Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы по математике..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

463.5 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Лабораторная работа №4

Проверка сходимости числовых рядов

Рассмотрим пример.

Исследовать на сходимость числовой ряд

∞	n		1
∑(−1)
		ln 1+			.	(1)
			n	2
n=1

Численное исследование сходимости.

Посмотрим, как ведёт себя частичная сумма. Подсчитаем частичные суммы S и построим графики зависимости частичных сумм S от количества слагаемых n.

Частичная сумма стремится к постоянному конечному значению. Выдвигаем предположение, что ряд сходится.

Поскольку ряд знакочередующийся, исследуем его на условную и абсолютную сходимость. Для этого подсчитаем частичные суммы S1 ряда (1), составленного из модулей.

С увеличением n частичная сумма S1 стремится к некоторому постоянному конечному значению (при необходимости, число слагаемых n можно изменить). Выдвигаем предположение, что ряд (1) сходится абсолютно.

Аналитическое исследование сходимости.

Сравним ряд (1) со следующим рядом:

∞		n
∑(−1)2		.	(2)
n=1	n

По признаку Лейбница ряд (2) сходится.

Ряд, составленный из модулей членов ряда (2), сходится, как обобщённый гармони-

ческий ряд	∞ 1	при s > 1 (здесь s=2).

	∑n=1 ns

Таким образом, ряд (1) сходится абсолютно.

Задание.

1.Составить программу для подсчёта частичных сумм числовых рядов.

2.Используя рассмотренный выше пример, протестировать программу.

3.Численно и аналитически исследовать на сходимость следующие числовые ряды. Если ряд знакопеременный, указать, сходится условно, абсолютно, либо расходится.

Вариант 1

Вариант 2

∞

1) ∑n tg

;

2) ∑(−1)

cos

;

1) ∑n

arcsin

;

2) ∑(−1)

ln 1+

;

n=1

∞

n2 + 2n +1

∞

(−1)n (n!)2

∞

(n +1)!

3) ∑

; 4)

∑

;

3) ∑ n

;

4) ∑

;

+1)

4) 2

n=1

2n+1

n=1

(2n)!(3

n=1

n=1 (n

∞

5) ∑(n +n1)!

∞

n=1

5) ∑

3n +1

n=1

1) ∑

;

Вариант 3

1) ∑

;

Вариант 4

2) ∑(−1)n sin 1 ;

2) ∑(−1)

;

∞

ln n

n=2 ln n

n=2

n=1

n=2

n ln n

3) ∑ 1n sin n ;

4) ∑(−1)

+ 4) ;

3) ∑

;

4) ∑5

;

∞

(n + 2)!

n=1

(n −1)!

n=1

∞

(2n)n

∞

2n +1 n2

5) ∑

n +

n=1

Вариант 5

Вариант 6

∞

1) ∑

;

2) ∑(−1)n arctg

;

1) ∑

; 2)

∑(−1)n arctg

;

n +5

n n

+ 2

n=1

∞

2n +3

∞

n +5

∞

(3n + 4)!

3) ∑

; 4)

∑

;

3) ∑

; 4)

∑

;

(3n)!

3n −4

n=1

5n + 4

n=1

∞

(−1)n

∞

1 2n +5 n2

5) ∑

3n +ln n

n=1

Вариант 7

Вариант 8

∞

+ 2

∞

(−1)n

∞

n +1

∞

2n +1

1) ∑

; 2) ∑

;

1) ∑

;

2) ∑

;

+sin

−1)!

3n + 2

n=1

∞

(n +1)!

3) ∑n

;

4) ∑

;

∞

2n +1

∞

(−1)n sin

(2n)!

n=1

3) ∑(−1)n

; 4) ∑

;

n(n +1)

5) ∑(−1)n (n +3)

n=1

(n +1)

∞

(−1)

(n +1)

n=1

ln(n + 4)

5) ∑

n=1

Лабораторная работа №5

Вычисление площади поверхности

Если поверхность σ задана уравнением z = z(x, y) и её проекция на плоскость xOy есть область D, то площадь поверхности вычисляется по формуле S = ∫∫ds или .

∫∫

∂z 2

S =

dxdy .

DxOy

∂x

∂y

Аналогично, если поверхность задана уравнением

x = x(y, z) , то

S =

∫∫

∂x 2

yOz

dydz , где D

проекция поверхности

на плоскость

yOz .

DyOz

∂y

∂z

Если уравнение поверхности имеет вид

y = y(x, z),

то S = ∫∫ 1

∂y

∂y 2

dxdz ,

DxOz

∂x

∂z

где

DxOz

проекция поверхности σ на плоскость

xOz .

Пример 6. Найти площадь части конуса

z =

x2 + y2

, заключённой внутри цилиндра

x2 + y2 = 2x.Находим частные производные из уравнения конуса:

∂z

;

∂x

+ y

∂z

∂y

+ y

Областью интегрирования D является круг, ограниченный окружностью

x2 + y2 = 2x

или

(x −1)2 + y2 =1, то есть центр окружности в точке (1;0) и радиус равен 1.

Двойной интеграл удобнее считать в полярных координатах. Окружность x2 + y2 = 2x

в полярных координатах имеет вид

ρ = 2cosϕ . Тогда

S = ∫∫

dxdy =

∫∫dxdy = S(D) =

π (Площадь круга равна πR2.

+ y

У нас

R =1).

Лабораторная работа №6

Вычисление объёмов тел

Объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y) , снизу плоскостью z = 0 и сбоку цилиндрической поверхностью вырезающей на плоскости xOy область D, вычисляется по формуле V = ∫∫ f (x, y)dxdy.

Объём области V можно находить и с помощью тройного интеграла

V = ∫∫∫dv	или V = ∫∫∫dxdydz в декартовых координатах,
V	V

V = ∫∫∫ρ dρ dϕ dz в цилиндрических координатах,

V = ∫∫∫r 2 sinθ dϕ dθ dr в сферических координатах.

Во избежание возможных ошибок при вычислении объёма тела полезно сделать пространственный рисунок, который давал бы представление о форме данного тела. Если же тело построить не удаётся, то можно ограничиться хотя бы рисунком, изображающим проекцию данного тела на одну из координатных плоскостей (область интегрирования двойного интеграла). Однако и в этом случае необходимо представить себе, какая поверхность ограничивает тело сверху.

Пример 3.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

z = 2 − x − y,

y = x2 ,

y = x и z = 0.

Сверху тело ограничено плоскостью z = 2 − x − y, снизу плоскостью

xOy, с боков – ци-

линдрической поверхностью y = x2 и плоскостью

y = x . Основанием тела, т. е. обла-

стью интегрирования является плоская область D, ограниченная параболой

y = x2 и пря-

мой y = x .

V = ∫dx ∫(2 − x − y)dy = ∫

2 dx =

2y − xy −

2x − x

−

− x

= ∫

− 2x

−

dx =

+ x

−

+ 2x

= ∫

dx = 20 .

Пример 4. Вычислить объём тела, вырезанного цилиндром x2 + y2 = 4x из шара x2 + y2 + z2 ≤16 .

Заметим, так как оба уравнения поверхностей содержат сумму квадратов x2 + y2 , то удобнее перейти к цилиндрическим координатам x2 + y2 = 4x ρ = 4cosϕ и Уравнение сферы x2 + y2 + z2 =16 ρ2 + z2 =16 или z = ±16 − z2 .

В силу симметрии тела можно ограничиться

вычислением четвёртой части тела, расположенной в первом октанте. Область интегрирования – полукруг в первой четверти.

			4 cosϕ
V = 4∫2 dϕ ∫						ρ dρ =
V = 4∫2 dϕ ∫				16 − ρ2		ρ dρ =
		0	0		4cosϕ
		π			4cosϕ
		π
= −	4	∫2	(16 − ρ2 )32			dϕ =	128	(π −	2)
	3	0			0		3		3
					0

Пример 5. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями hz = x2 + y2 и

z = h .

Решение. Снизу тело ограничено парабо-

лоидом z =

+ y2

, сверху плоскостью

z = h и проектируется в круг x2 + y2 ≤ h2

плоскости xOy . Используем цилиндриче-

ские координаты, в которых уравнение па-

раболоида примет вид z =

ρ2

. Объём тела

равен V = ∫∫∫ρ dϕ dρ dz =

2π

ρ2

2π hρ2

2π

πh3

= ∫

dϕ∫ρ dρ ∫dz = ∫

ρ dρ =

−

dϕ =

−

dϕ∫ h −

∫

∫dϕ =

ρ2

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.22 Mб95Лабораторная работа №2 «СВЧ делители мощности»..pdf
#
05.02.2023785.44 Кб8Лабораторная работа №3 «Биполярные транзисторы»..pdf
#
05.02.2023878.43 Кб9Лабораторная работа №4 «Полевые транзисторы»..pdf
#
05.02.2023327.78 Кб5Лабораторная установка для сварки оптических волокон и контроля качества сварки..pdf
#
05.02.20231.07 Mб2Лабораторные работы по химии..pdf
#
05.02.2023463.5 Кб4Лабораторные работы по математике..pdf
#
05.02.20231.15 Mб26Лабораторные работы по химии..pdf
#
05.02.2023929.89 Кб6Лабораторный практикум по биологии..pdf
#
05.02.2023751.94 Кб3Лабораторный практикум по математике ..pdf
#
05.02.20231.68 Mб5Лабораторный практикум по математике.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб6Лабораторный практикум по математике..pdf

Лабораторная работа №4

Проверка сходимости числовых рядов

Рекомендуется изучить раздел «Числовые ряды» в пособии Л.И. Магазинников Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.

Рассмотрим пример.

Исследовать на сходимость числовой ряд

Численное исследование сходимости.

Аналитическое исследование сходимости.