Цифровые системы автоматического регулирования

Соответствующие матрицы в привычных обозначениях будут иметь вид

Если у передаточной функции присутствуют кратные полюсы, например полюс zi имеет кратность p, то в разложении

W(z) на простые дроби будут слагаемые

которые представлены на диаграмме состояний (рис. 4.8).

В этом более общем случае матрица А представляет собой матрицу Жордана, а уравнения состояния имеют жорданову каноническую форму.

Последовательную декомпозицию лучше всего использо-

вать для действительных полюсов и нулей импульсной передаточной функции. В этом случае представим W(z) в виде

W(z), а для физической реализуемости требуется, чтобы выполнялось условие m n.

Выражение (4.56) представим в виде

W z KW1 z W2 z Wn z ,

где

– 91–

Диаграммы состояний для выражений (4.57) и (4.58) приведены на рис. 4.9,а и б соответственно.

Рис. 4.8. Параллельная декомпозиция при кратных полюсах

Диаграмма состояния всей системы, описываемой передаточной функцией (4.56), будет являться последовательным соединением диаграмм, представленных на рис. 4.9.

– 92–

1

zk

а

zk

б

Рис. 4.9. Последовательная декомпозиция

Пример 4.8. Опять возьмем систему из примера 4.6. Передаточную функцию системы представим в форме (4.56):

Строим диаграмму состояния в виде последовательно соединенных цепочек:

– 93–

По диаграмме состояния записываем уравнения состояния и уравнение выхода:

x1 (k 1)T 0,5x1(kT ) 0,1x2 (kT ) r(kT ); x2 (k 1)T 0,1x2 (kT ) r(kT );

y(kT ) (0,5 0,2)x1(kT ) 0,1x2 (kT ) r(kT ).

Окончательно матрицы в уравнениях системы будут иметь вид

4.3.4.Диаграмма состояний цифровых систем

снепрерывной частью

Вобщем случае цифровые системы могут содержать как цифровые, так и аналоговые элементы. Интерфейсом между ними является устройство выборки и хранения.

Прежде чем получать диаграмму состояния всей системы, представим диаграмму состояния экстраполятора нулевого

порядка. Обозначая входной и выходной сигналы экстраполятора через u*(t) и h(t) соответственно, для интервала времени

kT t k 1 T имеем

h t u kT .

Применяя преобразование Лапласа к последнему выражению, получаем следующее соотношение:

Диаграмма состояния для уравнения (4.59) состоит из единственного ребра с весом s–1, соединяющего вершины H(s)

и u(kT) (рис. 4.10).

– 94–

Далее получаем диаграмму состояния всей системы, которая будет являться соединением диаграммы состояния цифровой части с диаграммой состояния непрерывной части. Это соединение осуществляется через диаграмму состояния экстраполятора нулевого порядка. Момент времени t0 для задания начальных условий в диаграмме состояния непрерывной части полагаем равным kT, как и при выводе уравнения (4.13) на основе выражения (4.12).

Рис. 4.10. Диаграмма состояний экстраполятора нулевого порядка

Пример 4.9. Рассмотрим получение диаграммы состояния и уравнений состояния для системы, содержащей как непрерывные, так и дискретные элементы (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Структурная схема системы для примера 4.9

Цифровая часть описывается импульсной передаточной функцией

а непрерывная часть — передаточной функцией

– 95–

Диаграмма состояния для выражения (4.60) ранее уже составлялась (см. рис. 4.4), а диаграмма состояния для непрерывной части приведена на рис. 4.12.

x1(t0)

X1(s)

–2

Рис. 4.12. Диаграмма состояний непрерывной части системы к примеру 4.9

Соединяя диаграммы состояния, представленные на рис. 4.4, 4.10 и 4.12, получим диаграмму состояния всей сис-

темы (рис. 4.13).

6

Рис. 4.13. Диаграмма состояний системы к примеру 4.9

На полученной диаграмме состояний учтено, что t0 kT и

x1 kT y kT .

Применяя формулу Мейсона для выходных вершин X1(s), x2(kT), x3(kT), получим

– 96–

Переходя в первом из уравнений (4.62) к функции времени, запишем

учитывая оставшиеся уравнения (4.62), получим уравнения состояния системы:

Уравнение выхода будет иметь вид y kT x1 kT .

4.4. Управляемость и наблюдаемость цифровых систем

4.4.1. Понятия управляемости и наблюдаемости

При исследовании систем методом пространства состояния большое значение имеют понятия управляемости и наблюдаемости системы, которые, по сути, не отличаются для дискретных и непрерывных систем. Под управляемостью системы понимают возможность целенаправленного воздействия на

– 97–

кретного времени k, то понятия полной и абсолютной управляемости совпадают. Тем более они совпадают для стационарных систем.

Система называется полностью наблюдаемой, если для некоторого момента времени k0 состояние x k0 может быть

определено по известным выходным y(k) и входным r(k) сигналам для k0 k kN , где kN — ограниченное время.

Система называется глобально (абсолютно) наблюдаемой,

если она полностью наблюдаема для всех k0 и всех kN k0 .

Для стационарных систем понятия полной и глобальной наблюдаемости совпадают.

4.4.2. Определение управляемости по уравнениям динамики

Анализ уравнений состояния позволяет ответить на вопрос об управляемости системы, о чем утверждает следующая теорема.

Теорема 4.1. Для того чтобы система, описываемая уравнениями состояния (4.7), была полностью управляемой по состоянию, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости Q был равен n. Матрица управляемости Q в блочной записи имеет вид

Q Q0 Q1 QN 1 , (n N p), (4.63)

где Qi Φ kN ,ki 1 B ki , n p , i 0,1,2,..., N 1.

Иногда установление ранга матрицы довольно утомительное занятие, поэтому равенство ранга матрицы Q величине n можно определить по невырожденности соответствующей матрицы Грама:

i 1

– 99–

Теорема 4.2. Для полной управляемости по выходу системы, описываемой уравнением (4.7), необходимо и достаточно, чтобы матрица Т управляемости по выходу имела ранг, равный m. Матрица Т задается выражением

Управляемость по выходу можно установить и по невырожденности соответствующей матрицы Грама:

N 1

TTT TiTiT .

i 0

Для стационарных систем определение управляемости по состоянию и по выходу облегчается. Кроме того, для стационарного случая существует ряд теорем, которые часто более удобны в практическом применении.

Теорема 4.3. Линейная стационарная система

имеет ранг n или матрица Грама QQT является невырожденной.

Теорема 4.4. Линейная стационарная цифровая система (4.66) полностью управляема по состоянию, если и только если строки матрицы

zE A 1 B

линейно независимы.

– 100–