Орлова Л.А. Функция спроса и МНК

11

Например, при p = 120

D*(120) верхн. = 25,51 + 0,9333 = 26,44,

D*(120)нижн. = 25,51 – 0,9333 = 24,57.

Таким образом, при цене 120 руб. товар купят 25-26 человек. Возьмем теперь другую цену, например 165 руб., тогда

= 8,2427 + 1,5913 = 9,83

D*(165)нижн. = 8,2427 – 1,5913 = 6,65

Итак, при цене товара 165 руб. его купят от 7 до 10 человек.

Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p0. Для этого мы должны максимизировать

прибыль:

(p - p0.) D*(p) = (p. – p0.)(a*p + d*).

Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную:

Поскольку a* = -0,38362, a d* = 71,54 ,то

Как видно из последней формулы, при возрастании издержек оптимальная розничная цена также возрастает, но вдвое медленнее.

Сравним (табл.3) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (pопт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (pопт.1).

Таблица 3

Сравнение методов расчета оптимальной цены

Проанализируем результаты, представленные в табл. 2 и 3. Согласно табл.2, при расчете восстановленной функции D*(p)

при p = 200 получаем отрицательную величину (-5,18), что не имеет смысла, т.к. спрос не может быть отрицательным. Рассмотри ситуацию подробнее. Функция спроса убывает, коэффициент a*

12

отрицателен, поэтому рано или поздно прямая уйдет в отрицательную область. Это значит, что приближение функции спроса линейной зависимостью может быть корректно лишь на некотором отрезке, а не на всей прямой. Выясним, при какой цене спрос достигает 0:

D*(p) = (-0,38362)p +71,54 = 0,

p = 71,54 = 186,5.

0,38362

Т.е. корректное приближение функции спроса линейной зависимостью может быть при цене p меньшей, чем 186,5 рублей.

Общепринятых простых методов, позволяющих избежать отрицательных оценок функции спроса, нет. Если получаем отрицательные величины, то должны указать область, в которой линейная зависимость дает корректную оценку, что и сделали выше, когда D*(p) приравняли к 0.

Рассмотрим теперь табл.3. Здесь видим разницу между расчетной оптимальной ценой pопт.2, полученной с помощью метода наименьших квадратов, и расчетной ценой pопт.1, найденной исходя только из данных опроса. Это связано с тем, что потребитель всегда склонен к круглым числам (например, большинство назовет 100 руб., а не 102 руб. 27 коп.). Мы же при применении метода наименьших квадратов ищем максимум не только среди названных опрощенными значений, а по более обширному множеству.

4. Альтернативный метод расчета

Можно построить таблицу (метода наименьших квадратов) и провести все расчеты и без указания частот цен, т.е. чисел, показывающих, сколько раз названа та или иная цена. При таком подходе необходимо все данные ввести в таблицу в порядке неубывания, т.е. все 50 значений, а далее произвести расчеты аналогично предыдущему примеру (табл.4).

Таблица 4

Альтернативный метод расчета оценок параметров

i 1

b* = 29,04

d* = b* - a*pср. = 29,04 – (-0,383624)*110,8 = 71,54.

Оценка теоретической функция спроса имеет вид:

D*(p) = - 0,383624*p+ 71,54.

Оценка среднеквадратического отклонения такова:

Далее, доверительные границы функции спроса имеют вид:

D*(p)верхн\нижн. = (-0,383624) + 71,54

Например, при p =120

D*(120)верхн. = 25,50 +0,9391 = 26,44,

D*(120)нижн. = 25,50 – 0,9391 = 24,56.

Т.о., при цене 120 руб. товар купят 25-26 человек.

16

max

P .

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:

(p – p0.)p-α* = f(p)→ max

P .

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:

df ( p) 0 dp .

Продифференцируем f(p), используя правило дифференцирования

произведения функций:

f ( p) p -α* + (p – p0)( -α*) p-α* -1 =0.

Вынесем общий множитель за скобки:

p-α*-1[p + (p – p0))(-α*)] =0.

Сократим на ненулевой множитель (p-α*-1):

p + (p – p0))(-α*) = 0.

решить линейное уравнение относительно

p – α*p + p0.α* = 0.

Сгруппируем члены с p:

(1 – α*)p = - p0.α*.

Получим оптимальное значение розничной цены:

pопт. = 1 p0 ** .

Непараметрический подход применяется тогда, когда подходящее семейство функций подобрать не удается. Тогда используют подходы на основе непараметрических оценок плотности распределения (см. Орлов А.И. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2004. -

С.145.).

6. Критерий правильности расчетов

Как самостоятельно проконтролировать правильность расчетов? Приведем две простые рекомендации.

1.Примерное чередование знаков «+» и «-» в столбцах Ni[D(pi) – D*(pi)] (табл.2) и Ni[D(pi) – D*(pi)] (табл.4). В частности, если идут сначала только «+», а затем только «-» или наоборот – следует искать ошибку.

2.Из теории метода наименьших квадратов известно условие точности вычислений -при отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходных значений должна равняться сумме восстановленных (см. Орлов А.И. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2004. –П. 5.1). На основе

17

этого условия сформулируем приблизительный критерий проверки правильности расчетов:

n

| [ X i X * (ti )] | 0 ,

1

т.е. имеет место близость сумм Xi с суммами X*(ti). Это в общем случае. А в рассмотренном выше примере – близость D(pi) с D*(pi).

В соответствии с данными табл.2:

В соответствии с данными табл.4:

n

| [D( pi ) D * ( pi )] | 0,2786 .

1

Такие значения в рассматриваемом случае вполне приемлемы.

7. Способы оценивание точности восстановления зависимости

Рассмотрим три способа оценивания точности восстановления зависимости.

В точках ti, i = 1, 2, …, n, имеем по два значения функции - исходное xi и восстановленное x*(ti). При оценивании функции спроса это D(pi) и D*(pi) соответственно. В табл.2 и 4 приведены значения D(pi), D*(pi) и D(pi) – D*(pi). Третье из этих чисел – абсолютная погрешность. Полезно рассмотреть и относительную погрешность:

D( pi ) D * ( pi ) , i = 1, 2, …, n.

По данным табл.4 это такие числа (приведены без повторений):

Ясно, что из этих 10 чисел самыми большими являются шестое

При этом десятое значение находится в области, для которой оценка спроса D*(p) отрицательна (т.е. при цене p = 200 руб.), а девятое - при цене p = 180 руб., т.е. очень близко к границе p = 186,5 руб. – перехода в отрицательную область. Т.о., относительная погрешность не превосходит 0,342 (34,2%) при p 170 руб. Причем, такая большая относительная погрешность, очевидно, связана с тем, что 30% опрошенных (15 человек) назвали одну и ту же цену p=100 руб. Если

18

это значение p = 100 руб. исключить, то при остальных значениях цены относительная погрешность не превышает

1,996 0,166 (16,6%).

12

Мы рассмотрели один из наихудших вариантов, когда одна треть опрошенных назвала одну и ту же «круглую цифру» - 100. По многочисленным данным работ студентов можно утверждать, что такая ситуация встречается крайне редко.

О достигаемой точности восстановления функции свидетельствует также ширина доверительного интервала. Выше показано, что при p = 120

D*(120)верхн. – D*(120)нижн. = 2 * 0,9391 = 1,878.

Относительная погрешность такова:

Таким образом, точность оценивания уменьшается по мере удаления от pср., особенно при увеличении p. Т.е. при приближении к области отрицательности D*(p) точность оценивания уменьшается.

Чтобы еще одним способом выявить роль погрешностей в прогностической формуле, рассмотрим формальный предельный переход, когда p→∞, тогда значения: 71,54; 1/50; 110,8 в выражении (см. выше):

становятся малыми по сравнению с остальными составляющими, следовательно, ими можно пренебречь. Получаем:

Таким образом, относительная погрешность составляет:

| 0,024 *100 | = 6,26%.

0,38362

Итак, типовые относительные погрешности составляют 6–16%, в исключительных случаях достигают 34–38%.

Как показывает практика, в социально-экономических исследованиях метод наименьших квадратов во многих случаях позволяет получить прогноз с точностью 10-15%.

8. Часто возникающие вопросы

Далее рассмотрим наиболее часто встречающиеся вопросы студентов в связи с изучением данной темы.

19

8.1. Доверительные интервалы

Доверительная вероятность γ - вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

В математических рассуждениях в рассматриваемой методической разработке, т.е. для стандартного нормального распределения, в формулах для границ доверительного интервала используют множитель:

См. таблицы функции, обратной к функции стандартного нормального распределения.

При n → ∞ имеем асимптотическое сближение распределения x*(t) с нормальным распределением, а потому ширина асимптотического доверительного интервала равна:

Если выбрано = 0,95, то это значит, что в 95% случаев условное математическое ожидание точечного прогноза x*(t), т.е. значение x(t), будет находиться внутри доверительного интервала и только в 5% случаев – вне его. При γ = 0,95 имеем U(γ) =1,96.

Если мы хотим, чтобы в 99 случаях из 100 условное математическое ожидание попадало в рассматриваемый интервал со случайными границами, необходимо этот интервал расширить (при γ = 0,99 имеем U(γ) = 2,58). Но при этом уменьшается точность прогнозирования.

Поясним на примере. Пусть задача - прогнозирование погоды в Москве через год. Рассмотрим прогноз – температура будет от (-500С) до (+700С). Увеличили ширину доверительного интервала до 1400С, и можно утверждать, что этот прогноз сбудется с вероятностью γ = 1, т.е. надежность этого прогноза 100%. Но точность этого прогноза невелика.

Если уменьшим γ , то доверительный интервал можно сузить, при этом точность прогноза увеличится. Например, значению γ = 0,9 соответствует U(γ) = 1,64.