Численное решение дифференциальных уравнений

Метод Эйлера

В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Идея метода заключается в том, что на малом промежутке изменения независимой переменной x0 ≤ x ≤ x0 + h = x1

интегральная кривая дифференциального уравнения y'= f (x, y)

заменяется отрезком прямой (касательной) y − y0 = f (x0 , y0 ) (x − x0 ) . Отсюда

y1 = y0 + f (x0 , y0 ) h

Процесс можно повторить для промежутка x1 ≤ x ≤ x1 + h = x2 и т.д.

Таким образом, интегральная кривая заменяется при этом ломаной, называемой ломаной Эйлера (рис.).

Рисунок 4

Метод Эйлера обладает удовлетворительной точностью лишь при достаточно малых h

Метод Рунге — Кутта

Этот метод более точный и относится к одношаговым методам численного интегрирования, т. е. к таким методам, которые позволяют найти приближенное значение решения заданной задачи в узле yi+1 по информации об этом решении лишь в одной предыдущей узловой точке yi.

Метод описывается следующими соотношениями:

yi +1 = yi + yi ,

yi = 61 (K1(i ) + 2K2(i ) + 2K3(i ) +K4(i ) ) ,

Как видно, с алгоритмической точки зрения метод Рунге — Кутта не имеет принципиальных различий от метода Эйлера. Разница лишь в объеме вычислений: для получения нового значения y на каждом шаге необходимо проделать все действия, предусмотренные формулами выше.

Литература

oСухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. -

М.: Наука, 1986.

o Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983.

o Банди Б. Методы оптимизации (вводный курс). - М.: Радио и связь,1988.

oМакс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. - М.: Мир, 1983.

oКорн Г., Корн Е. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1984.