Цифровые системы автоматического регулирования

тельно определив собственные значения и собственные векторы матрицы А. Составляем характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения (собственные числа)

Таким образом, модальная матрица будет иметь следую-

Метод Кэли–Гамильтона. Применение этого метода аналогично соответствующей процедуре для вычисления непрерывной переходной матрицы. Как следствие теоремы Кэли–

– 71–

Гамильтона, произвольную степенную матричную функцию можно представить полиномом (n – 1)-й степени, где n — размерность матрицы, участвующей в образовании указанного многочлена. Таким образом, для переходной матрицы Ф(k – k0) получим

Φ(k k0 ) A(k k0 ) 0E 1A 2A2 ... n 1A(n 1).

Неизвестные коэффициенты i определяются из системы уравнений

если все i различны.

В случае наличия кратного корня (например, корень j

имеет кратность m) соответствующие уравнения для определения i будут иметь вид

Пример 4.2. Рассмотрим ту же задачу, что и в примере

методом Кэли – Гамильтона. Поскольку матрица А имеет размерность 2 2, переходную матрицу можно представить как матричный полином первого порядка Φ(k) 0E 1A , где

коэффициенты 0 , 1 определяются из системы уравнений

1k 0 1 1,k2 0 1 2.

Подставляя в эту систему уравнений численные данные, получим

– 72–

( 1)k 0 1 , ( 2)k 0 2 1 .

Вычитая из первого уравнения второе, найдем 1 , а вычитая из удвоенного первого уравнения второе, определим 0 :

Осталось подставить найденные коэффициенты в выражение для переходной матрицы:

Естественно, результат совпал с результатом примера 4.1.

Применение z-преобразования. Возьмем z-преобразова-

ние от правой и левой частей уравнения (4.27), применив теорему о сдвиге во времени:

zX z zx 0 AX z .

Разрешив это уравнение относительно X(z), получим

X z zE A 1 zx 0 ,

– 73–

или, переходя во временную область:

x k Z 1 zE A 1 z x 0 .

Таким образом, переходная матрица состояния

Умножая последнее выражение на z и проводя небольшие преобразования, получаем

Осталось взять обратное z-преобразование от каждого элемента последней матрицы, предварительно представив эти элементы в виде суммы простых дробей. Имеем

– 74–

Как видим, элементы переходной матрицы и в этом случае совпадают с результатами примеров 4.1 и 4.2.

Наиболее трудоемкая операция в формуле (4.33) — обращение матрицы, что для систем высокого порядка достаточно сложно.

4.2.2. Общее решение

Вернемся к уравнениям (4.5) и (4.6). Решение этой системы уравнений нетрудно получить последовательными итерациями аналогично тому, как была найдена переходная матрица. В результате получим

– 75–

Соотношение (4.34) есть решение неоднородного нестационарного уравнения состояния (4.5). Первое слагаемое в этом решении характеризует реакцию системы, обусловленную начальными условиями, а все остальное представляет совмещение реакций, вызванных входными воздействиями.

Вслучае стационарной системы матрицы A, B, C и D

вуравнениях (4.5) и (4.6) не зависят от времени, и решение для x(k) будет представлять собой сумму реакций от начальных условий и сумму свертывания (аналог интеграла свертки для непрерывных систем):

k 1

x(k) Ф(k k0 )x(k0 ) Ф(k m 1)Br(m). (4.35)

m k0

Решение для выхода системы y(k) получается подстановкой уравнения (4.34) или (4.35) в случае стационарной системы в уравнение выхода (4.6):

– для нестационарных систем

m k0

Подчеркнем, что для систем с постоянными параметрами часто удобнее пользоваться для решения уравнений (4.5) и (4.6) методом z-преобразования. Применим z-преобразова- ние к правым и левым частям уравнений (4.5) и (4.6) и разрешим их относительно X(z) и Y(z):

X z zE A 1 z x 0 zE A 1 B R z ; (4.38)

Y z C zE A 1 z x 0 C zE A 1 B D R z . (4.39)

– 76–

Вычислив обратное z-преобразование от выражений (4.38)

и (4.39), определим x(k) и y(k).

Пример 4.4. Пусть цифровая система описывается уравнениями

y(k) 1 1 x(k).

Входное воздействие — единичная ступенька

1 при k 0, r(k) 1(k) 0 при k 0.

Начальные значения нулевые: y 0 0, y 1 0. Требуется найти выходной сигнал в моменты времени k 2, 3,...

Для записи решения применим формулу (4.37). При этом для переходной матрицы воспользуемся результатами примера 4.1. Остальные матрицы в формуле (4.37) имеют вид

Таким образом, получаем

– 77–

Полагая k =1, получим

Учитывая начальные условия для выхода y(k), найдем начальные условия для вектора состояния x(k): x1(0) 0,

x2 (0) 1. Для того чтобы определить значения выхода в

произвольный момент времени, необходимо подставить конкретное значение k и найденное значение x(0) в выражение для выходного сигнала. Для k = 2, 3 получим

Даже по первым трем значениям выходного сигнала видно, что процесс расходится, что неудивительно, так как собственные значения системы по модулю больше 1.

4.3.Передаточные функции

иуравнения состояния

4.3.1. Матричная импульсная передаточная функция

Для линейных стационарных многомерных систем интересно проследить взаимосвязь z-преобразования и метода пространства состояния.

– 78–

Пусть многомерная система описывается с помощью импульсной передаточной функции

есть матрица, элементами которой являются Wij (z) — им-

пульсные передаточные функции от j-го входа к i-му выходу. Матрица (4.41) называется матричной импульсной передаточной функцией.

Применение z-преобразования к уравнению состояния выхода стационарной системы дает уравнения (4.38) и (4.39):

X z zE A 1 z x 0 zE A 1 B R z ;

Y z C zE A 1 z x 0 C zE A 1 B D R z .

– 79–

Сравнивая последнее из приведенных уравнений с уравнением (4.40) и учитывая, что импульсная передаточная функция определена для нулевых начальных условий x(0) = 0, получим матричную импульсную передаточную функцию

Переход от частотной области во временную в уравнении

С учетом равенства нулю матричной весовой функции при

В более общем случае, если начальный момент времени не

Можно показать, что в случае нестационарной системы, описываемой уравнениями (4.5) и (4.6), матричная весовая функция будет записываться как

– 80–