Определенный интеграл (интеграл Римана) Площадь криволинейной трапеции

Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми ,,и кривой.

Разобьем отрезок точкаминаэлементарных отрезков, длинаго отрезка. Восстановим перпендикуляры из точек разбиения отрезка до пересечения с кривой, пусть. В результате получаемэлементарных трапеций, сумма их площадей, очевидно, равна сумме заданной криволинейной трапеции.

Определим на каждом элементарном интервале наибольшее и наименьшее значения функции, на первом интервале это , на второми так далее. Вычислим суммы

,

.

Первая сумма представляет собой площадь всех описанных, вторая – есть площадь всех вписанных в криволинейную трапецию прямоугольников.

Ясно, что первая сумма дает приближенное значение площади трапеции "с избытком", вторая – "с недостатком". Первую сумму называют верхней суммой Дарбу, вторую – соответственно нижней суммой Дарбу. Таким образом, площадь криволинейной трапеции удовлетворяет неравенству. Выясним, как ведут себя суммы Дарбу с увеличением числа точек разбиения отрезка. Пусть число точек разбиения увеличилось на одну, и она находится на середине интервала. Теперь число как

вписанных, так и описанных прямоугольников увеличилось на единицу. Рассмотрим, как изменилась при этом нижняя сумма Дарбу. Вместо площади го вписанного прямоугольника, равнойполучаем сумму площадей двух прямоугольников, поскольку длинане может быть меньшенаименьшего значения функции на. С другой стороны,, посколькуне может быть большенаибольшего значения функции на интервале. Итак, добавление новых точек разбиения отрезка увеличивает значение нижней суммы Дарбу и уменьшает верхнюю сумму Дарбу. При этом нижняя сумма Дарбу при каком угодно увеличении количества точек разбиения не может превысить значения любой верхней суммы, так как сумма площадей описанных прямоугольников всегда больше суммы площадей вписанных в криволинейную трапецию прямоугольников.

Таким образом, последовательность нижних сумм Дарбу возрастает с увеличением числа точек разбиения отрезка и ограничена сверху, по известной теореме она имеет предел. Этим пределом является площадь заданной криволинейной трапеции.

Аналогично последовательность верхних сумм Дарбу уменьшается с увеличением числа точек разбиения интервала и ограничена снизу любой нижней суммой Дарбу, значит, она также имеет предел, и он тоже равен площади криволинейной трапеции.

Следовательно, для вычисления площади криволинейной трапеции достаточно для разбиений интервала определить либо нижнюю, либо верхнюю сумму Дарбу, а затем вычислить, или.

Однако такое решение задачи предполагает при любом, сколь угодно большом числе разбиений , нахождение на каждом элементарном интервале наибольшего или наименьшего значения функции, что является весьма трудоемкой задачей.

Более простое решение получается при помощи интегральной суммы Римана, которая представляет собой

,

где некоторая точка каждого элементарного интервала, то есть. Следовательно, интегральная сумма Римана представляет собой сумму площадей всевозможных прямоугольников, причем. Как было показано выше, пределы верхней и нижней сумм Дарбу одинаковы и равны площади криволинейной трапеции. Используя одно из свойств предела функции (правило двух полицейских), получаем, что при любом разбиении отрезкаи выборе точекплощадь криволинейной трапеции может быть вычислена с помощью формулы.