Орлова Л.А. Функция спроса и МНК

2

Орлова Л.А. Функция спроса и метод наименьших квадратов. Методическая разработка. – М.: Лаборатория экономикоматематических методов в контроллинге, 2007 (электронный вариант).

– 21 с.

Аннотация

Рассмотрено оценивание функции спроса по эмпирическим данным табличным методом и методом наименьших квадратов. Разобраны два алгоритма обработки данных опроса с помощью метода наименьших квадратов (с учетом повторов пар и без такового), в том числе методы построения доверительных интервалов для прогностической функции. Дано обобщение на случай нелинейных зависимостей. Обсуждается критерий проверки правильности расчетов. Рассмотрены различные способы оценивания точности восстановления зависимости. Даны ответы на часто возникающие вопросы, в частности, связанные с доверительными интервалами, понятиями «квантиль» и «квартиль».

Методическая разработка предназначена для использования преподавателями и студентами при проведении практических (семинарских) занятий по курсам «Организационно-методическое моделирование», «Прикладная статистика», «Эконометрика», а также при обучении по программе второго высшего образования (дисциплины «Статистика» и «Эконометрика»). Может быть также использована в бизнес-школах (программы МВА) по дисциплинам «Количественные и статистические методы в экономике», «Маркетинговые исследования» и др.

(с) Орлова Л.А., 2007

3

Содержание

1.Оценивание функции спроса…………………………………………4

2.Метод наименьших квадратов………………………………………...7

3.Обработка данных опроса с помощью метода наименьших квадратов………………………………………………………………….9

4.Альтернативный метод расчета……………………………………...12

5.Нелинейные зависимости…………………………………………….15

6.Критерий проверки правильности расчетов………………………...16

7.Способы оценивания точности восстановления зависимости……..17

8.Часто возникающие вопросы………………………………………...18

8.1.Доверительные интервалы…………………………………………19

8.2.Квантиль и квартиль………………………………………………..20

4

1. Оценивание функции спроса

При маркетинговых исследованиях полезно проводить опрос потребителей, например, при вводе товара на рынок. Полезно знать, сколько денег потребители готовы заплатить за тот или иной товар, чтобы установить оптимальную цену. Затем необходимо обработать эти данные. Обработка данных проводится с помощью оценивания функции спроса. Это можно сделать, построив выборочную функцию спроса графически, в виде таблицы или обработав данные с помощью метода наименьших квадратов.

Рассмотрим первый метод (табличный).

Пусть в результате опроса 50 человек мы получили 50 ответов в ответ на вопрос, какую максимальную цену потребитель готов заплатить за определенный товар. Пусть цена колеблется от 50 руб. до 200 руб. Сначала соберем все цены:

120, 75, 100, 75, 100, 170, 100, 120, 90, 100, 180, 100, 150, 100, 170, 100, 60, 100, 75, 50, 60, 90, 150, 50, 120, 200, 75, 100, 90, 100, 100, 90, 75, 120, 200, 100, 75, 150, 120, 100, 75, 150, 120, 170, 75, 100, 180, 120, 100, 150.

Теперь перейдем к анализу данных опроса. Для начала необходимо составить таблицу исходных данных – пар чисел (p,

D(p)), где

p – независимая переменная – цена, D(p) – зависимая от p величина – спрос.

Упорядочиваем все значения в порядке возрастания. Затем строим табл.1.

Впервом столбце – номера различных значений цены в порядке возрастания (i).

Во втором столбце приведены сами значения цены (pi).

Втретьем столбце указано, сколько раз названо то или иное значение (Ni).

5

Таблица 1.

Оценивание функции спроса и расчет оптимальной цены.

Таким образом, 50 опрошенных потребителей назвали 10 конкретных значений цены (максимально для них допустимых значений). Каждое из значений, как видно из третьего столбца табл.1, названо от 2-х до 15 раз.

Теперь легко построить выборочную функцию спроса в зависимости от цены. Она представлена в четвертом столбце, который заполняется снизу вверх на основе следующих рассуждений.

Если мы будем предлагать товар по ценам свыше 200 руб., то его не купит никто. При цене 200 руб. появляются 2 покупателя. А если цену понизить до 180 руб., тогда товар купят четверо – те двое, для которых максимальная цена 180 руб., и те двое, кто был согласен на большую цену 200 руб. Таким образом, четвертый столбец заполняется по правилу: значение в клетке 4-го столбца равно сумме

6

значений в находящейся слева клетке 3-го столбца и в лежащей снизу клетке 4-го столбца.

Зависимость спроса от цены - это зависимость 4-го столбца D(pi) от 2-го pi . Зависимость можно представить на графике, в координатах "спросцена". Абсцисса - это спрос D(pi), а ордината - цена pi (рис.1).

Из этого графика видно, что 50% покупателей готово купить

проводим вертикаль до пересечения с графиком, а от точки пересечения – горизонталь до оси ординат, получаем цену – 110 руб.

Давайте посчитаем прибыль при различных значениях издержек p0. Издержки – это либо оптовая цена, если товар закупается, либо - себестоимость единицы продукции, если товар производим сами.

Найдем для каждого значения издержек p0 оптимальную розничную цену (см. табл.1). Предполагаемые издержки: 10, 30, 50, 70, 100, 120 (руб.). Для каждого i в табл.1 приведены произведения (pi

- p0.)D(pi), где p0 - это издержки.

Анализируя таблицу, видим, что при издержках от 10 до 70 рублей максимум прибыли приходится на цену 100 руб., что соответствует продажам лицам со средними возможностями (товар купят 34 человека из 50-ти). Это 68% или около 2/3 всех возможных покупателей.

При повышении издержек максимум достигается на более обеспеченных покупателях. А именно, при цене 150 руб. купят 12 человек из 50, т.е. 24% или около 1/4 всех покупателей.

7

Таким образом, даже при значительном изменении издержек от 10 до 70 руб. выгоднее оставить розничную цену постоянной - 100 руб., т.к. при этом мы не только сохраняем покупателей (их количество), но и получаем большую прибыль, чем при переходе на более высокую розничную цену. Сравним.

Возьмем цену 100 руб. Даже при издержках 70 руб. получаем прибыль 1020 руб. Купят 34 покупателя, т.е. 68% от всех потенциальных покупателей. Если же увеличим цену до 150 руб., то при тех же издержках, равных 70 руб., получим прибыль 960 руб., но при этом потеряем покупателей, т.к. купят товар всего 12 человек, т.е. 24% потенциальных покупателей (см. табл.1).

Рассмотренный пример построен на использовании тех значений цены, которые были названа при опросе. Пока мы не знаем, какой будет спрос при других значениях цены. Может быть, и оптимальная цена будет находиться вне названных при опросе значений.

Поэтому целесообразно восстановить функцию спроса при всех возможных значениях цены, а затем использовать эту восстановленную зависимость для расчета оптимальной цены при различных значениях издержек.

Восстановить зависимость можно с помощью метода наименьших квадратов.

2. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов относится к важному разделу организационно-экономического моделирования и прикладной статистики - многомерному статистическому анализу. В многомерном статистическом анализе исходные данные - это как минимум пара чисел (ti, Xi) (а не одно число).

Предполагается, что переменная X линейно зависит от переменной t, т.е.

X(t) = a (t – tср.) + b -

Это - теоретическая модель, а практически известны исходные

данные – набор пар чисел (ti, Xi), i = 1, 2, 3, …, n, где:

ti – независимая переменная (например, время, а в случае определения выборочной функции спроса - цена pi),

Xi – зависимая переменная (например, индекс инфляции, курс доллара, а в случае определения выборочной функции спроса это будет спрос D(pi)).

Предполагается, что переменные связаны линейной зависимостью:

Xi = a(ti – tср.) + b +ei , i = 1, 2, 3, …, n.

8

Это - реальная зависимость, учитывающая погрешности (ei), искажающие зависимость, параметры a и b нам неизвестны и подлежат оцениванию, а

Обычно параметры a и b оценивают методом наименьших квадратов. Согласно этому методу для расчета наилучшей функции,

приближающей линейным образом зависимость X от t, следует рассмотреть функцию двух переменных:

n

f(a,b) = [ X i - a(ti – tср) – b]2.

i 1

Фактически – это есть сумма квадратов разностей между реальными значениями функции и теоретически определенными значениями функции от независимой переменной.

Оценки метода наименьших квадратов – это такие значения a и b, при которых функция f(a,b) достигает минимума по всем значениям аргументов. Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные

производные от функции f(a,b) по аргументам a и b, т.е. f (a, b) и a

f (a,b) , и приравнять их к 0. b

Из полученных уравнений путем внутриматематических преобразований получим оценки:

i1 n

Следовательно, восстановленная функция, с помощью которой можно прогнозировать, имеет вид:

X * (t) a* (t tср. ) b* .

Это - теоретическая функция, в которой вместо параметров подставлены их оценки, что позволяет проводить прогнозирование на какой-то интервал независимой переменной t вперед, а также интерполировать эти данные на моменты между наблюдениями.

Если взять другие обозначения, то линейная зависимость может

Сравнивая выражения:

Xi = a(ti – tср.) + b +ei = ati – atср. + b +ei

и (1), легко перейти от одного к другому:

c =a, d = b – atср.

9

Аналогичные соотношения справедливы и для оценок:

c* = a*, d* = b* -a*tср, Xi* = c*ti + d*.

Оценкой погрешности (невязки) ei является кажущаяся невязка ei* Xi - Xi*.

Возникает вопрос, насколько точно оценивается зависимость. Чтобы ответить на него, надо ввести модель порождения данных:

X i cti d ei ,

где e1, e2……en - независимые, одинаково распределенные случайные

записываются следующим образом (см. п.3.1 главы 3 настоящего учебника):

3. Обработка данных опроса с помощью метода наименьших квадратов

Теперь перейдем к обработке данных опроса с помощью метода наименьших квадратов. Для начала необходимо составить таблицу исходных данных – пар чисел (p, D(p)) также в порядке возрастания значений параметра p. При расчетах удобно использовать программу

Microsoft Excel.

На основе приведенных в п.П.3.1 данных рассчитаем прогностическую функцию и оптимальную цену при различных уровнях издержек.

10

Таблица 2

Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

Примечание. Здесь n = 50 – число ответов участников опроса.

Перейдем к расчету теоретической функции спроса:

b* = 29,04; d* = b* - a*pср.= 29,04 – (- 0,38362)*110,8 = 71,54.

Таким образом, теоретическая функция спроса имеет вид:

D*(p) = (-0,38362)p + 71,54.

Из табл.2 видно, что остаточная сумма квадратов SS = 534,6 (после округления). Исходя из этого, найдем оценку среднего квадратического отклонения:

Затем найдем доверительные границы для функции спроса: