Цифровые системы автоматического регулирования

4.3.2. Диаграмма состояний

Традиционный метод графов, который использовался в подразд. 3.4 для структурного анализа цифровых систем, может быть применен только для описания соотношений входных и выходных сигналов в области изображений, то есть для алгебраических уравнений. Распространим этот метод на разностные уравнения состояния.

Переходный граф состояния системы (в дальнейшем для краткости диаграмма состояния) для непрерывных систем по структуре совпадает со схемой моделирования системы на аналоговой вычислительной машине. Аналогичная диаграмма состояния для цифровой системы будет отражать линейные операции, производимые цифровой вычислительной машиной. К таким операциям относятся умножение на константу, суммирование, временная задержка или запоминание.

Запишем уравнения, связывающие переменные во всех этих операциях. Структурные схемы и диаграммы состояния, соответствующие этим операциям, приведены на рис. 4.3.

1. Умножение на константу (рис. 4.3,а):

x2 k ax1 k ,

X2 z aX1 z .

2. Суммирование (рис. 4.3,б):

x3 k x1 k x2 k ,

X3 z X1 z X2 z .

– 81–

Дважды применяя временную задержку к последнему выражению, находим y(k). Используя элементы диаграмм состояния, представленные на рис. 4.3, получаем диаграмму состояния, соответствующую уравнению (4.46). Она представлена на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Диаграмма состояний системы к примеру 4.5

Переменные состояния определяются как выходные сигналы каждого блока задержки.

Уравнения состояния и выхода получают из диаграммы состояния, не учитывая ребер с весом z –1 и начальных условий:

Решение уравнения состояния (4.48) получаем из диаграммы состояния на основе формулы Мейсона, при этом выходными величинами берем X1(z) и X2(z), а входными — R(z), x1(0), x2(0):

– 83–

Из выражения (4.50) видно, что переходная матрица состояния получается из диаграммы состояния без утомительной операции обращения матрицы, как это требуется делать при использовании формулы (4.33).

Применение обратного z-преобразования к выражению (4.50) дает решение уравнения состояния во временной облас-

ти. Найдем это решение, например, для компонента x1 k при единичном ступенчатом воздействии на входе. Положим ну-

Осталось перейти к функции дискретного времени: x1 k 14 3 k 13 2 k 121 .

Импульсная передаточная функция системы может быть получена применением формулы Мейсона к выходу системы с учетом нулевых начальных условий:

Впрочем, последнее выражение можно получить и непосредственно по уравнению (4.46).

– 84–

4.3.3.Переход к уравнениям состояния от передаточной функции

Если цифровая система или отдельные ее элементы описаны своей импульсной передаточной функцией, то переход к уравнениям состояния имеет цель либо дальнейшее исследование методом пространства состояний, либо реализацию на ЦВМ, либо моделирование системы с применением цифровой вычислительной техники.

Переход от импульсной передаточной функции к уравнениям состояния может быть в общем случае осуществлен одним из трех методов декомпозиции: непосредственным, параллельным или последовательным.

При непосредственной декомпозиции удобнее передаточ-

ную функцию представить в виде отношения полиномов по степеням z–1:

где n и m — положительные целые числа, а условие физической реализуемости — неравенство нулю коэффициента a0.

Умножим числитель и знаменатель формулы (4.51) на вновь введенную переменную X(z):

Приравняв отдельно числители и знаменатели правой и левой частей последнего соотношения, получим два уравнения:

Решив уравнение (4.53) относительно X(z) с учетом при- чинно-следственных связей между R(z) и X(z), получим

– 85–

По уравнениям (4.52) и (4.54) строим диаграмму состояния, из которой обычным путем получаем уравнения состояния и выхода.

Пример этой диаграммы состояния для m = n = 3 приведен на рис. 4.5.

b0

a0

a2 a0

a3 a0

Рис. 4.5. Диаграмма состояний при непосредственной декомпозиции

Уравнения состояния, полученные по диаграмме, изображенной на рис. 4.5, будут иметь следующий вид:

x1 k 1 x2 k ; x2 k 1 x3 k ;

– 86–

Из этих уравнений состояния видно, что матрица А имеет форму матрицы Фробениуса:

Обобщая полученный результат, приходим к выводу, что непосредственная декомпозиция всегда приводит к уравнениям состояния системы в стандартной форме, или, как ее еще называют, к канонической форме фазовой переменной.

Пример 4.6. Передаточная функция системы

где Y(z) и R(z) — z-изображения выходного и входного сигнала соответственно.

Преобразуем передаточную функцию к виду отношения

полиномов по степеням z–1, разделив числитель и знаменатель на z2:

Умножив числитель и знаменатель передаточной функции на вспомогательную переменную X(z), получим уравнения, аналогичные уравнениям (4.52) и (4.53):

Y (z) X (z) 1 0,2z 1 ;

R(z) X (z) 1 0,6z 1 0,05z 2 .

По последним уравнениям рисуем диаграмму состояния системы.

– 87–

раллельно соединенные цепочки, каждая из которых имеет вид, представленный на рис. 4.6.

1

zk

Рис. 4.6. Параллельная декомпозиция при отсутствии нулей передаточной функции

При наличии нулевого корня числителя разложение передаточной функции на простые дроби имеет несколько другой вид:

Диаграмма состояния для каждой из параллельных цепочек этого случая приведена на рис. 4.7.

1

zk

Рис. 4.7. Параллельная декомпозиция при нулевом корне числителя

При параллельной декомпозиции каждый компонент вектора состояния xk зависит только от самого себя в предшест-

вующий момент времени и матрица А будет иметь диагональный вид со своими характеристическими числами на главной

– 89–

диагонали. Таким образом, уравнения состояния будут представлены в нормальной (канонической) форме.

Пример 4.7. Рассмотрим ту же систему, что и в примере 4.6. Передаточную функцию представим в виде суммы простых дробей, используя обычные правила разложения на простые дроби:

Строим диаграмму состояния, соответствующую этой передаточной функции:

y(kT)

0,75 1

z–1

x2((k+1)T) x2(kT) 0,5

Вводя переменные состояния после каждого ребра с весом z–1, запишем уравнения состояния и уравнение выхода:

x1((k 1)T ) 0,1x1(kT ) 0,25r(kT ); x2 ((k 1)T ) 0,5x2 (kT ) 0,75r(kT ); y(kT ) 0,1x1(kT ) 0,5x2 (kT ) r(kT ).

– 90–