3.3.1. Вывод уравнений для X и y.

Для начала выведем уравнения для первой системы.

Решение первой системы мы находили ранее:

или, после подстановок:

(3.12)

Для последующих вычислений мы будем пользоваться системой (3.12).

Найдем из уравнения (3.12):

Общий вид уравнений нам известен – он останется таким же как и в системе уравнений (3.12). Однако нам неизвестны коэффициенты . В их нахождении и состоит наша задача.

Мы имеем систему дифференциальных уравнений второго порядка. Чтобы решить ее необходимо понизить степень уравнений и получить столько дифференциальных уравнений первого порядка, сколько неизвестных у нас получится.

Переобозначим переменные:

(3.14)

Теперь запишем четыре новых уравнения для четырех неизвестных, исходя из подстановки (3.14):

Как мы нашли в предыдущих главах:

;

; (3.15)

Запишем уже известные нам элементы этого уравнения:

Соответственно, нам необходимо найти только одну недостающую матрицу – матрицу , ее мы построим из выражений (3.12) и (3.13) как коэффициенты прив каждом из уравнений:

Продифференцировав (3.15) получим:

;

Соответственно, поставим в полученное выражение известные нам матрицы и перейдем обратно, к системам уравнений:

Теперь мы можем выразить .

Таким образом не выраженной осталось только . Сделаем это:

Мы получили производные необходимых нам функций:

Чтобы найти функции , возьмем интеграл, от их производных. При этом коэффициентом интегрирования будет сама функция для момента времени:

Таким образом, мы нашли коэффициенты общий вид уравнений относительного движения с протяженной тягой, нам известен – он останется таким же как и в системе уравнений (3.12). Теперь осталось только подставить коэффициенты в уравнения.

;

;

3.3.2. Вывод уравнений для z.

Теперь выведем уравнение протяженного движения для:

(3.16)

Решением данного уравнения будет являться следующая система:

(3.17)

Чтобы понизить степень дифференциального уравнения введем подстановку:

Тогда уравнение примет вид

(3.18)

(3.19)

Подставим уравнения (3.18) и (3.17(2)) в уравнение (3.16):

Вычтем уравнение (3.19) из (3.17(1)):

После сокращений получаем:

Выразим :

Проинтегрируем эти функции. При этом коэффициентом интегрирования будет сама функция для момента времени :

Подставим полученный результат в (3.17(1)):

.

Итого. Запишем все полученные уравнения относительного движения с протяженным приложением ускорения, которые мы нашли:

3.4. Применение полученных формул относительного движения.

3.4.1. Движение вдоль оси х без изменения положения по осям y и z.

Это означает, что начальные условия нашего движения:

x₀ = X₀ , ,t₀ = 0,

y₀ = z₀ =0, ,

Из уравнения (3.0), подставив начальные условия находим:

Рассмотрим два случая:

а) для случая движения с постоянной скоростью и гашением ее на последнем участке.

Тогда:

Жирной линией обозначена траектория, которую мы должны обеспечить, пунктирная линия показывает траекторию, которую мы получаем в случае двух не скомпенсированных импульсов V_x1 и V_x2.

V_x1 – импульс начинающий движение; V_x2 –импульс заканчивающий движение; a_y – ускорение прикладываемое по оси Y по всему пути движения для стабилизации орбиты на заданной нами.

Рассчитаем полный расход топлива на данный маневр, для этого найдем полную скорость за маневр:

б) для случая постепенно уменьшающейся скорости до нуля на последнем участке.

V_x1 – импульс начинающий движение; V_x2 –импульса, в этом случае, нет; a_y – ускорение прикладываемое по оси Y по всему пути движения для стабилизации орбиты на заданной нами.

Тогда:

Рассчитаем полный расход топлива на данный маневр, для этого найдем полную скорость за маневр: