23
Лабораторная работа №12
Построение графиков частичных сумм ряда Фурье
Рекомендуется изучить раздел «Ряды Фурье» в пособии Л.И. Магазинников Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.
Цель работы:
1)изучение правил разложения функций в тригонометрический ряд Фурье;
2)построение графиков частичных сумм.
Рассмотрим пример. |
|
|
|
0, если −2 < x < 0, |
разложить в тригонометрический ряд Фурье на |
||
Функцию f (x) = |
если 0 |
≤ x ≤ 2 |
|
x, |
|
||
отрезке [−2, 2].
Решение.
Определяем коэффициенты ряда Фурье:
a0 |
= |
1 |
2 |
xdx =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
= |
1 |
2 |
x cos nπx dx = |
|
x |
|
2 |
sin nπx |
|
2 |
− |
|
|
|
|
1 |
2 sin nπx dx = |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
∫0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
nπ |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
nπ |
∫0 |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
2 |
|
cos nπx |
|
= |
2 |
|
(cosnπ−1) = |
|
|
|
|
2 |
|
[(−1)n |
−1], |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n2π2 |
n2π2 |
|
|
|
|
n2π2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
b |
= 1 2 |
x sin nπx dx = − 1 |
|
2 |
|
|
x cos nπx |
|
2 |
+ |
1 |
2 cos nπxdx = |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
2 |
∫0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
nπ |
|
2 |
|
0 |
|
nπ ∫0 |
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
= |
2 |
|
(−1)n+1 + |
|
|
|
2 |
|
sin nπx |
|
2 |
= (−1)n+1 |
|
2 |
, n = 1,2,… |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
nπ |
|
|
|
n2π2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Заметим, что a2m = 0, a2m−1 = − |
|
|
4 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(2m −1)2 π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Мы нашли, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
−1] cos nπx + |
|
|
n |
+1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) = |
1 |
+ |
∑ 2[( |
−1)2 |
2 |
2(−1) |
|
sin nπx |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
nπ |
|
2 |
|
||||||||||
24
Графики частичных сумм S1(x), S2(x), S3(x), S4(x), S5(x) и S6(x) изображены на рисунках. Обратите внимание, как при увеличении количества слагаемых n, частичные суммы стремятся к функции f(x).
25
Задание. Следующие функции разложить в тригонометрический ряд Фурье. Построить графики частичных сумм S1(x), S2(x), S3(x), S4(x), S5(x) и S6(x), а также график функции f(x).
|
|
ВАРИАНТ1 |
|
ВАРИАНТ2 |
|
|
0, если −4 < x ≤ −2, |
x + 2, если −2 < x ≤ 0, |
|
|
2 |
|
f (x) = |
2, если 0 ≤ x < 2. |
f (x) = |
(x + 2), если −2 ≤ x < 4. |
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ3 |
|
ВАРИАНТ4 |
−x, если −1 < x < 0, |
0, если x (−4;0] [1;4), |
|||
f (x) = |
0, если 0 ≤ x <1. |
f (x) = |
2x, если x [0;1). |
|
|
|
|||
|
|
ВАРИАНТ5 |
|
ВАРИАНТ6 |
0, если x (−2;−1] [0;2], |
0, если x (−4;0] [2;4), |
|||
f (x) = |
−x, если x (−1;0]. |
f (x) = |
|
|
|
2 − x, если x (0;2]. |
|||
|
|
ВАРИАНТ7 |
|
ВАРИАНТ8 |
|
|
0, если −2 < x < 0, |
|
0, если −2 < x <1, |
f (x) = |
|
|
f (x) = |
|
2 − x, если 0 < x < 2. |
2x −2, если1 ≤ x < 2. |
|||