Численное решение дифференциальных уравнений

и находим его корни:

k = 5 ±

=

5 ±1, k = 2, k

25 −24

2

= 3.

1,2

2

2

1

Записываем общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = C e2 x +C

e3x .

1

2

Определяем константы C1

и С2. Поскольку y(0) = 1, то: C1 + C2 = 1.

′

2 x

+3C2e

3x

. Поскольку y'(0) = 0, то: 2C1 + 3C2 = 0.

Находим производную y (x) = 2C1e

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

1.

y′′+6y′+9 y =10sin x,

1.

y′′+9 y = 6e3x

,

′

′

y (0) = y(0) = 0

y(0)

0

= y

(0) =

2.

y′′−4 y′ = 6x2 +1,

y′′−6y′+9 y = x2 − x +3,

y(0)

′

2.

4

1

= 2; y

(0) = 3

y(0)

=

′

27

y′′−4 y′+5y = 2x2ex ,

3 , y (0) =

3.

′′

′

x

y(0)

′

y

+3y

−4 y = (x + 2)e ,

= 2, y

(0) = 3

3.

′

y

0

9

(0) = y(0) =

y′′+9 y =

,

4

4.

cos3x

y′′+ 4 y =

,

y(0)

′

0

sin 2x

=1, y (0) =

4.

y

π

π

= π

4

= 2,

y′

4

ВАРИАНТ 3

ВАРИАНТ 4

1.

y′′−

4 y′ = 2xe4 x ,

1.

y′′−4 y′ = 4xe4 x ,

y(0)

′

y(0)

′

0

= y (0) = 0

= y

(0) =

2.

′′

′

−12 y = 8sin 2x,

2.

′′

+ 4 y = sin x,

y′ + 4 y

y′

y (0) = y(0) = 0

y

(0) = y(0) =1

y′′−9 y′+18y =

9e3x

y′′−6y′+8y =

4

,

,

3.

1+ e−3x

3.

2 + e−2 x

y(0) = 0, y′(0) = 0

y(0) =1+3ln 3, y

′

10ln 3

(0) =

y′′+ y = 4ctg x,

y′′+

1

y =

1

,

4.

π

4,

π

4.

π2

π

2

cos

π

y

=

y′

= 4

x

2

2

y(0)

′

= 2, y

(0) = 0

ВАРИАНТ 5

ВАРИАНТ 6

1. 2 y′′+ y′− y = 3xex ,

1.

y′′− y′−6y = xe2 x ,

y(0)

′

0

y(0)

′

0

= y (0) =

= y

(0) =

2.

y′′+ y = 2cos x,

y′′+ 4 y =12cos2x,

y(0)

=1, y

′

2.

(0) = 0

y(0)

′

0

9e3x

= y

(0) =

3. y′′+3y′ =

,

1+e3x

y′′−6y′+8y =

4

,

y(0)

′

−2 x

3.

1+ e

= ln 4, y (0) = 3 −3ln 2

π

2

y(0)

′

6ln 2

′′

2

=1+ 2ln 2, y

(0) =

4.

y

+ π

y = sin πx ,

9

1

1

π2

′′

y

=1,

=

y

+

9 y = sin3x ,

y′

2

2

2

4.

y

π

π

=

3π

6

= 4, y′

2

6

ВАРИАНТ 7

ВАРИАНТ 8

1. y′′−4 y = xe2 x ,

1.

y′′+ 4 y = e−2 x ,

y(0)

′

0

y(0)

′

1

= y (0) =

= y

(0) =

2.

y′′−4 y′+13y = 26x +5,

y

′′

+ y = x

3

+1,

y(0)

=1, y

′

= 0

2.

(0)

y(0)

′

0

= y

(0) =

y′′−

3y′ =

9e

−3x

,

y′′+6y′+8y = 4e−2 x (2 +e2 x ),

3.

3.

3 + e

−3x

y (0)= 0, y′(0)= 0

y(0)

′

= 4ln 4, y

(0) = 9ln 4 −3

y′′+

4 y = 8ctg 2x,

y′′+ π2 y

=

π2

,

4.

4.

cos

πx

π

π

y(0)

′

y

= 5, y′

= 4

4

= 3, y

(0) = 0

4

∞

ния следует искать в виде ряда Тейлора y = ∑cn (x − x0 )n . Коэффициенты ряда cn

нахо-

n=0

ными коэффициентами.

′′

+ xy

′

+ y = x cos x;

y(0) = 0, y

(0)

=1.

Пример 10. Решить задачу Коши для уравнения y

′

Сначала разложим правую часть в степенной ряд по степеням x, т.к. у нас x0

= 0.

x

2

x

4

+

−

x cos x = x 1−

2!

4!

.

Будем искать решение уравнения в виде ряда y = c

0

+ c x + c

2

x2

+ c

3

x3

+ c

4

x4

+ .

1

Тогда

y′ = c1 + 2c2 x +3c3 x2

+ 4c4 x3 +5c5 x4

+

y′′ = 2c2 + 6c3 x +12c4 x2 + 20c5 x3 +30c6 x4 +

Из начальных условий находим c0

= 0, c1

=1. Подставим полученные ряды в исходное

уравнение

(2c

2

+

6c

3

x +12c

4

x2

+ 20c

5

x

3 +30c

6

x4 + ) + x

(c

+

2c

2

x

+3c

3

x2

+ 4c

4

x3

+5c

5

x4 + ) +

1

x

2

x

4

x

6

+ (c0

+ c1 x + c2 x

2

+ c3 x

3

+ c4 x

4

+ )

= x 1−

2!

+

4!

−

6!

+ .

x0

2c2 = 0

x1

6c3 + 2 =1

x2

12c4 +3c2 = 0

x3

20c5 + 4c3 = − 12

…………………….

1

1

1

Решая эту систему, находим: c

2

= c

4

= c

6

= = c

2n

= 0 ,

c

3

= −

, c

5

=

,

c

7

= −

,

5!

7!

3!

Получаем искомое решение в виде ряда

y = x −

x3

+

x5

−

x7

+ или

y = sin x .

3!

5!

7!