12.3.Статическая детерминированная модель с дефицитом

12.4. Стохастические модели управления запасами

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

5.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 5048 49 50 > Следующая >>>

181

Врассматриваемой модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при

отсутствии запасаемого продукта, т.е. при

J (t) 0

спрос сохраняется с той же

интенсивностью r(t) b , но	потребление запаса отсутствует — b(t) 0, вследствие
чего накапливается дефицит со	скоростью b . График изменения уровня запаса в этом случае

представлен на рис. 12.3. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 12.2 характеризует накопление дефицита.

Рис. 12.3

Из рис. 12.3 видно, что каждый период "пилы"	T	n	разбивается на два временных
		b

интервала, т. е. T T1 T2 , где T1 — время, в течение которого производится потребление запаса, T2 — время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в

момент поступления следующей партии.

Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n , а меньше его на величину

В данной модели в функцию суммарных затрат C наряду с затратами C1 (на пополнение запаса) и C2 (на хранение запаса) необходимо ввести затраты C3 — на штраф из-за дефицита, т.е.

C C1 C2 C3 .

	182
Затраты C1	как и ранее, находим по формуле	(12.6). В разд. 12.2 было показано, что затраты	C2
при линейном расходе запаса равны затратам		на хранение среднего запаса, который за время
потребления T1	равен sT1 / 2 ; поэтому с учетом (12.17) и (12.5) эти затраты составят

C	c sT		c sT		sT
C	2	1 k	2	1
2		2		2		T
		2		2		T

		2
		c s
		2
		2
		2n

(12.18)

При расчете затрат C3 будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени c каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период T2 равен (n s)T2

на

/ 2 ,

то штраф за этот период			T2	составит
—
C	1	c	(n s)T k
C		c	(n s)T k
3	2	3		2
	2

12 c3(n s)T2 ,

1 c3 (n s) n

, а за весь период				с учетом (12.7)
s			c (n s)		2
s	T		c (n s)		.
	T		3		.
			3
n		T	2n

и(12.17)

(12.19)

Теперь, учитывая, (12.18) и (12.19), суммарные затраты равны
C c	N	c s2	c (n s)2
		2	3	.	(12.20)
				.	(12.20)
1 n		2n	2n

Нетрудно заметить, что при n s		формула (2.20) совпадает с ранее полученной (12.8) в модели
без дефицита.
Рассматриваемая задача	управления	запасами сводится к отысканию такого объема партии n и
максимального уровня запаса	s , при которых функция C (12.20) принимает минимальное значение. Другими

словами, необходимо исследовать функцию двух переменных C(n, s) на экстремум. Приравнивая частные производные C / n и C / s к нулю, получим после преобразований систему уравнений:

n		2	c	(c		c	)s	2	2c N / ,
n			c	(c		c	)s		2c N / ,
			3		2	3			1

	s n				c
	s n				3	.
				c	c
				c	c
				2		3

(12.21)

Решая систему, получаем максимального уровня запаса

формулы наиболее экономичного объема партии n0 и s0 для модели с дефицитом:

n0	2c N	c	c	2c b
n0	1	2	3	1
	1	2	3	1
	c		c	c
	2		3	2

c	c
2	3
	c
	3

(12.22)

s0	2c1N				c3	n0		c3
									.	(12.23)
	c			c	c		c	c	.	(12.23)
	2			2	3	2		3
Величина
			c3							(12.24)
		c	c							(12.24)
	2			3

называется плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что 0 1. Если значение c3 мало по сравнению с

c2 то величина близка к нулю; когда c3 значительно превосходит c2 , то близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что c3 или = 1.

Используя (12.24), основные формулы (12.22) и (12.23) можно записать компактнее:

183

n0		2c b
n0			1
			1
		c
		2
s0	n0 .

(12.25)

(12.26)

Следует	учесть,	что в	силу	(12.17)	и	(12.26)	T1 / T s0 / n0	и
T2 / T (n0	s0 ) / n0	1 . Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за
неудовлетворенного спроса равна			,	означает,	что	в течение	(1- )100% времени от

полного периода T

запас продукта будет отсутствовать.

Из сравнения формул (12.25) и (12.10) следует, что оптимальные объемы партий для

задач с дефицитом и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением
n0	n
	0	,	(12.27)
		,	(12.27)

откуда вытекает, что оптимальный объем партии в задаче с дефицитом всегда больше (в 1/

раз), чем в задаче без дефицита.

Пример 12.5. Найти наиболее экономичный объем партии и интервал между поставками, сохраняя условия задачи 12.2, кроме недопустимости дефицита, если известно, что отсутствие на сборке каждой детали приносит в сутки убытки в размере 3,5 ден. ед.

Решение. По условию c3 = 3,5. Ранее было получено по формуле (12.9) n0 =4335 и по

(12.15) T0	= 13,2. Найдем плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса по формуле
(12.24):	= 3,5/(0,35 + 3,5) = 0,909, т.е. 100 (1-0,909) = 9,1% времени между
поставками детали на сборке будут отсутствовать.

Теперь оптимальный размер партии по формуле (12.27)

= 4335/

0, 909

= 4547. В силу

(12.15) пропорционально увеличению n0				должен увеличиться интервал между
поставками, т.е. T 0	T	/	13,2 /	0,909 13,8 14 дней. ►
	0

дефицита n s , накопившегося за время

(см. рис. 12.3).

Из геометрических соображений легко установить, что

Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых спрос является

случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в связи с чем ограничимся рассмотрением


наиболее простых моделей.
Предположим, что спрос		r за интервал времени T является случайным и задан его закон
(ряд) распределения p(r)		или плотность вероятностей (r) (обычно функции	p(r) и
(r) оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос			r ниже
уровня запаса	s , то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта		требует
дополнительных затрат c2		на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s ,
то это приводит к штрафу за дефицит c3 на единицу продукции.

Вкачестве .функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.

Врассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r , имеющем закон распределения

p(r) , математическое ожидание суммарных затрат имеет вид (учитываем только расходы на неиспользованные единицы продукта):

184

s	3
2	3		(r s) p(r) .
C(s) c	(s r) p(r) c		(r s) p(r) .
r0		r s1

(12.28)

В выражении (12.28) первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка (s r) единиц продукта (при r s ), а второе слагаемое — штраф за дефицит на (r s) единиц продукта (при r s ).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью вероятностей (r) , выражение C(s) принимает вид:

C(s)

2	s	3
2		3
c		(s r) (r)dr c		(r
	0		s

s) (r)dr

(12.29)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s , при котором математическое ожидание суммарных затрат (12.28) или (12.29) принимает минимальное значение.

Рис. 12.4

Доказано, что при дискретном случайном спросе r выражение (12.28) минимально при запасе s0 ,

удовлетворяющем неравенствам
	F (s0 ) F (s0 1)			(12.30)
а при непрерывном случайном спросе	r выражение (12.29) минимально при значении		s0	,
определяемом из уравнения
F (s0 ) ,				(12.31)
где
F(s) p(r s)				(12.32)
есть функция распределения спроса	r , F (s0 ) и F (s0 1) — ее значения;			— плотность
убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (12.24).
Оптимальный запас s0 при непрерывном спросе по данному значению		может быть найден и
графически (рис. 12.4).

Пример 12.6. Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока равна 5 ден. ед. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдется в 100 ден. ед. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, потребовавших замену, представлено в табл. 12.1.

			185
			Та б ли ца 12. 1
Число замененных блоков r	0	1	2	3	4	5	6

Статистическая вероятность	0,90	0,05	0,02	0,01	0,01	0,01	0,00
(доля) агрегатов p(r) ,
которым потребовалась замена
r блоков

Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое следует приобрести вместе с

агрегатом.
Решение. По условию c2					= 5, c3		= 100. Вычислим плотность убытков из-за нехватки запасных
блоков по формуле (12.24) = 100/(5+100) = 0,952.
Учитывая (12.32), найдем значения функции распределения спроса (табл. 12.2).
							Та б ли ца 12. 2

r	0	1		2		3	4	5	6

F(r)	0,00	0,90		0,95		0,97	0,98	0,99	1,00

Очевидно (см. табл. 12.2), что оптимальный запас составит s0 = 2, ибо он удовлетворяет
неравенству (12.30):			F (2) < 0,952 < F (3). ►
Пример 12.7. Решить задачу 12.6 при условии непрерывного случайного спроса r ,
распределенного по показательному закону с функцией распределения										F (r) 1 e	r
										F (r) 1 e
при	= 0,98.

Решение. Оптимальное число запасных блоков

найдем из уравнения (12.31):

1 e

При



	s
	0
	0

= 0,98

откуда

s
0

e	s	1
	0

(1/ 0,98) ln

и s0

048

1 ln(1 ) .

3	(блока). ►

В условиях рассматриваемой модели предположим, что расходование запаса происходит непрерывно с одинаковой интенсивностью. Такую ситуацию можно представить графически (рис. 12.5).

186

Рис. 12.5а

Рис. 12.5, а соответствует случаю r s, когда спрос не превосходит запаса, а рис. 12.5б —
случаю,	когда спрос превышает запас, т.е. r s . Следует отметить, что на самом деле
график	J (t) представляет ступенчатую ломаную, показанную на рис. 12.5 пунктиром, но

для исследования модели нам проще рассматривать

J (t)

в виде прямой, сглаживающей эту

ломаную.

Средний запас, соответствующий рис. 12.5а, равен

Средний полагаем n

s1	1	(s (s r))	s	1	r .	(12.33)
s1	2	(s (s r))	s	2	r .	(12.33)
	2			2
запас, соответствующий рис. 12.5б с учетом формулы (12.17), в которой
r , составляет

1 s

(12.34)

Формула (12.34) получается следующим образом. Из (12.17) имеем: sT

s2T

. Так

как n r , то sT

s2T

. Отсюда следует (12.34).

Средний дефицит продукта за период T2

для случая, соответствующего рис. 12.5б с

учетом (12.17), где

n r , равен

1 (r s)

(r s)

(12.35)

Математическое ожидание суммарных затрат составит:

(r s)

C(s) c2 (s

) p(r) c2

p(r) c3

p(r) .

(12.36)

r 0

r s 1

2 r

r s 1

187

Рис. 12.5б

Доказано, что в этом случае математическое ожидание (12.36) минимально при запасе , удовлетворяющем неравенству

			L(s0 ) L(s0 1)			,
где по-прежнему определяется по формуле (12.24);
					1		p(r)
			L(s) F (s)	s	1		p(r)
			L(s) F (s)	s				,
					2	r s	r
						r s
L(s ) И L(s		1)	— значения функции (12.38), a F(s)
0	0

определением (12.32).

(12.37)

(12.38)

находится в соответствии с

Пример 12.8. Имеющиеся на складе изделия равномерно расходуются в течение месяца. Затраты на хранение одного изделия составляют 5 ден. ед., а .штраф за дефицит одного изделия обходится в 100 ден. ед. Изучение спроса дало распределение числа потребляемых за месяц изделий, представленное в табл. 12.10.

Таблица 12.3

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 4748 / 5048 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]