(3x2 + 6xy2)dx +	0 y 4y3dy = C.

x3 + 3x2y2 + y4 = C.

#! 2 & " !

! 2 ! !" & &!

	d(xayb) = xa−1yb−1(aydx + bxdy), d(xy) = xdy + ydx,						A, *B
d	x	=	ydx − xdy	,	d(ya) = aya−1dy, d(ln y) =	dy
	y		y2			y

; ? &

(x3 − y)dx − (y2 + x)dy = 0.

! / ! ! & & /! ! 10&1

! !

x3dx − ydx − y2dy − xdy = 0.

x3dx = d

y2dy = d

, −ydx − xdy = −d(xy),

A, 9)B

− 3

− xy = 0 4

− 3 − xy = C.

, ? &

						y	dx + (y3	+ ln x)dy = 0.
							dx + (y3	+ ln x)dy = 0.
						x
!
y3dy = d	y4	,		y	dx + ln xdy = yd ln x + dy ln x = d(y ln x).
y3dy = d		,			dx + ln xdy = yd ln x + dy ln x = d(y ln x).
4				x
$1				+ y ln x = 0 4 + y ln x = C.
	d		4	+ y ln x = 0 4 + y ln x = C.
			y4					y4

D ! & ! " ! !

2 & ϕ(x, y) ψ(x, y) & & 0 !

2 (x, y) (g, z) z = ϕ(x, y), g = ψ(x, y)

+ ? &

ydx − (x3y + x)dy = 0.

! ! & x2 !&/

x2	−			x
ydx − xdy		xydy = 0	d	y	+ xydy = 0.
		xydy = 0	d		+ xydy = 0.

C M 2 (x, y) (z, y) z = y
										x
				y2
	dz +				dy = 0.
	dz +				dy = 0.
				z
$&							z2		y3
zdz + y2dy = 0							z2		y3
								+		= C.
							2	+	3	= C.
7 0						3	= C.
2	x		+			3	= C.
1		y	2			y3

C ! x2 ! x = 0

. ? &

y3dx − 2xy2dy − x4dy + 2yx3dx = 0, (x > 0, y > 0).

! & & /! & / !

! " ! !

y2(ydx − 2xdy) + x3(2ydx − xdy) = 0.

C &!& A, *B !&/

ydx − 2xdy = y3d

2ydx − xdy =

x d

C 5 & & "

= 0.

y5d

+ y2x2d

# ! & 2

u =

v =

y = u2 , x =

C ! &

du +

dv = 0.

! !&/

+ v

u−3 du

3 dv = 0,

= &

−u−

v 3 = C.

7 0 x y

x3 − y2 = C 3 y4x.

($ $+

, ( = &10 ! ! &

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

A, 99B

μ(x, y) = 0 ! &

&1 &

0 & ! 2 ! 2

D ! &10 !"

μ(x, y)

& 1 2 /

μ(x, y)

2 1 0 ! !&/ &

! 2

! 2 D ! μ(x, y) 2 / 2 0

/ " 2 & G !

μ(x, y) 0

&!" " " !&/ "

D ! μ(x, y)

" &

x y

∂(μM )

∂(μN )

≡

∂x .

∂y

N ∂x − M ∂y

= μ

∂y −

∂x .

A, 9(B

∂μ

∂M

∂N

D ! / μ = μ(ω) ω

y & A, 9(B & & 1

& μ ω


	dμ	= ψ(ω)μ,		A, 9;B
		= ψ(ω)μ,		A, 9;B
	dω

∂M∂y − ∂N∂x			≡ ψ(ω),	A, 9,B
N ∂ω∂x − M ∂ω∂y				A, 9,B
N ∂ω∂x − M ∂ω∂y

" ! ! & !" ω

& A, 9;B 2 &10 !"

μ= ce ψ(ω)dω.

7 / & A, 99B &10 !"

0 !" x (ω = x) ! !" y (ω = x) ! !

! &10 & !

∂M∂y − ∂N∂x	≡ ψ(x) (μ = e	ψ(x)dx	)
N

!	∂M∂y	− ∂N∂x
			≡ ψ(y) (μ = e	ψ(y)dy	).
	−M

: ? &

(1 − yx2)dx + x2(x − y)dy = 0.

A, 9+B

A, 9.B

! C ! &10 !

0 !" x

∂M∂y − ∂N∂x	=	−x2 − 2xy + 3x2	=		2		ψ(x),
N		x2(y − x)		−x		≡

& ! A, 9+B ! C 5 &

xdx) = x2 .

μ = e ψ(x)dx = exp(−

/ 2 &

x2 !&/

x2 − y dx + (y − x)dy = 0.

/ !&/ &

! 2

∂M

∂(

− y)

∂N

∂(y − x)

−

= 1.

∂y

∂x

∂y

−

$0 ! & !

∂F∂x = x12 − y

∂F∂y = y − x.

= & A, 9:B 2

F = −x1 − yx + ϕ(y).

! 2

A, 9:B

C ! F & A, 9:B !&/ & & 1 ϕ(y)

ϕ		= y ϕ =			y2
								.
						2
$1		1					y2
				− yx +
F = −									.
			x				2
$0 &
1				y2
−		− yx + 2 = C.
	x
= &10 !" μ &!" 0 /
2 C x = 0 μ 0							/ "

x = 0 ' ? 2 &

/ x = 0 !

@ ? &

	(		+ 2x)dx − dy = 0,
	(	x2 − y	+ 2x)dx − dy = 0,
! / !	&10 !" μ = μ(x2 −
y)
! C !	& ! A, 9,B ω = x2 − y

∂M		∂N		(−1)

	−			2√x2−y
∂y		∂x	=
N ∂ω∂x − M ∂ω∂y				−2x + (		+ 2x)
					x2 − y

= −	1	= −	1	≡ ψ(ω).
	2(x2 − y)
			2ω

C 5 &

√1ω =

x2 − y .

μ = e ψ(ω)dω = e− ( 2ω )dω =

/ 2 &

& & !&/

√x2−y

dx +

2xdx − dy

= 0

dx +

d(x2 − y)

= 0

−

4 " μ 0

y = x

+ 2d( x − y) = 0 x + 2

− y = C.

/ " / 2	2 H&	2
/ " / 2

= &10 !" & A, 99B "

0"1 5 & & ! 2 ! 2 &10 !"

C& " & A, 99B & &

(M1(x, y)dx + N1(x, y)dy) + (M2(x, y)dx + N2(x, y)dy) = 0

A, 9@B

μ1 μ2 2 &10 ! /

μ1(M1dx + N1dy) = dU1, μ2(M2dx + N2dy) = dU2.

C " & ϕ(U1) ψ(U2) /

μ1ϕ(U1) = μ2ψ(U2). A, 9*B

J &

μ = μ1ϕ(U1) = μ2ψ(U2)

& &10 ! & A, 9@B !

& 2 / 5 &10 !"

ϕ(U1)dU1 + ψ(U2)dU2 = 0,
! !" 0 ! & A, 9@B

ϕ(U1)dU1 +	ψ(U2)dU2 = C.	A, ()B

9 C & ϕ ψ ! / !

U1 U2 & ! ! ! ?

!" " 0 ! &! A, ()B

* ? &

1	2
y(1 + yx)dx + (	x	y + y + 1)dy = 0.	A, (9B

2

! " & &

	1
y(1 + xy)dx +	2 x2ydy + (y + 1)dy = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20191.21 Mб26Общая_теория_статистики.doc
#
10.02.2015113.66 Кб60общество наука.doc
#
05.09.201931.41 Mб12Общие ответы на билеты.doc
#
18.11.20194.46 Mб5Общие сведения о микроконтроллерах.docx
#
16.11.201963.49 Кб7Объект и предмет социологии как науки.doc
#
10.02.2015389.06 Кб14обыкновенные диф ур-я 1-порядка.pdf
#
10.02.2015410.07 Кб11обыкновенные диф ур-я высших порядков.pdf
#
10.02.2015347.65 Кб5ОДОЛЖИТЕ ТЕНОРА .doc
#
26.08.2019177.46 Кб1ОДЦБ.docx
#
15.11.2019941.57 Кб5ОЕ_1.doc
#
17.08.2019519.68 Кб5ОЖД-НОВ2курс-сетевой.doc