3. Практическая часть.

3.1. Вывод уравнений, решением дифференциальных уравнений движения, применительно к пассивному относительному движению двух ка.

Возьмем уравнение:

Оно выражает относительное движение двух КА по произвольной орбите. Причем один из аппаратов пассивно движется по опорной невозмущенной кеплеровой орбите, а второй движется активно (маневрируя) по орбите, которая может отличаться от опорной как за счет начального рассогласования орбит, так и за счет действия возмущающего ускорения.

Решение этого уравнения подробно описано ранее. Получаем:(3.1)

(3.2)

Данные системы уравнений можно решить и численным методом, однако это потребует больших вычислительных мощностей, поэтому мы решим это иным способом.

Введем подстановку:

(3.3)

Действуя тем же методом, находим:

(3.4)

Выполним замену в выражение (1):

(3.5)

Решив дифференциальные уравнения (3.4), получаем:

(3.7)

Решив систему уравнений (3.3) найдем x, y, z, ,от:

(3.8)

3.2. Вывод уравнений для импульсного относительного движения двух ка.

До этого момента, мы рассматривали случай относительного движения без ускорения: .

Однако, космические аппараты движутся не только пассивно, но и с приложением ускорения – именно таким образом мы изменяем орбиту и траекторию движения в зависимости от того, как нам это необходимо.

Для начала рассмотрим уравнение движения, когда в некий момент времени пассивного движения дается мгновенный импульс.

Импульсом мы считаем поданное ускорение ,)за бесконечно малый промежуток времени. В данном случае импульс можно считать дельта-функцией.

Обозначим момент начала движения за , момент окончания движения, а момент, когда дан импульс за:

Коэффициент с индексом «+», это коэффициент после импульса, а с индексом «-», до импульса.

Соответственно, с момента времени , до , а с момента времени, до.

3.2.1. Вывод уравнения импульсного относительного движения из общего уравнения движения , двумя методами.

Рассмотрим, для начала, для наиболее простое уравнение относительного движения из системы (6.16):

,

Его решение в общем виде (=0) имеет вид:

(3.9)

Мы вычислили это в предыдущем пункте.

Теперь решим это же уравнение, но пойдем дальше, и уже не будем считать, что ускорение равно нулю, а решим уравнение применительно к импульсу. Для проверки результатов, а так же для выявления наиболее быстрого способа решения для использования его в последующем, решим этот случай двумя способами.

Решение , для импульсного движения, методом вариации произвольных постоянных Лагранжа.

Сущность метода состоит в том, чтобы найти сначала решение уравнений в общем виде, для однородного уравнения. Вид решений неоднородного уравнения останется прежним, только постоянные перестанут быть константами, а станут функциями по времени. Таким образом, остается только найти эти функции.

Теперь перейдем к решению случая, когда (неоднородное уравнение), не забывая, что константы станут функциями по времени:

Понизим степень уравнений:

, уравнения примут вид:

(3.10)

Подставим (3.10) в :

Теперь подставим (3.10) в :

После сокращений остается:

Теперь выразим константы:

Проинтегрировав получим следующие функции:

Такое решение интеграла мы получаем в связи с тем, что интегрируем дельта-функцию по бесконечно малому отрезку времени.

Если мы будем считать тем же способом для n импульсов, то получим следующий результат:

Таким образом, мы видим, что для расчета нескольких импульсов этим способом решение меняется от одноимпульсного на последнем шаге.

Так как координаты для конечного момента относительного движения , часто принимают за ноль (оба аппарата оказались в одной точке), то для удобства, выразимиз выражения (3.9):

Объединим эти уравнения и произведем обратную замену переменных. Для этого мы помножим первое уравнение на , а второе наи сложим их:

Таким образом, мы получили общую формулу, благодаря которой можем определить конечные параметры при заданных начальных условиях и данных об импульсах.

Методом прямых вычислений (подстановки).

Теперь попробуем решить то же самое уравнение , но методом прямых вычислений. Делается это для проверки результатов, а так же для выявления наиболее быстрого способа решения для использования его в последующем.

Запишем это уравнение в приложении к единичному импульсу:

Для момента времени :

Как уже говорилось ранее:

Коэффициент с индексом «+», это коэффициент после импульса, а с индексом «-», до импульса.

Соответственно, с момента времени , до , а с момента времени, до.

Добавим второй импульс и запишем уравнения для движения до момента времени , (не включая его):

Таким образом, в этих уравнениях отображено, что КА движется с момента времени пассивно, в моментподается импульс, и сКА опять движется пассивно.

Аналогично:

Запишем формулу для 3-х импульсов, тем же способом:

Теперь, когда мы вычислили три итерации для трех импульсов, мы можем увидеть закономерность и продлить ту же формулу для n числа импульсов:

Объединим эти два уравнения. Для этого первое уравнение мы умножим на , а второе на, после чего сложим их левые и правые части. Получим:

Таким образом, мы получили два одинаковых уравнения двумя способами – методом вариации произвольных постоянных Лагранжа и методом прямых вычислений (подстановки). Оба эти метода дают верное решение, однако, для решения методом Лагранжа системы уравнений (6.16), необходимо будет упрощать, лианеризовывать, решать сложное дифференциальное уравнение второго порядка – это может привести к ошибке в расчетах.

Поэтому, для решения остальных уравнений этой системы мы используем чуть более длинный в расчетах, но менее вычислительноемкий метод – метод прямой подстановки.