- •Определенный интеграл (интеграл Римана) Площадь криволинейной трапеции
- •Определение интеграла Римана, условия его существования
- •Необходимое и достаточное условия существования определенного интеграла
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом Формула Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование определенного интеграла по частям
- •12.1. , 12.2., 12.3..
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Вычисление определенного интеграла с помощью максимы
- •Длина дуги кривой
- •Объем тела вращения
- •13.1. , 13.2.,
Свойства определенного интеграла
1. .
Подынтегральная функция в данном случае равна единице, следовательно, интегральная сумма Римана . Так как предел постоянной равен самой постоянной, ее предел, а, следовательно, и интеграл равен.
2. .
Не нарушая общности доказательства, считаем , тогда вычисляя интегральную сумму Римана, начиная с точки, получаем все. Если вычислять сумму Римана, идя от точкик,,а . Следовательно, суммы Римана при одном способе разбиения отрезка интегрирования и выборе точек, при движении слева направо и справа налево будут отличаться знаком, что доказывает теорему.
3. , еслипостоянная.
Доказательство. Общий множитель можно вынести за знак интегральной суммы, а затем как постоянную за знак предела:
4. .
Доказательство.
.
5. при любом, если все три интеграла существуют.
Доказательство. Если точка внутренняя точка отрезка интегрирования, то выбрав ее в качестве одной из точек разбиения интервала, получаем, что интегральная сумма левого интеграла равна сумме интегральных сумм, стоящих в правой части формулы. Доказательство легко обобщается и на случай, когда точкалежит вне отрезка интегрирования. Пусть, Применяя к интегралу только что доказанную формулу для внутренней точки, получаем
,
откуда следует
.
В ходе доказательства использовалось свойство 2.
6. , если на отрезке, где,.
Доказательство. В силу принятых условий . Но из свойства 4 следует
.
7. Первая теорема о среднем. Пусть инаименьшее и наибольшее значения функциина отрезке. Тогда, где.
Доказательство. Из условия теоремы на отрезке интегрирования имеем . Из предыдущего свойства получаеми
поскольку ипостоянные, используя третье и первое свойства определенного интеграла, имеемтогда
.
Поскольку , делим все части неравенства на, в результате
.
Обозначим , тогда с одной стороны,, с другой,
. Доказано.
8. Вторая теорема
о среднем. е
Вторая теорема о среднем.а на функции
ство еорему имеем егральных сумм
интегралов, стоящих в правой части
форимулы.
Данное свойство доказывается с помощью теоремы для непрерывных функций: для любого числа , находящегося между наименьшим и наибольшим значениями функции на отрезке, внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой. Используя это утверждение, из первой теоремы о среднем получаем вторую.
Интеграл с переменным верхним пределом Формула Ньютона-Лейбница
Определение. Если переменная величина, то интегралназывается интегралом с переменным верхним пределом.
Очевидно, . Действительно, при изменении значения, меняются размеры криволинейной трапеции, следовательно, и ее площадь.
Теорема. Интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных подынтегральной функции.
Необходимо доказать, что . Подсчитаем
,
где . Тогда, что и требовалось доказать.
Формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл может быть вычислен по формуле , гделюбая первообразная подынтегральной функции, то есть.
Доказательство. Пусть и- первообразные функции. Очевидно, производные этих функций равныи отличаются первообразные на постоянную, то есть. Рассмотрим это равенство при:. Поскольку, что следует из определения интеграла Римана, то. Теперь. Если принять, то, и формула Ньютона-Лейбница доказана.
Иногда удобнее использовать формулу Ньютона-Лейбница в следующем виде
,
причем вместо первообразной можно использовать неопределенный интеграл, так как при подстановке верхнего и нижнего пределов постоянная интегрирования сокращается. Итак,
.
Здесь вертикальная черта, снабженная верхним и нижним индексами, называется "символом подстановки". Смысл выражения означает, что после вычисления интеграла необходимо вместоподставить его значение.