Объем тела вращения

(декартова система координат)

Теорема. Объем тела, ограниченного плоскостями и, площадь сечения которого плоскостью, перпендикулярной осиизвестна и равна, определяется формулой.

Доказательство. Разобьем исследуемое тело на части плоскостями , получив при этомэлементарных тел, выберем внутри каждой областиточкуи подсчитаем в ней, тогда выражение, гдепредставляет объем элементарного цилиндра, приблизительно равный объему заданного элементарного тела. Очевидно,сумма объемов элементарных цилиндров приближенно равна объему изучаемого тела. Если увеличивать число разбиений, следя за тем, чтобы всеуменьшались, стремясь к нулю, то эта погрешность уменьшается, следовательно,. Нетрудно заметить, что в правой части формулы стоит предел интегральной суммы Римана, который равен определенному интегралу. Теорема доказана.

Если тело образовано вращением некоторой линии , заданной на отрезке, относительно оси, то оно называется телом вращения, и его объем может быть определен с помощью формулы.

Докажем эту формулу. Любое сечение тела вращения плоскостями, перпендикулярными оси , представляет собой круг радиуса, естественно, его площадь равна. Подставляя это выражение в формулу, полученную в теореме, получаем желаемый результат. Итак, объем тела вращения, ограниченного плоскостямииопределяется формулой