Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

abzalilov_malakaev_shirokova_

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

544.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Ответы: 1. 30м х 60м. 2. ah/4. 3. a/6. 4. 20 см. 5. 18 ≈ 2.5. 6. Smax = R2

q π+4

при высоте x = R . 7. α = 2π 2 .

√

2 3

§11. Неопределенный интеграл. Вычисление интегралов методами разложения и замены переменной.

Первообразной функции f(x) называется функция F (x), производная ко• торой равна f(x), т.е. F ′(x) = f(x). Поскольку (F (x) + C)′ = f(x), где C

– произвольная постоянная, у любой функции f(x) бесчисленное множество первообразных.

Множество всех первообразных одной функции называется неопределенным

интегралом этой функции и обозначается

f(x)dx, причем f(x) называется

подынтегральной функцией, f

dx – подынтегральным выражением.

(

)

11.1. Таблица неопределенных интегралов.

xndx =

xn+1

+ C (n 6= 1) 2.

= ln |x| + C

n + 1

exdx = ex + C

axdx =

+ C

ln a

cos xdx = sin x + C

sin xdx = − cos x + C

= tg x + C

dx = − ctg x + C

cos2 x

sin2 x

arctg

+ C

x2 + a2

10.

√

= arcsin

+ C

a2 − x2

11.

x − a

+ C

x + a

−

12.

= ln

√x2 ± a2

+ p

Приведенный список не исчерпывает все функции, которые можно проинте• грировать. Существуют приемы, позволяющие проинтегрировать более сложные функции.

11.2. Интегрирование методом разложения. Некоторые интегралы можно представить в виде линейной комбинации табличных интегралов, поль•

зуясь свойством линейности интеграла:

f(x)dx + B Z

Af(x) + Bg(x) dx = A Z

g(x)dx.

Пример 1. Вычислить

x−

dx. Представим подынтегральную дробь в

интеграл от разности заменим на разность инте•

виде разности двух дробей и R

гралов:

dx = Z

dx = Z x−1dx − 2 Z x−3dx =

−

x−2

= ln x − 2

+ C = ln x +

+ C.

−2

Пример

2. Вычислить

sin2 x cos2 x

получим:

= cos x + sin x. Тогда

= Z

cos2 x + sin2 x

dx =

sin2 x cos2 x

Воспользуемся тождеством 1 =

Z	dx	+ Z	dx	=

	sin2 x		cos2 x

= − ctg x + tg x + C.

Пример 3. Вычислить

dx. Мы не изменим подынтегральную функ•

x +1

цию, если вычтем и прибавимRв числителе единицу и разность x4 −1 представим

в виде (x2 − 1)(x2 + 1):

1 + 1

(

1)(x2 + 1) + 1

dx = Z

−

dx = Z

−

dx =

x2 + 1

= Z x2 − 1 +

dx = Z x2dx − Z

dx + Z

x2 + 1

=x3 − x + arctg x + C. 3

11.3.Интегрирование методом замены переменной. Пусть x =

=ϕ(t). Тогда дифференциал dx = ϕ′(t)dt и справедлива формула

f(x)dx = Z

f[ϕ(t)] · ϕ′(t)dt.

Пример 4. Вычислить

√

dx. Сделаем замену t = 4x − 1. Тогда

4x − 1

1)′

dx и dx = 1 dt. Следовательно,

= (4

−

= 4

√4x

√t

1 t

(4x − 1)

1dx =

dt =

t2 dt =

+ C =

+ C.

−

4 Z

4 23

Пример 5. Вычислить

. В знаменателе выделим полный квадрат:

x2+2x+2

+2 = (

+1)

и сделаем замену t

. При такой замене dt

dx.

Теперь

= Z

= arctg t + C = arctg(x + 1) + C.

x2 + 2x + 2

t2 + 1

Пример 6. Найти

e−x2 xdx. Сделаем замену t =

x2. Тогда dt = (

−x2)′dx = −2xdx и dx =Rdt/(−2x):

−

Z e−x

xdx = Z etx

= −

Z etdt = −

et + C = −

e−x + C.

−2x

Пример

7. Найти

tg xdx. Сделаем

замену t =

cos x,

тогда

dt =

= (cos x)′dx =

−

sin xdx иRsin xdx =

−

dt:

sin x

tg xdx = Z

dx = − Z

= − ln |t| + C = − ln | cos x| + C.

cos x

11.4. Задания к теме. Вычислить интегралы:

10x3 + 3

(√

− 1)3

dx,

3. cos2 xdx,

Z (2x + 3)100dx,

, 6.

ctg xdx,

cos2 5x

x2dx

x(1 + ln x)

√1 + x3

(

+ 1)

cos 2

dx,

10.

− 1

dx,

11.

dx,

√x2

cos2 x sin2 x

cos x

12.

√4x + 2dx,

13.

sin(ax + b)dx,

14.

dx,

sin4 x

2xdx

15.

16.

x2 + 1dx.

1 3e2x

−

sin 2x

x3/2

3x+6√x

Ответы: 1. 10 ln x

+C. 2.

−

ln x+C.

+C.

(2x+3)

101

− x

3 2 3

+C. 5. tg 5x +C. 6. ln sin x+C. 7. ln(1 +ln x) +C. 8.

(1+x )

+C. 9.

202

3/2

+3x

3 +

+C.

10.

3√x(x

−

1)+C.

11. −

tg x

−

ctg x+C. 12.

(4x+2)

+C.

− x

3 2

cos(ax+b)

ln(1−3e

(x +1)

13.

−

+ C. 14.

x + C. 15. −

+ C. 16.

+ C.

−3 sin

§ 12. Интегрирование по частям.

Этот метод основан на формуле									Z udv
Z uv′dx = uv − Z vu′dx						или, сокращенно,			Z udv
По частям берутся интегралы следующих видов:
1.	P (x)	sin x			dx,	2.	P (x)		ln x
	n	cos x					n	arctg x
Z						Z
Z	u		ex			Z	v′	arcsin x
	\| {z }		v	′			\| {z }			u
				′
			{z							{z
		\|	{z		}			\|		{z

= uv − vdu.

dx,

}

где Pn(x) = anxn + an−1xn−1 . . . + a1x + a0 – многочлен.

Пример 1. Найти				xexdx. Обозначим u = x, v′ = ex. Тогда u′ = 1 и
v =	x	x	Применив формулу интегрирования по частям, получим
v =	e dx = e .			R
R
Z	xexdx = xex − Z			exdx = ex(x − 1) + C.
Пример 2. Найти				(ln x)2dx. В этом примере применим метод интегриро•
вания по частям дважды:
			R
Z			u = (ln x)2,		u = 2 ln x	1	,
Z	(ln x)2dx = ( v′ = 1,				v′= x	· x	) =
					34

= x(ln x)2 − 2 Z x ln x

dx = x(ln x)2 − 2 Z ln xdx =

u = ln x,

u′ = 1

= ( v′ = 1,

v = xx )

= x · (ln x)2 − 2

x ln x − Z

dx =

= x · (ln x)2 − 2x ln x + 2x + C.

12.1. Задания к теме.

Вычислить интегралы:

Z x ln(x − 1)dx, 2.

Z x arctg xdx,

Z arctg √

dx,

4x − 1

Z (x − 2) cos 2xdx,

Z (4 − 3x)e−3xdx,

arcsin x

√

dx,

1 − x

Z (2 + 3x)e2xdx, 8.

Z (x + 3) sin xdx,

x2 ln xdx,

10.arcsin xdx.

Ответы: 1.

(x2−1) ln(x−1)

x2+2x

+C. 2.

(x2+1) arctg x

. 3. x arctg

√

−

− 2

4x − 1−

√

(2x−4) sin 2x+cos 2x

√

−

4−

+ C. 4.

+ C. 5. (x − 1)e−

+ C. 6.3 4 1 + x −

√

(6x+1)e x

x (3 ln x−1)

−2

1 − x arcsin x+C. 7.

+C. 8. sin x−(x+3) cos x+C. 9.

+C.

√

+ C.

1 − x

10. x arcsin x +

§ 13. Определенный интеграл. Вычисление площадей

Определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] называется выражение вида Rab f(x)dx. Здесь над и под знаком интеграла появляются концы отрезка, по которому интегрируют, называемые пределами интегрирования.

13.1. Вычисление определенного интеграла. Для того, чтобы вы•

числить такой определенный интеграл, следует использовать любую первообраз• ную F (x) функции f(x) в формуле Ньютона – Лейбница:

a	b
Z		b
			= F (b) − F (a).
		f(x)dx = F (x) a	= F (b) − F (a).

Таким образом, для вычисления определенного интеграла используется неопре• деленный интеграл.

Пример 1. Вычислить R01 x5dx. Мы знаем, что первообразной для функ• ции x5 является функция x66 . Поэтому

	1	x6	1		1 0			1
0		x6	1		1 0			1
0

Z	x5dx =	6	0	=	6	−	6	=	6	.

Вычисление первообразной, как мы уже убедились, часто бывает довольно дол• гим процессом, где могут использоваться (и не один раз) методы замены пере• менной и интегрирования по частям. Рассмотрим эти методы в процессе вычис• ления определенного интеграла.

13.2. Метод замены переменной в определенном интеграле.

Если сделать замену t = ϕ(x) в определенном интеграле Rab f(x)dx, то необ• ходимо изменить пределы интегрирования в новом интеграле, где переменной интегрирования становится новая переменная t. Нужно в качестве нового нижне• го предела интегрирования надо взять значение α = ϕ(a), а в качестве верхнего

предела – β = ϕ(b).
Пример 2. Вычислить			π/π/43(cos5 x+3 sin2 x cos x)dx. Вынесем cos x за скоб•
ку и выразим оставшуюся вRскобках функцию cos4 x через sin x: cos4 x = (1				−
− sin2 x)2. Получим:				−
− sin2 x)2. Получим:
π/3
Z	(1 − sin2 x)2	+ 3 sin2 x cos xdx.
π/4

Нетрудно видеть, что удобно сделать замену: t = sin x. При этом dt = cos xdx и выражение под интегралом становится зависимым только от t. Теперь необходи• мо изменить пределы интегрирования. Нижним пределом становится sin(π/4) =

√						√
=	2	/2, а верхним пределом sin(π/3) =					3	/2. Поэтому
			√		/2
	π/3		√	3	/2
	Z (cos5 x + 3 sin2 x cos x)dx =		Z			[(1 − t2)2 + 3t2]dt =
π/4			√
			2/2

√

3/2

(1 + t2 + t4)dt = t +

√2/2

109

3 −

73 2

160

120 .

√

13.3. Метод интегрирования по частям в определенном инте• грале. Этот метод также можно применять в определенном интеграле, при этом необходимо расставить пределы интегрирования:

Zb Zb

uv′dx = uv|ba − vu′dx.

a a

Пример 3.

u = arctg x,

u′

x arctg xdx = ( v′

x +1

) =

= x,

v = x2

arctg x

0 −

dx =

x2 + 1 − 1

dx =

2 Z

−

2 Z

x2 + 1

−

x − arctg x 0

−

1 −

−

13.4. Вычисление площади области. Определенный интеграл при•

меняется при вычислении площадей областей. Пусть необходимо вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми y = f1(x) и y = f2(x) над отрезком [a, b]:

f2(x)

f1(x)

b x

Тогда

S = [f2(x) − f1(x)]dx.

Пример 4. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми y = x2 и

y = 2 − x2.

Прежде всего найдем точки пересечения кривых: x2 = 2 − x2 x2 = = 1 x = ±1. Таким образом, пределами интегрирования будут числа

a = −1, b = 1.

Вычислим теперь площадь по формуле. Кривая y = 2 − x2 над отрезком [−1, 1] находится выше кривой y = x2. Следовательно,

S =	Z		[(2 − x2) − x2]dx = 2x −	3x3			1	= 3.
		1				1
		1		2	−			8
	−

13.5. Задания к теме. Вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми:

1.y = 9 − x2 и y = 0.

√

2.y = 16 − x2 и y = 0.

3.y = (x − 2)3 и y = 4x − 8.

4.y = 4 − x2 и y = x2 − 2x.

Ответы: 1. 36. 2. 256/3. 3. 8. 4. 9.

§14. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение ви• да F (x, y, y′, y′′, ..., y(n)) = 0. Решить дифференциальное уравнение – это значит, определить функцию y(x), удовлетворяющее этому соотношению.

Простейшее дифференциальное уравнение вида y′(x) = f(x) имеет реше•

ние y(x) = f(x)dx. Это решение определяется с точностью до произвольного

dy g(y)

dy dx

постоянного слагаемого. Решения более сложных дифференциальных уравне• ний также находятся с точностью до произвольных постоянных (их число равно порядку уравнения).

Так же, как не любая функция может быть проинтегрирована, и представле• на в виде элементарных функций, так и не любое дифференциальное уравнение имеет решение, выражающееся через элементарные функции. Мы рассмотрим лишь несколько простых классов дифференциальных уравнений, для которых можно найти аналитическое решение.

14.1. Дифференциальное уравнение первого порядка с разде• ляющимися переменными. Такое уравнение имеет вид y′ = f(x)g(y). За•

пишем производную в виде отношения дифференциалов: = f(x) · g(y) и разнесем в разные части выражения, содержащие x и y. Мы получим равен• ство двух дифференциалов: = f(x)dx. После интегрирования правой части по x, а левой – по y мы получим слева функцию, зависящую от y, а справа –

функцию, зависящую от x, отличающихся на константу:	dy	= f(x)dx + C.
	g(y)
Зависимость между x и y, полученная при решении дифференциального
R		R

уравнения, задает в плоскости xOy семейство кривых из-за присутствия про• извольного параметра C. Для того, чтобы выбрать из этого множества един• ственную кривую, задают начальное условие y(x0) = y0. Таким образом, из множества кривых выбирается единственная – проходящая через точку (x0, y0). Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию, называется задачей Коши.

Пример 1. Найти решение уравнения y

1 x22

= 1, удовлетворяющее

условию y(0) = 0.

′

1−−y

Представим производную в уравнении в виде отношения дифференциалов

и разделим переменные:

· y · s

−

= 1

1 y2

−

ydy

√

1 − y2

1 − x2

Проинтегрируем обе части последнего соотношения по соответствующим пере• менным и получим связь между функцией и аргументом:

−1 − y2 = arcsin x + C.

Теперь нужно удовлетворить начальному условию y(0) = 0. Подставляя задан• ные значения в полученное решение, получим −1 = 0 + C или C = −1. Следо• вательно, из всех решений следует выбрать то, где константа C = −1, то есть, имеем соотношение

−1 − y2 = arcsin x − 1

или, выразив y, получим

y(x) = ± 2 arcsin x − arcsin2 x.

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения (1+ex)y′ = yex, удовлетворяющее условию y(0) = 2.

dy	=	exdx	.
y		x
		1 + e

Интегрируя обе части, получим

ln y = ln(1 + ex) + ln C y = C(ex + 1).

Подставив в полученное решение уравнения значения x = 0 и y = 2, получим C = 1. Поэтому решением поставленной задачи Коши является y = ex + 1.

14.2. Задания к теме. Решить задачи Коши для дифференциальных уравнения при заданных начальных условиях:

1.	y′y(x2 − 1) =							1 + y2		, y(0) = 0.
2.	xy	′ =			y	(1 + p
				−			ln y), y(1) = 1.

3.	y′(e2x + 5)y = −e2x, y(0) = −1.
4.	y′y√						= −xp				, y(0) = 0.
			1 + x2						1 + y2

5.y′(e−x + 1)(y + 2) = −e−x, y(0) = 0.

6.y′y(1 + cos x) = − sin x, y(0) = −1.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.07.201943.44 Кб19кл 2011.docx
#
21.11.2018334.34 Кб1A18.doc
#
09.11.201957.34 Кб4A24.doc
#
26.04.2019716.8 Кб1A6.doc
#
10.02.2015266.85 Кб18Abelyar.rtf
#
10.02.2015544.3 Кб16abzalilov_malakaev_shirokova_.pdf
#
04.12.201831.95 Кб2Access_izmenennyy.docx
#
10.02.20156.8 Mб36acer extensa 5635.pdf
#
10.02.20151.78 Mб36Ace_The_Case_2nd_Ed.pdf
#
10.11.2018246.27 Кб2administr_pravo.doc
#
23.11.201947.1 Кб24Affixation.doc