2.1.3 Формальные свойства производственных функций

2.1.4 Характеристики производственной функции

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое и имитационное моделирование экономических процессов..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

5.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 504 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Ka1 La2

Ka1

K a1

1 a

L 1

Дроби

	y	z
	L	z
	L

	K	k
	L	k
	L

называются соответственно производительностью труда и

капиталовооруженностью труда. Используя новые символы, получим

т.е.

z a		k	a
	0		1

из двухфакторной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД. a1 1, из последней формулы следует, что производительность труда

В связи с тем, что

z	растет медленнее

его капиталовооруженности. Однако этот вывод справедлив для случая статической ПФКД в рамках существующих технологии и ресурсов.

Отметим здесь, что дробь

y K

называется производительностью капитала или

капиталоотдачей.

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) может быть учтен с помощью

введения множителя НТП влиянием НТП:

y(t) eptf (x1(t), x

e		pt	,

2	(t))

где параметр р ( р > 0 ) характеризует темп прироста выпуска под

(t 0, 1,...,T)

Эта ПФ - простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть не материализованный в одном из факторов, технический прогресс.

	Производственная функция	f (x1, x 2 )		как формальная		конструкция
неотрицательном октанте двумерной плоскости. т.е. определена						при x1 0,
должна удовлетворять ряду свойств:
1.	f (0, 0) 0; f (0, x 2 ) f (x1,0) 0.
2.	x(1) x(0) f (x(1)) f (x(0));		f (x)		0; i 1, 2; x(k) (x (k), x
2.	x(1) x(0) f (x(1)) f (x(0));				0; i 1, 2; x(k) (x (k), x
			x			1
			i

определена в

x 2 0

. ПФ

2	(k));

2	f (x)		0;		2	f (x)		0;	(i 1, 2)

x		2		x x
							2
		i				1

4.f (tx1, tx 2 ) tpf (x1, x2 ) .

5.Матрица Гессе, составленная из вторых производных производственной функции

2f		2f

x 2	x1x 2
1
2f		2f
2f		2f

x 2x1		x 22
x 2x1		x 22

отрицательно определена.

Свойство 1 означает, что без ресурсов (даже при отсутствии хотя бы одного из ресурсов) нет выпуска.

Свойство 2 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет. Положительность первой частной производной означает, что с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет.

Свойство 3 (вторая частная производная ПФ неположительна) означает, что с ростом затрат одного (1-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу 1-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности).

Неотрицательность второй смешанной производной означает, что при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает. Если выполнены условия 3, то график

ПФ есть поверхность, расположенная в неотрицательном октанте x1 0, x 2 0, y 0

трехмерного пространства и выпуклая вверх. Вообще геометрический образ ПФ должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой горкой, крутизна которой убывает, если точка (х1 х2) уходит в плоскости Ох1х2 на "северо-восток".


Свойство 4 означает, что ПФ является однородной функцией степени p 0 . При p 1 с
ростом масштаба производства в	t	раз (число t 1 ), т.е. с переходом от вектора		x	к вектору

tx , объем выпуска возрастает в	t	p	раз, т.е. имеем рост эффективности производства при

росте масштаба производства. При			p 1 имеем падение эффективности производства при

росте масштаба производства. При p 1

имеем постоянную эффективность производства при

росте его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства. Свойство 5 означает, что ПФ является выпуклой вверх функцией.

Для ПФКД y a0x

( a1 a 2

1) свойства 1-5 выполняются.

Для ЛПФ y a0

a1x1 a 2x2

( a0 0, a1 0, a 2 0 ) свойство 1 (при a0 0 ) и

свойство 4 не выполняются, а матрица Гессе не существует.

Множество точек (линия)

уровня

q f (x , x

) ( q 0 - действительное число) ПФ

y f (x1, x 2 ) называется изоквантой или линией уровня ПФ. Иными словами, линия уровня

q - это множество точек, в котором ПФ постоянна и равна q .

Различные наборы

, v

) и

, w

) затрачиваемых ресурсов, принадлежащие одной и

той же изокванте q

(т.е.

q f (v1, v2 ) f (w1, w 2 ) ) дают один и тот же объем выпуска q .

v	2

lq2

		lq
		1
		lq
w1	v1	x1

Рис. 2.4

v	2

w1	v1	lq	lq	lq	2	x1
			1		2

Рис. 2.5

Изокванта

(x		, x	2	) x
	1		2	1

есть0, x2

линия,	расположенная
0 двумерной плоскости Ox1x2

в неотрицательном октанте

Пример 1. На рис. 4 даны изокванты

q	, q	2
1		2

ПФКД. Отметим, что изокванта

q 2

расположенная "северо-восточнее" изованты

, соответствует большему объему выпуска (т.е.

q1). .Если

объем

используемого

основного капитала неограниченно

растет (т.е.

K ),

то, как

видно

на

рис.

4, затраты труда неограниченно убывают (т.е.

L 0 ). Аналогично, как видно на

рис. 2.4, если x2 L то x1 K 0 . На

рис. 5 даны изокванты

( q

)

линейной ПФ.

При n 2 для любой ПФ,

для которой справедливы все (или часть)

свойств 1-4,

изокванта (если она не является прямой) есть линия, которая выпукла к точке О.

Решение. R y / K

Производительность ресурса. Пусть задана ПФ

f (x)

(x	1	, x	2	)
	1		2

. Дробь

A		f (x)	(i 1, 2)	(2.3)
A	i	x	(i 1, 2)	(2.3)
	i

		i

называется средней производительностью i -го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i -му ресурсу (фактору производства).

Напомним, что в случае

производительностей	y	и	y
	K		L

двухфакторной ПФКД y a0Ka1 La2 для средних

основного капитала и труда были использованы соответственно

термины производительностью капитала (или капиталоотдача) и производительность труда.

Эти термины используют и применительно к любым двухфакторным ПФ, у которых

x1 K, x2 L .

Обратные дроби

выпуска.

K y

L y

называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью

Первая частная производная ПФ
	Mi		f (x) (i 1, 2)							(2.4)
			xi
называется	предельной		(маржинальной)				производительностью			i -го ресурса (фактора
производства) (ППФ) или предельным выпуском по								i	-му ресурсу (фактору производства).
Обозначим символами xi			приращение переменной xi , а						if (x) - соответствующее ей частное
приращение	ПФ.			Здесь			1f (x) f (x1			x1, x 2 ) f (x1, x 2 );
2 f (x) f (x1, x2 x2 ) f (x1,					x2 ) . При малых			xi имеем приближенное равенство
	Mi	f (x)		if (x)		(i 1, 2)
		xi		xi

Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y , если объем затрат xi i -го ресурса вырастает на одну единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

Пример 1. Для ПФКД y a0x														a	1		x		a	2		найти в явном виде A1, A2 , M1, M2
															1				2	2

													1
Решение задачи. Имеем:
A	y	a			xa1			1xa	2 ; A								y				a				xa1 xa 2 1;
A		a		0	xa1			1xa	2 ; A		2										a			0	xa1 xa 2 1;
1	x1			0		1		2			2						x2							0		1		2
	x1																x2
	M			f				a A ;		M									f				a				A		.
	M							a A ;		M		2											a			2	A	2	.
	1			x				1	1			2						x				2				2		2
						1																2
	M																		M			2
		1	a			1	1 M			A						;						2	a			2	1 M			2	A		2	.
	A					1			1					1					A			2				2				2			2
	1																					2
Последние неравенства означают,																			что предельные производительности i
больше средней производительности этого ресурса.
Пример 2. Для ЛПФ									y a0						a1x1 a											2x 2			(ai 0,			i 1, 2,3) найти
A1, A2 , M1, M2 .
Решение задачи. Имеем:

-го ресурса не

вявном виде

0 a

2 ; A

0 a

;

1 a

M		f		a	; M					f		a		.
M				a	; M	2						a	2	.
1		x		1		2		x			2		2
			1								2
M							M			2
1	1		M		A	;				2		1 M			2	A	2	.
A				1	1		A		2						2		2
1									2
		Эластичность. Отношение предельной производительности
средней производительности											Ai

M i

-го ресурса к его

f (x)

i 1, 2.

f (x)

(2.5)

называется (частной) эластичностью выпуска по i -му ресурсу (по фактору производства) (ЭВФ).

Сумма E1			E2 Ex называется эластичностью производства.
Заменяя	f (x)					приближенно на			f (x)		, получим
		x							x
				i						i

	E	i			Mi		if (x) / xi

					Ai		f (x)	xi

т.е. Ei приближенно показывает,									на сколько процентов увеличится выпуск y , если затраты i -го
ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса.
Пример 3. Выписать в явном виде для ПФКД выражения для E1, E2 и E .
Решение задачи. Имеем:
E1 a1;					E2 a2;			Ex E1 E2 a1 a2.

Пример 4. Для ЛПФ

y a1x1 a 2x2

(a0 0)

выписать в явном

E1, E2 и E x . Решение задачи. Имеем:

a x

; E

;

1 1

a x

Предельная норма замены (замещения) ресурсов.

Пусть y f (x) - ПФ. Предельной нормой	R	ij	замены (замещения)
		ij
производства) j-м (ПНЗФ) называется выражение

виде выражения для

i -го ресурса (фактора

		x j		f / x
R	ij				i	0	(i, j 1, 2)
R		x		f / x		0	(i, j 1, 2)
			i		j

при постоянной y .

(2.6)

Здесь

- номер заменяемого ресурса,

-номер замещающего ресурса. Используется также

термин: предельная технологическая норма замены (замещения) производства) j-м ресурсом (фактором производства).

-ого

ресурса (фактора

Непосредственно проверяется, что для двухфакторной ПФ справедливо равенство

R12

E x			2
1
E	2	x
			1

(2.7)

т.е. (предельная) норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей

выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к
	x1 K ,	x 2 L , то отношение —	x1	K
объему первого ресурса. Если			x 2	L	называется

капиталовооруженностью труда. В этом случае (предельная) норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда.

Заменяя бесконечно малые приращения dxi на конечные xi , можно приближенно записать выражение для предельной нормы замещения ресурсов (для двухфакторной ПФ)

		x
R	12	2		(2.8)
R		x		(2.8)


		1
На основании (6) предельная норма замены ресурсов R12			приближенно показывает, на сколько
единиц надо увеличить затраты второго ресурса (при неизменном выпуске				y ), если затраты

первого ресурса уменьшатся на одну единицу. См. рис. 2.6, на котором видно, что чем круче

касательная к изокванте l(q) в точке (x1, x 2 ) , тем больше выражение

тем больше норма замены R12

первого ресурса вторым.

dx2 dx1

, и следовательно,

Рис 2.6

Пример 5. Для ПФКД y aK L выписать в явном виде выражения

Эластичность замещения ресурсов

R12

и R

Эластичность замены труда капиталом показывает, на сколько процентов изменится фондовооруженность

k K / L труда при изменении предельной нормы замещения труда капиталом

на 1% при неизменном выпуске продукции:

EL,K	d ln k	.

	d ln RL,K
	d ln RL,K

(2.9)

1	2
	A

					22
				Рис 2.7
На рис.			2.7 показана изокванта (линия уровня) ПФ на плоскости			KL (обозначена цифрой 1).
Предельная норма замены труда капиталом в т. A					равна тангенсу угла наклона касательной,		проведенной
через т.	A	( R	L,K	tg ). При перемещении	из т. A в т. B по изокванте наклон		касательной
			L,K
меняется,	т.е.	меняется величина RL,K . При этом меняется и отношение				k K / L . Это отношение
постоянно вдоль каждой прямой, проходящей через начало координат (вдоль прямых 2 и 3).

Линейная ПФ

Рис 2.8а

y a K L

L	L

Рис 2.8б

Функция Кобба-Дугласа y aK L

	L	L
Рис 2.8в		Рис 2.8г
Функция Леонтьева y min( K, L)	Функция y a K	(1 )L 1/

						23
На рис.	2.7	показана изокванта (линия уровня) ПФ на плоскости KL (обозначена цифрой 1).
Предельная норма замены труда капиталом в т. A						равна тангенсу угла наклона касательной,			проведенной
через т. A ( RL,K tg ). При				перемещении		из т. A	в т. B	по изокванте наклон	касательной
меняется, т.е. меняется величина R			L,K		. При этом меняется и отношение k K / L . Это отношение
			L,K
постоянно вдоль каждой прямой, проходящей через начало координа(вдоль прямых 2 и 3).
На рис.	2.8	изображены линии уровня для линейной ПФ						y c aK bL ,	для ПФКД
y aK L ,	для	ПФ Леонтьева		Y min(aK,bL)			и ПФ	Солоу (функции с	постоянной

эластичностью замещения)

Y a		K

	1/

. Здесь

Для

функции Кобба-Дугласа

EL,K 1.

Действительно,

имеем

dln R dR / R;

1 /

) ( / )k ; dR ( / )dk .

R dK / dL ( / )(Y / a)

(1/ L

Отсюда получим EL,K 1.

Рассмотрим линейно однородную ПФ Солоу (CES функцию)

y a

Можно показать, что при 0 функция y aK

. Действительно имеем

y aL

(L / K)

)

[(L / K)

1] 1

Разложим в

ряд выражение в квадратных скобках

(L / K)

1 ln(L / K) . В

, где

v ln(L / K) . Далее

y aL ln(L / K) 1

aL v 1

dln k dk / k,

(2.10)

результате имеем

		1/			1/ v	v		v
		1/			1/ v			v
			aL	[ v 1]			aLe
y aL	v 1		aL	[ v 1]			aLe

aL(L / K)

aK	1
	L

ч.т.д.

		При
K		(1
K		(1


получаем ПФ Леонтьева. Покажем			это. Если		K L , то при
и для ПФ получим	y aL(1 )	1/		aL . Если K L, то при

1 1

K

(1 )L

и для ПФ получим

y aK	1/

. При

K L F

получим н ч.т.д.


Для ПФ Солоу эластичность замещения труда капиталом равна EL,K			1	.


		1
Отсюда при 0	получим EL,K 1	(функция Кобба-Дугласа). При 1

следует

E	L,K
	L,K

(линейная ПФ). При получаем

E	L,K	0
	L,K

(ПФ Леонтьева) т.е.

Функция Леонтьева имеет нулевую эластичность замещения: ресурсы в ней должны использоваться в заданной пропорции и не могут замещать друг друга.

В качестве примера ПФ CES приведем функцию, полученную Грандбергом А.Г. для

экономики СССР за период времени 1960 – 1985 гг.:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 504 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]