abzalilov_malakaev_shirokova_

2.2. Метод Гаусса. Данный метод основан на эквивалентных преобразо• ваниях системы, при которых решение системы не меняется. Так, решение не изменится, если

1.поменять местами строчки системы,

2.к строчке прибавить или вычесть другую строчку, умноженную на число. Суть метода заключается в том, чтобы последовательно исключить неиз•

вестные из уравнений системы. Рассмотрим исходную систему (2.1). Предполо• жим, что мы хотим исключить переменную x1 из всех уравнений, кроме одного

– первого из уравнений системы. В таком случае в качестве первого уравнения

11

всистеме мы должны выбрать то, где коэффициент при x1 отличен от нуля.

Предположим, что a11 6= 0. Изменим второе уравнение системы, вычитая из него первое уравнение, умноженное на число aa2111 . В новом втором уравнении уже не будет члена с x1. Теперь изменим третье уравнение системы, вычитая из него первое уравнение, умноженные на число aa3111 . В новом третьем уравнении также не будет члена с x1. Проделав эту операцию со всеми уравнениями систе• мы, мы получим новую систему, эквивалентную данной и содержащую x1 только

впервом уравнении. Теперь исключим неизвестную x2 из всех уравнений, кроме первого и второго. Для этого на второе место поставим то уравнение системы, не содержащее x1, в котором коэффициент при x2 не равен нулю. Будем вычи• тать это уравнение, умноженное на соответствующее число, из всех уравнений, начиная с третьего, чтобы уничтожить в них члены с x2. Проделывая это со все• ми уравнениями системы и последовательно со всеми неизвестными, мы можем получить следующие ситуации.

A)В случае, когда на каком-то шаге мы получим тождество 0 = 0, мы исключаем данное уравнение из системы и продолжаем выполнение шагов.

Б) В случае, когда на каком-то шаге мы получим соотношение 0 = b, где b 6= 0, мы останавливаемся. Такая система несовместна и решений не имеет.

В) Мы дошли до последнего уравнения системы. Если в левой части этого уравнения содержится лишь переменная xn, это означает, что система имеет единственное решение. Если же последнее уравнение содержит две или более переменные, система имеет бесконечное множество решений.

Далее, начиная с последнего уравнения и поднимаясь выше, последователь• но определяются все неизвестные. В случае бесконечного множества решений, все переменные могут содержать произвольные постоянные.

Пример 2. Решить систему методом Гаусса.

Сначала с помощью первого уравнения исключим x из второго и третьего урав•

12

нений: из второго уравнения вычтем первое уравнение, умноженное на 3; к тре• тьему уравнению прибавим первое уравнение. Получим эквивалентную систему

4y + 2z = 12.

Теперь исключим y из последнего уравнения. Для этого вычтем из него второе уравнение, умноженное на 4. Получим

38z = 80.

Теперь из последнего уравнения мы имеем: z = 8038 = 4019. Зная это значение,

найдем y из второго уравнения: y = −17 + 9 · 4019 = 3719. И, наконец, из первого уравнения определим значение x = 5 + y − 3z = 1219.

Пример 3. Решить систему методом Гаусса.

Третье уравнение системы, являющееся тождеством, исключаем. В оставшемся последнем (втором) уравнении содержится две неизвестные, поэтому система имеет бесконечное число решений. Одну неизвестную можно взять произвольно. Пусть z = C, где C – некоторая постоянная. Из второго уравнения теперь найдем y = C − 18. Из первого уравнения, подставив вместо y и z их выражения через C, найдем значение x = C + 52.

13

2.3. Задания к теме.

Ответы: 1. (4/a, 1). 2. (5, 6, 10). 3. ( 1, 0, 1). 4. Нет решений. 5. ((2 + + 5C)/3, (5 − 7C)/3, C), где C – любое число. 6. (−7/3, 23/3, −3). 7. (2, −1, −

−3). 8. (C, −13C, −5C). 9. ((18 − C)/7, (3C − 5)/7, C).

§ 3. Векторы на плоскости и в пространстве.

вдоль координатных осей x, y, z соответственно, называются ортами. Любой вектор в пространстве можно представить как линейную комбинацию ортов

~ ~ ~

~a = axi + ayj + azk

Числа ax, ay, az называются координатами вектора и любой вектор однозначно ими определяется ~a = {ax, ay, az}.

Если заданы координаты начала A(xa, ya, za) и конца B(xb, yb, zb) вектора, то координаты вектора находятся по формуле

ax = xb − xa; ay = yb − ya; az = zb − za.

Связь длины вектора с координатами

q

a = a2x + a2y + a2z.

15

3.1. Задания к теме.

1.В прямоугольнике ABCD точка M – середина BC и N – середина CD.

установить зависимость между ними (например, рассмотрением трапеции

определить его диагонали.

16

7.Найти точку, удаленную на 5 единиц как от точки A(2; 1), так и от оси Oy.

8.Найти центр и радиус круга, описанного около треугольника с вершинами

A(4; 3), B(−3; 2), C(1; −6).

9.В равнобедренной трапеции OABC угол BOA = 60◦, OB = BC = CA =

−→ −−→

= 2, M и N – середины сторон BC и AC. Выразить векторы AC, OM,

−−→ −−→ −→ −−→

ON и MN через m~ и ~n – единичные векторы направлений OA и OB.

−→

10. Даны точки A(2; 2; 0) и B(0; −2; 5). Построить вектор AB = ~u. Определить его длину.

11. Даны три вершины параллелограмма A(1; −2; 3), B(3; 2; 1), C(6; 4; 4). Найти его четвертую вершину D.

12. На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и

§ 4. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произ•

17

p

Вычисление длины вектора: a = (~a,~a).

~

Вычисление угла между векторами: cos ϕ = (~a,abb).

2.Определить углы ABC c вершинами A(2; −2; 3), B(1; 1; 1), C(0; 0; 5).

3.Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные сто• роны пополам. Найти угол между этими прямыми.

4.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векто•

которыми 60◦.

8.Определить угол между биссектрисами двух плоских углов правильного тет• раэдра, проведенными из одной вершины.

9.На осях Ox, Oy, Oz отложить равные отрезки a = 4 и на них построить

единичные векторы, образующие угол 120◦.

18

12.К вершине правильного тетраэдра с ребром a приложены три силы, изобра• жаемые его вектор-ребрами. Определить величину равнодействующей этих

p

сил. (Указание: искомая величина равна a (m~ + ~n + p~)2, где m~, ~n, p~ – единичные векторы данных сил.)

Ответы: 1. 135◦. 2. B + C = 45◦. 3. arccos 0.8. 4. 90◦. 5. 1) 2 + √3, 2)

§ 5. Уравнение прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид Ax + By + C = 0.

При B = 0 прямая параллельна оси Oy и ее уравнение можно записать в виде x = a.

При B =6 0 уравнение прямой записывается в виде, называемом уравнением прямой с угловым коэффициентом y = kx + b. Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox. Свободный коэффициент b – величина отрезка на оси Oy.

Уравнение прямой с заданным k и проходящей через A(xa, ya):

y − ya = k(x − xa).

Уравнение прямой, проходящей через точки A(xa, ya) и B(xb, yb):

Условие параллельности прямых: k1 = k2.

Условие перпендикулярности прямых: k1k2 = −1.

5.1. Задания к теме.

1.Написать уравнение прямой, пересекающей ось Oy в точке 3 и составляю• щей с осью Ox угол 1) 45◦, 2) 60◦, 3) 135◦.

19

2.Написать уравнение прямой, проходящей через 1) начало координат и точку

A(−2, 3), 2) точки B(−1, 3) и C(4, −2).

3. Построить прямую 2x − y = 0. Через точку A(−2, 5) провести прямую

1)параллельную к данной, 2) перпендикулярную к данной. Написать их уравнения.

4.Построить прямые и определить угол между ними: 1) y = 2x−3 и y = x2 +1,

2)3x − 4y = 6, 8x + 6y = 11.

5.В треугольнике с вершинами A(−2, 0), B(2, 6) и C(4, 2) проведены высота BD и медиана BE. Написать уравнения прямых AC, BD, BE.

6.Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10см и 6см, приняв боль• шую диагональ за ось Ox и меньшую – за Oy.

7.Построить треугольник со сторонами, заданными уравнениями x + y = 4, y = 3x, x − 3y − 8 = 0. Найти вершины треугольника и углы при них.

√

Ответы: 1. y = x + 3, y = 3x + 3, y = 3 − x. 2. y = −1.5x. 3. y = 2x +

+ 9, y = −0.5x + 4. 4. arctg 34 , 90◦. 5. y = x+23 , y = 5x − 4, y = 3x − 12. 6. y = ±35 x ± 3. 7. α = arctg 43 , β = γ = arctg 2.

§ 6. Вычисление пределов

Предел функции f(x) в точке x = a обозначается как lim f(x). В случае,

x→a

когда функция f(x) непрерывна и определена в точке x = a, то lim f(x) = f(a).

x→a

Свойства пределов (если lim u и lim v существуют):

1.lim(u + v) = lim u + lim v.

2.lim(uv) = lim u · lim v.

Раскрытие неопределенностей – методы вычисления пределов функций, за• данных формулами, которые в результате формальной подстановки в них пре•

дельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:00 , n∞∞o, {0 · ∞}, {∞ − ∞}, 00 , {1∞}, ∞0 . В случае появления таких

20