Интегрирование определенного интеграла по частям

Требуется вычислить интеграл , гдеифункции от. Используя последний вариант формулы Ньютона-Лейбница, получаем, в правой части стоит неопределенный интеграл, для интегрирования которого можно использовать формулу. В результате

.

Итак, формула интегрирования по частям определенного интеграла

.

Пример. .

Примеры для самостоятельного решения

12.1. , 12.2., 12.3..

Ответы. 12.1. , 12.2., 12.3..

Замена переменной в определенном интеграле

Замену переменной в определенном интеграле можно осуществить двумя способами. Первый – непосредственное применение формулы Ньютона-Лейбница, то есть переход от определенного интеграла к неопределенному , затем замена переменной в неопределенном интеграле, его вычисление, возвращение к старой переменной

и подстановка верхнего и нижнего пределов интегрирования в соответствии с формулой Ньютона Лейбница

.

Здесь первообразная функции, аобратная функция функции.

Возможен и другой путь, основанный на том, что в отличие от неопределенного интеграла, когда результатом вычисления является функция, определенный интеграл представляет собой число. Введем обозначения , тогда

.

Отсюда имеем

.

Нопервообразная функции, следовательно,

,

откуда следует формула, реализующая замену переменной без возвращения к старой переменной

.

Другими словами, вместо возвращения к старой переменной осуществляется корректировка пределов интегрирования в интеграле после замены переменной. В процессе этой корректировки устанавливается, каковы пределы интегрирования по новой переменной , если пределы интегрирования по старой переменной отдо.

Замечание. Поскольку при любом способе интегрирования осуществляется переход от определенного интеграла к неопределенному, все теоретические наработки, связанные с заменой переменной в неопределенном интеграле, справедливы и при замене переменной в определенном интеграле. При одном условии – существование интеграла относительно новой переменной также должно гарантироваться.

Примеры.

1.

.

Отметим, что при осуществлении замены переменной в соответствии с рекомендациями теории необходимо эту замену уточнять, чтобы не напутать при корректировке пределов. В вычисленном интеграле теория рекомендует замену , если корректировку пределов интегрирования осуществлять с помощью этой формулы, тои,и. Чтобы избежать путаницы в знаках, формулуследует записать либо в виде, либо. И тот, и другой варианты приводят к желаемому результату – избавлению от иррациональностей. Однако до установления пределов интегрирования следует остановиться на одной из формул. В примере была выбрана первая формула.

2.

.

Для корректировки пределов использовалась формула , из которой следует, что имеет место при, ареализуется при.

Вычисление определенного интеграла с помощью максимы

В этом случае используется команда, мало отличающаяся от команды для вычисления неопределенного интеграла, лишь после переменной интегрирования добавляются пределы интегрирования, причем в порядке их возрастания.

Например, команда integrate(x^5,x,0,1) и Shift+Enter вычисляет интеграл

Интеграл , вычисленный ранее вручную,

Интеграл

Примеры для самостоятельного решения

12.4. , 12.5., 12.6.,

12.7. , 12.8., 12.9..

Ответы.

12.4. , 12.5., 12.6., 12.7., 12.8., 12.9. 2.

Разные задачи

12.10. , 12.11. ,

12.12. , 12.13.,

12.14. , 12.15. , 12.16. ,

12.17. , 12.18. , 12.19. .

Ответы.

12.10.  , 12.11. , 12.12. , 12.13. ,

12.14. , 12.15. , 12.16. ,

12.17. , 12.18. , 12.19..

Приложения определенного интеграла

Площадь фигуры

Декартова система координат

Выше было показано, что геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции. Покажем, как с его помощью определяются площади более сложных плоских фигур.

Явное задание функции

Поскольку значение интеграла может быть как отрицательным, так и положительным, а площадь фигуры – величина положительная, следует руководствоваться следующим правилом.

Если подынтегральная функция на интервале меняет знак, скажем, в точкахи, причем, площадь фигуры определяется формулой

.

Покажем на примере 1, что может получиться, если не следовать этому правилу. Пусть необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой на интервале. Если не заметить, что на этом интервале синусоида меняет знак, проходя через точку, то решение принимает вид. Ясно, что получен неверный результат, площадь этой фигуры не равна нулю. Теперь применим вышеприведенную формулу

=2+2=4.

В рассмотренном примере ошибочное решение видно сразу, так как оно противоречит ожидаемому результату, но бывают случаи, когда ошибку в расчетах заметить трудно, а иногда и невозможно. Это происходит, когда площадь части фигуры, расположенной ниже оси абсцисс, скажем, значительно меньше площади части фигуры, расположенной в верхней полуплоскости. Тогда результат, полученный без разбиения интеграла на части будет не очень заметно отличаться от правильного результата. Эту ошибку без надлежащей проверки можно не заметить, хотя она может оказаться важной.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Кривая пересекает ось абсцисс при и. Очевидно, интересующая нас фигура находится в области, причем подынтегральная функция в этой области отрицательна (рисунок 41)

Рисунок 41.

.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,,. Сделаем рисунок

Рисунок 42.

Из рисунка 42 видно, что часть фигуры расположена ниже оси , другая выше ее, причем кривая пересекает ось абсцисс при. Итак,

.

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, находящейся в правой полуплоскости и ограниченной линиями,. Сделаем рисунок

Рисунок 43.

Из рисунка 43 следует, что заданная фигура представляет разность двух трапеций и занимает область , формула ее площади имеет вид, где,. Тогда

.

Параметрическое задание функции

Чтобы получить формулу площади плоской фигуры, когда уравнение кривой, ограничивающей фигуру, задано параметрически , следует в

формуле произвести замену переменной

,

здесь значение переменной, соответствующее,значение переменной, соответствующее. Итак, для параметрически заданной функции

.

Здесь, как и в предыдущем параграфе, необходимо следить за точками, в которых функция меняет знак.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью абсцисс. Определим два ближайших друг к другу значения параметра, при которых. Этои. Именно в этой области располагается одна арка циклоиды, и в этих пределах нужно производить интегрирование. Сделаем рисунок

Рисунок 44.

Из рисунка видно, что внутри области кривая знака не меняет. Тогда

.

Получим тот же результат с помощью МАКСИМЫ

Пример 2. Вычислить площадь эллипса .

Запишем уравнение эллипса в параметрической форме . Если вычислить площадь фигуры, расположенной в верхней полуплоскости, полученный результат умножить на 2, получим искомую площадь. Но эта часть кривой реализуется при. Таким образом,

.

Полярная система координат

Определим площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами ,и кривой. Разобьем областьнаподобластей – элементарных секторов. Заменим каждый элементарный сектор сектором круга, радиус которогои угол. Тогда площадь элементарного сектора равна. Площадь всего криволинейного сектора приближенно описывается интегральной суммой. При этом с возрастанием числа разбиений областизначение интегральной суммы приближается к истинному значению площади криволинейного сектора, так как уменьшается погрешность замены каждого элементарного сектора частью круга. Очевидно,. Однако, предел интегральной суммы, если он не зависит от способа разбиения области и выбора точекравен определенному интегралу. Следовательно, площадь криволинейного сектора определяется формулой

.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним витком спирали Архимеда .

Рисунок 45.

Один виток спирали проходится при изменении угла от 0 до. Тогда.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой . Рисунок

Рисунок 46.

Очевидно,

.