8.Определение главных напряжений в случае, когда известно положение одной из главных площадок.

Пусть  главное напряжение (Рис.11). Требуется найти два другие главные напряжения. Воспользуемся круговой диаграммой Мора. Площадкам 1 и 2 соответствуют точки на координатной плоскости . Нанесём их и проведём окружность, проходящую через эти точки, центр которой лежит на оси. Точки пересечения окружности и осидадут значения главных напряженийи. Найдём их. Координата центра окружности равна

Радиус окружности:

.

Тогда.

Мы получили нам уже знакомую формулу, выведенную для случая плоского напряжённого состояния. Напряжение не влияет на два других главных напряжения. Сопоставляя,и, устанавливаем.

9.Классификация напряженных состояний

В зависимости от числа главных напряжений отличных от нуля напряжённые состояния бывают:

1.1) Трёхосные или объёмные напряжённые состояния – случай, когда ни одно из главных напряжений не равно нулю.

1.2) Напряжённое состояние называется двухосным или плоским, если только два главных напряжения отличны от нуля. В этом случае кубический инвариант равен нулю. Характеристическое уравнение принимает вид

Одно из главных напряжений равно нулю, а два других определяются из решения приведенного выше квадратного уравнения. Если напряженное состояние задано напряжениями по площадкам, одна из которых, например, с внешней нормалью , является той главной площадкой, по которой главное напряжение равно нулю, то тензор напряжений принимает вид

Инварианты напряжённого состояния примут вид: ,. Подставляя это в выражение для главных напряжений, получим формулу

.(1.6)

1.3) Если кубический и квадратичный инвариант одновременно равны нулю, то лишь одно главное напряжение отлично от нуля. Оно называетсяодноосным или линейным и возникает, например, при растяжении и сжатии при чистом изгибе.

В зависимости от знаков главных напряжений:

2.1:Трёхосные растяжения, когда ни одно из главных напряжений не является сжимающим. 2.2:Трёхосные сжатия, когда ни одно из главных напряжений не является растягивающим. 2.3:Смешанные напряжённые состояния, когда иимеют разные знаки.

10. Тензор деформаций. Связь между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений.

Деформированное состояние в точке определено, т.е. можно вычислить удлинение по любому направлению, проходящему через данную точку, если задан тензор деформаций. Тензор деформаций - совокупность удлинений по трём взаимно перпендикулярным направлениям и углов сдвига в плоскостях трёх площадок, нормальных к данным направлениям. Он имеет вид

Здесь:  деформации относительного удлинения в направлении соответствующих осей;  деформации сдвиг в соответствующих координатных плоскостях. Тензор деформаций симметричен. Теория деформированного состояния аналогична теории напряжённого состояния.

Рассмотрим малый элемент, который в процессе деформации изменил свою конфигурацию. Деформация в направлении оси

.

.;;;

; ;.