Цифровые системы автоматического регулирования

Переходя в последнем выражении во временную область и решая полученное уравнение относительно выходного сигнала цифрового регулятора, имеем

e2 (t) 5e1 (t) 1, 25e1 (t T ) 0,6e2 (t T ) 0,05e2 (t 2T ) .

По последней формуле составляем структурную схему непосредственного программирования (рис. 7.18).

В полученной схеме используются 3 блока задержки.

Рис. 7.18. К примеру 7.6 (непосредственное программирование по 1-му варианту)

2. Второй вариант непосредственного программирования. Применяя к передаточной функции метод непосредственной декомпозиции, получаем

E2 (z) 5 1 0,25z 1 X (z) 5X (z) 1,25z 1 X (z), X (z) E1(z) 0,6z 1 0,05z 2 X (z),

где X(z) — фиктивная переменная.

Структурная схема, реализующая эти два уравнения, приведена на рис. 7.19.

– 171–

5

0,6

0,05 Задержка

Рис. 7.19. Пример непосредственного программирования по 2-му варианту

Последовательное соединение программ, составленных для каждой из этих элементарных передаточных функций, дает структурную схему последовательного программирования

(рис. 7.20).

4. Параллельное программирование. Для применения этого метода необходимо передаточную функцию представить в виде простых дробей:

Каждая из дробей реализуется методом непосредственного программирования. Результирующая схема представляет собой параллельное их соединение (рис. 7.21).

– 172–

Из схемы на рис. 7.21 видно, что данный метод программирования требует двух блоков задержки и трех сумматоров, т.е. столько же, как и в методе последовательного программирования.

7.4.4.Синтез цифрового регулятора

сприменением билинейного преобразования

Структурная схема системы с цифровым регулятором приведена на рис. 7.22.

Рис. 7.22. Цифровая система с цифровым последовательным регулятором

Поскольку передаточные функции регулятора и управляемого объекта разделены квантователем, влияние регулятора на параметры всей системы исследовать весьма просто с помощью логарифмических характеристик. Синтез передаточной функции цифрового регулятора в этом случае осуществляется значительно легче, чем синтез аналогового регулятора в цифровой системе. Основные его этапы следующие.

1. Вычисление передаточной функции разомкнутой системы без коррекции:

2. Построение логарифмических псевдочастотных характеристик разомкнутой нескорректированной системы. Переход в частотную область осуществляется подстановкой w j w в

выражение (7.17). По логарифмическим кривым, как в случае

– 175–

непрерывной системы, определяются показатели качества системы.

3. Если полученные на предыдущем этапе показатели качества не удовлетворяют разработчика, необходимо изменить вид логарифмических кривых в соответствии с предъявляемыми требованиями к системе. Так как передаточная функция разомкнутой системы с учетом цифрового регулятора будет G(z) W0W(z), или в w-области G(w) W0W(w), то передаточная функция G(w) определится по разнице между логарифмическими характеристиками исходной (нескорректированной) системы и требуемыми логарифмическими характеристиками.

Необходимо учитывать, что полученная в результате синтеза передаточная функция цифрового регулятора G(z) должна быть физически реализуемой, поэтому выясним, какой должна быть соответствующая функция в области переменной w. Пусть передаточная функция G(w) представлена в виде

где m и n — целые положительные числа.

Переход в z-плоскость осуществляется подстановкой w z 1 z 1 в выражение (7.18):

G(z)

cm (z 1)m cm 1(z 1)m 1(z 1) ... c1(z 1)(z 1)m 1 c0 (z 1)m dn (z 1)n dn 1(z 1)n 1(z 1) ... d1(z 1)(z 1)n 1 d0 (z 1)n

(z 1)n m. (7.19)

Из последней формулы видно, что независимо от соотношения m и n передаточная функция G(z) имеет одинаковое число нулей и полюсов, т.е. является физически реализуемой. Если еще дополнительно потребовать устойчивость цифрового регулятора (что желательно), то необходимо, чтобы полюсы G(z) располагались внутри окружности единичного радиуса

– 176–

zi 1, а соответственно полюсы G(w) — в левой полуплоско-

сти переменной w. Из выражения (7.19) видно также, что при m > n передаточная функция G(z) будет иметь полюсы z = – 1, поэтому для устойчивости цифрового регулятора необходимо еще и выполнение условия m n. Таким образом, для устой-

чивости цифрового регулятора число нулей передаточной функции G(w) не должно превышать числа ее полюсов (m n), а полюсы должны располагаться левее мнимой оси

переменной w.

4. После того как определена передаточная функция G(w), находят G(z) подстановкой w (z 1)(z 1). По полученной

передаточной функции цифрового регулятора G(z) подбирают вариант его реализации.

5. На заключительном этапе производится комплексный анализ полученной системы вместе с цифровым регулятором для проверки соответствия показателей качества требуемым значениям.

Пример 7.7. Пусть непрерывный объект управления в системе, представленной на рис. 7.22, задан той же передаточ-

фициент K = 1,57. Период квантования T = 1,57 с. Проведем синтез цифрового регулятора с помощью билинейного преобразования. Критерий качества по синтезу системы зададим тот же, что и в примере 7.1: запас устойчивости по фазе должен быть не меньше 45°. Псевдочастотные логарифмические характеристики системы без коррекции уже были построены в примере 7.1. Получена передаточная функция последовательного корректирующего звена в области переменной w:

Согласно структурной схеме на рис. 7.22 передаточная функция корректирующего звена (регулятора) в z-области

– 177–

получается непосредственно подстановкой w zz 11 в последнее выражение. Таким образом, имеем

Можно убедиться, что скорректированная система обладает приемлемым качеством переходного процесса.

На заключительном этапе синтеза реализуют полученную передаточную функцию регулятора с помощью любого из рассмотренных методов. Например, непосредственная цифровая программа для данного регулятора примет вид, представленный ниже:

0,41

Задержка –0,38

0,97

Если передаточная функция регулятора реализуется с помощью последовательного импульсного фильтра, то, подставляя G(z) в формулу (7.11), получим

– 178–

Взяв обратное z-преобразование от обеих частей последнего выражения, имеем

Окончательно передаточная функция пассивного четырехполюсника в последовательном импульсном фильтре запишется как

Gd (s) 1 20,5s . 1 50s

Полученная передаточная функция соответствует пассивному интегрирующему звену и может быть реализована в виде RC-цепочки.

Если необходимо реализовать импульсный фильтр в цепи обратной связи, то пользуемся формулой (7.7):

Применив обратное z-преобразование к правой и левой частям последнего выражения, получим передаточную функцию

Эта передаточная функция соответствует реальному дифференцирующему звену (дифференцирующее звено с замедлением) и может быть легко реализована в виде RC-цепи.

7.4.5. Цифровой ПИД регулятор

Из теории управления известна эффективность ПИД-регу- ляторов, которые реализуют пропорционально-интегрально- дифференциальный закон управления. Структурная схема непрерывного ПИД-регулятора приведена на рис. 7.23. Пропорциональная составляющая образуется умножением сигнала

ошибки на коэффициент Kp , приводит к увеличению общего

– 179–

коэффициента усиления разомкнутой системы и тем самым благоприятно сказывается на уменьшении ошибки во всех режимах.

Интегральная составляющая представляет собой интеграл от ошибки с коэффициентом KI : эта составляющая приводит

к уменьшению установившейся ошибки. Дифференциальная составляющая пропорциональна скорости изменения ошибки с коэффициентом Kd и позволяет уменьшить ошибку в пере-

ходных режимах.

Kd s

Рис. 7.23. Структура ПИД-регулятора

Этот же принцип ПИД-управления может быть с успехом применен и в цифровых системах. Пропорциональное управление в цифровом ПИД-регуляторе по-прежнему реализуется умножением сигнала ошибки на постоянный коэффициент

K p , а интегрирование и дифференцирование осуществляется

численными методами. Например, интегрирование по методу трапеций дает передаточную функцию соответствующей составляющей:

KI T (z 1) . 2(z 1)

– 180–