Цифровые системы автоматического регулирования

в z-плоскости. Поэтому устойчивость замкнутой системы можно определить по импульсной передаточной функции W(z) разомкнутой системы при изменении z по контуру Найквиста

(см. рис. 6.3,б).

а

z-плоскость

R

Г2

б

Рис. 6.3. Контуры интегрирования в критерии Найквиста

В этом случае формулировки критерия Найквиста для цифровых и непрерывных систем совпадают.

– 131–

В частности, если разомкнутая система устойчива (то есть r = 0), то для устойчивости замкнутой системы годограф W(z) (или W*(s)) вообще не должен охватывать точку (– 1, j 0), а изменение z достаточно производить только вдоль окружности единичного радиуса (соответственно s при этом можно менять

от j 2s до j 2s ).

Основная трудность применения критерия Найквиста состоит в построении годографа W(z) (или W*(s)). Это построение может быть сделано одним из трех методов.

Метод z-преобразования заключается в замене перемен-

ной z на e j T в передаточной функции W(z) и изменении

от s 2 до s 2 .

Метод бесконечного ряда основан на формуле (3.6):

s j s s 2 s 2 . Для физически реализуемых систем полоса пропускания ограничена и W s jn s с ростом

n уменьшается, поэтому при практическом построении годографа W*(s) ряд (6.15) ограничивается конечным числом членов.

Метод билинейного преобразования использует переход к переменной w по формуле (6.8):

z 11 ww.

При движении изображающей точки по единичной окружности плоскости z переменная w принимает мнимые значения w j w , а связь между псевдочастотой w и действительной

частотой устанавливается, учитывая формулу (6.10), соотношением

– 132–

могут быть применены те же косвенные методы и показатели качества, что и в непрерывных системах: величина перерегулирования, время установления, время нарастания, степень устойчивости, колебательность и так далее. И так же, как и в непрерывных системах, качество переходного процесса может быть исследовано частотными методами, методом корневых годографов, с использованием интегральных оценок.

Возьмем, например, степень устойчивости , которая оп-

ределяется удаленностью ближайшего от мнимой оси корня знаменателя передаточной функции. В отличие от непрерывных систем, в цифровых системах имеется принципиальная возможность получения бесконечной степени устойчивости. Формально это связано с тем, что при si корни

ское уравнение (6.3) принимает вид

a0 zn 0,a1 a2 ... an 0.

Числитель передаточной функции может быть и не равен нулю, то есть передаточная функция будет иметь вид

Но импульсная передаточная функция W(z) есть z-изобра- жение импульсной переходной (весовой) функции:

k 0

При сравнении правых частей выражений (6.18) и (6.19) видно, что весовая функция может иметь не более чем n первых дискретных отсчетов, не равных нулю. Таким образом, переходной процесс заканчивается спустя конечное время, равное nT. Уменьшая период квантования Т, теоретически можно сделать время переходного процесса как угодно ма-

– 134–

лым. И что самое интересное, система может оставаться в этом случае устойчивой (полюса передаточной функции попрежнему располагаются внутри окружности единичного радиуса). Однако практическим ограничением здесь выступает невозможность бесконечного увеличения общего коэффициента усиления.

Каким образом добиться конечного времени переходного процесса, будет рассмотрено в разделе, посвященном синтезу цифровых систем.

6.3. Установившийся процесс

Качество установившегося процесса оценивается, как и в непрерывных системах, ошибками в типовых режимах. Последние могут быть определены по теореме о конечном значении.

Рассмотрим, например, систему с квантователем и фиксатором (рис. 6.4).

Ошибка e(t) в данном случае определяется как разность входного сигнала и сигнала обратной связи:

e t r t z t .

При описании системы с помощью z-преобразования установившаяся ошибка в моменты квантования определяется как

Согласно структурной схеме на рис. 6.4 z-преобразование E(z) вычисляется по формуле

где R(z) = Z{r(t)}, а передаточная функция разомкнутой системы

– 135–

Подставляя выражение (6.21) в формулу (6.20), получим соотношение

которое показывает, что установившаяся ошибка зависит как от свойств системы, так и от задающего входного воздействия.

Рис. 6.4. Структурная схема дискретной системы

Известно, что в непрерывных системах ошибка в типовых режимах может быть оценена добротностями (для систем с соответствующей степенью астатизма):

а) добротностью по положению K p для статических систем и постоянного входного воздействия r(t) R 1(t);

б) добротностью по скорости KV для системы с астатизмом

первого порядка и входного воздействия, меняющегося с постоянной скоростью r(t) Vt 1(t);

в) добротностью по ускорению Ka для системы с астатизмом второго порядка и входного воздействия, меняющегося с

постоянным ускорением r(t) At22 1(t), и так далее.

Например, для системы, представленной на рис. 6.4, при условии, что устройство выборки и хранения в ней отсутствует, эти добротности могут быть вычислены по формулам

– 136–

а соответствующие установившиеся ошибки — по формулам

Аналогичным образом дело обстоит и в цифровых систе-

z 1

Для того чтобы записать полученное выражение в форме (6.27), определим добротность по положению как

– 137–

После подстановки формулы (6.33) в выражение (6.23) имеем

получим выражение, совпадающее по форме с соотношением

(6.28):

Подставив выражение (6.36) в соотношение (6.23), найдем

Последнее выражение после введения добротности по ускорению согласно равенству

– 138–

Интересно проследить, влияет ли величина периода квантования Т на установившуюся ошибку и каким именно образом? На первый взгляд, такое влияние должно быть, так как в выражениях для соответствующих добротностей (см., например, формулы (6.34) и (6.37)) присутствует параметр Т. Проверим, так ли это.

Пусть передаточная функция разомкнутой непрерывной системы имеет в общем случае вид

где r — порядок астатизма системы; di и c j — соответственно

нули и полюса передаточной функции (действительные или комплексно-сопряженные, но не равные нулю).

Из выражений (6.24)–(6.26) и (6.39) легко сделать следующие выводы:

а) при постоянном входном воздействии и астатизме нулевого порядка r = 0 (статическая система)

K p K ;

б) при линейном входном воздействии и астатизме первого порядка r 1

KV K;

в) при параболическом входном воздействии и астатизме второго порядка r = 2

Ka K.

– 139–

Рассмотрим теперь цифровую систему с квантователем и экстраполятором нулевого порядка.

Подставляя выражение (6.39) в формулу (6.22) для статической системы (r = 0), имеем

Разлагая выражение под символом z-преобразования на

Для постоянного входного воздействия добротность по положению такой системы будет

Для системы с астатизмом первого порядка выражение (6.22) будет следующим:

– 140–