Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторные работы по математике..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

463.5 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Лабораторная работа №9

Разложение функции в ряды Тейлора и Лорана

Всякая бесконечно дифференцируемая дробь в интервале x − x0 < r может быть

единственным образом разложена в сходящийся ряд Тейлора из этого интервала ряд Тейлора с

f (x) = f

(x0 ) +

f ′(x0 )

(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

(x − x0 )2 + +

f (n) (x0 )

(x − x0 )n + , если в этом

f (n+1) (c)

интервале выполняется условие

lim Rn (x) = lim

(x − x0 )n+1

= 0 , где

Rn (x) - оста-

(n +1)!

n→∞

ток ряда,

c = x0 +θ(x − x0 ) , 0 <θ <1.

На практике можно пользоваться следующей теоремой, которая даёт простое достаточное условие разложимости f (x) в ряд Тейлора.

Теорема. Если модули всех производных функции

f (x) ограничены в интервале

x − x0

< r

одним и тем же числом M > 0, то для любого x из этого интервала ряд Тейлора

функции

f (x) сходится к

f (x) .

При x = 0

получается ряд

f (x) = f (0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x2 + +

f (n) (0)

xn + , называе-

мый рядом Маклорена. Приведём примеры разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

ex =1+

+ +

sin x = x −

− + (−1)

cos x =1−

− + (−1)

(1+ x)α =1+

α x +

α(α −1) x2

[−1;1], если α ≥ 0,

x(−1;1], если −1 <α < 0,(−1;1), если α ≤ −1

1−1 x =1+ x + x2 + x3 + + xn

x (−∞;+∞)

x2n+1
		+ x (−∞;+∞)
		+ x (−∞;+∞)
(2n +1)!
x2n	+ x		(−∞;+∞)
(2n)!	+ x		(−∞;+∞)
(2n)!

+ + α(α −1) (α − n +1) xn + , где n!

+ , x (−1;1)

ln(1+ x) = x −

− + (−1)n

xn+1

+ ,

x (−1;1]

n +1

arctg x = x −

− + (−1)n

x2n+1

+ ,

x [−1;1]

2n +1

x2n+1

arcsin x = x +

1 3

3 5

+ +

1 3 5 (2n −1)

+ , x [−1;1]

2 4

4 6

2 4 6 (2n)

Для разложения

f (x) в ряд Тейлора (Маклорена) нужно:

1)найти производные f ′(x), f ′′(x),..., f (n) (x),

2)сосчитать значения производных в точке x = x0 (для ряда Маклорена в точке

x= 0),

3)написать ряд для заданной функции и найти его интервал сходимости,

4)найти интервал, в котором Rn (x) → 0 при n → ∞. Если такой интервал существует, то в нём сумма составленного ряда совпадает с функцией f (x) .

Лабораторная работа №10

Вычисление значений функций с помощью степенных рядов

Для вычисления значения функции f (x) при x = x1 с заданной точностью функ-

цию в интервале (−R; R) разлагают в степенной ряд
f (x) = a	0	+ a x + a	2	x2 + + a	n	xn + ,	x (−R; R) . Точное значение	f (x ) равно сумме
	0	1	2		n		1	1
этого ряда при x = x1 , а приближённое – частичной сумме Sn (x1 ) , т.е.								f (x1 ) ≈ Sn (x1 ) .

Точность этого равенства увеличивается с ростом n, а абсолютная погрешность равна f (x1 ) − Sn (x1 ) = rn (x1 ) , где rn = an+1 x1n+1 + an+2 x1n+2 +

Таким образом, для оценки погрешности нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются подобрать положительный ряд с большими членами, который легко бы сумми-

ровался. Обычно это бесконечно убывающая прогрессия. В качестве оценки rn (x1 ) берут величину остатка этого нового ряда. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка rn (x1 ) < an+1 x1n+1 .

Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена

f (x

) − S

)

f (n+1) (c)

где 0

< c < x

(n +1)!

Пример 8. Вычислить число e с точностью до 0,001.

В формулу ex

=1+

+ +

+ подставим x =1:

e =1+ 1 +

+ +

Для нахождения числа e оставим n слагаемых и оценим ошибку rn (x) :

r (x) =

+ =

(n +1)!

(n + 2)!

(n +3)!

n + 2 (n + 2)(n +

(n +1)!

. В квадратных скобках стоит бесконечно убывающая

(n +1)!

n +1

(n +1)

прогрессия с знаменателем q =

, тогда сумма прогрессии равна

. Оконча-

n +1

−

n +1

тельно получаем

, т.е.

r (x)

(n +1)! 1

−

(n +1)!

n!n

n +1

Подберём наименьшее натуральное число n, чтобы выполнялось неравенство n1!n < 0,001.

Подбором убеждаемся, что это неравенство выполняется при n ≥ 6 , поэтому e ≈1+11! + 21! + 31! + 41! + 51! + 61! ≈ 2,718

Лабораторная работа №11

Применение степенных рядов к вычислению определённых интегралов

Для приближённых вычислений неопределённых и определённых интегралов, в случае, когда первообразная не выражается через элементарные функции или её нахождение сложно, применяются степенные ряды.

Пусть требуется вычислить ∫b f (x) dx с заданной точностью. Подынтегральную

функцию f (x) раскладываем в ряд по степеням x в интервале (−R; R) , который включает в себя отрезок [a;b]. Для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться теоре-

мой о почленном интегрировании степенного ряда. Ошибка вычислений определяется так же, как и при вычислении функций.

Пример 9. Вычислить ∫4 e−x2 dx с точностью 0,001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена в интервале (−∞;+∞)

−x2

=1−

−

Интегрируя обе части равенства на отрезке [0;

] , лежащем внутри интервала сходимости

−x

(−∞;+∞) , получим ∫e

dx = ∫

−

+ dx = x −

1!3

2!5

3!7

1 −

−

+ . Так как

> 0,0052

> 0,001

, а

< 0,001, то

1!3 43

2!5 45

3!7 47

1!3 43

2!5 45

погрешность по модулю меньше первого отброшенного члена (ряд Маклорена

Лейбнецкого типа). Получим ∫4 e−x2 dx ≈

−

≈ 0,245

1!3 4

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.22 Mб95Лабораторная работа №2 «СВЧ делители мощности»..pdf
#
05.02.2023785.44 Кб8Лабораторная работа №3 «Биполярные транзисторы»..pdf
#
05.02.2023878.43 Кб9Лабораторная работа №4 «Полевые транзисторы»..pdf
#
05.02.2023327.78 Кб5Лабораторная установка для сварки оптических волокон и контроля качества сварки..pdf
#
05.02.20231.07 Mб2Лабораторные работы по химии..pdf
#
05.02.2023463.5 Кб4Лабораторные работы по математике..pdf
#
05.02.20231.15 Mб26Лабораторные работы по химии..pdf
#
05.02.2023929.89 Кб6Лабораторный практикум по биологии..pdf
#
05.02.2023751.94 Кб3Лабораторный практикум по математике ..pdf
#
05.02.20231.68 Mб5Лабораторный практикум по математике.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб6Лабораторный практикум по математике..pdf