1.Предельный момент для сечения при изгибе

Пусть материал по-разному работает на растяжение и сжатие, и -предел текучести при растяжении, а- предел текучести при сжатии.

Рассмотрим сечение, полностью перешедшее в пластическое состояние.

Положение нейтральной оси () в предельном состоянии найдем из равенства нулю проекций сил, действующих в сечении на ось балки:

если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то

и условие выглядит:

Предельный момент в сечении равен

, где

и статические моменты растянутой и сжатой зоны сечения

относительно оси .

Если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то

Величину называется пластическим моментом сопротивления.

Если ось - ось симметрии, то нейтральная ось совпадает с ней игде- статический момент половины сечения относительно нейтральной оси.

2. Расчет балок по методу предельных нагрузок

Состояние балки станет предельным в том случае, когда в ней появится столько пластических шарниров, что система станет кинематически изменяемой.

Когда момент в сечении достигает предельного значения, то сечение не способно воспринимать возрастающую нагрузку и ведет себя как шарнир, называемый пластическим шарниром. Этот шарнир характерен следующим:

а) Он односторонний и при уменьшении нагрузки закрывается.

б) В нем действуют две противоположно направленные пары с моментами равными

Введение пластического шарнира означает идеализацию картины распространения пластических деформаций в балке при поперечном изгибе. Пластическая зона распространяется по длине балки

Нагрузка, соответствующая предельному состоянию называется предельной нагрузкой.

Во многих случаях мы будем опираться на кинематический экстремальный принцип, выдвинутый в 1938 г. А.А.Гвоздевым:

Истинной форме перехода в предельное состояние соответствует минимальное значение предельной нагрузки.

Суть состоит в том, что мы перебираем все кинематически возможные механизмы перехода в предельное состояние, определяем для каждого из них предельную нагрузку и останавливаемся на минимальной по величине предельной нагрузке.

3.Напряжение. Понятие напряженного состояния

4.Тензор напряжений. Закон парности касательных напряжений.

4.Определение напряжений по произвольной площадке в случае, когда задан тензор напряжений.

(1)

5.Главные площадки и главные напряжения. Определение главных напряжений в общем случае

6.Инварианты напряженного состояния

Инвариантами напряжённого состояния-скалярные величины, не зависящие от выбора исходных трёх взаимно перпендикулярных площадок. Они определяются следующим образом

линейный инвариант.

квадратичный инвариант, равный сумме миноров элементов, стоящих на главной диагонали.

кубический инвариант, равный определителю матрицы

7.Определение напряжения по площадкам, параллельным направлению одного из главных напряжений. Круговая диаграмма Мора.

Рассмотрим элемент в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого являются главными площадками (Рис.6). Рассмотрим семейство площадок, параллельных направлению главного напряжения . Выделим из параллелепипеда плоскостью, наклонённой под угломк вертикальной грани, треугольную призму (Рис.6). На наклонной грани призмы действуют нормальное напряжениеи касательное напряжение. Выразим их через главные напряжения. Составим уравнения равновесия для призмы.

Рис.6

Проектируя на направление нормали к площадке, получим

.

Проектируя на направление , имеем

.

После очевидных сокращений и перехода к функциям аргумента получим:

(1.7)

Если рассматривать икак координаты соответствующей координатной плоскости, то можно обнаружить, что (7) представляют собой параметрические уравнения окружности. На самом деле:

.

Последнее соотношение представляет собой уравнение окружности, центр которой лежит на оси и имеет координату. Радиусом окружности.

Полученный круг называется круговой диаграммой Мора. Если не принимать во внимание знак касательного напряжения, то можно ограничиться построением только верхней половины круга Мора.

Построенная диаграмма имеет следующий смысл: каждой площадке параллельной направлению напряжения соответствует точка на окружности.

Можно построить круговые диаграммы и для площадок параллельных направлению главных напряжений и. См. рисунок.

Площадкам общего положения, не параллельным ни одному из главных напряжений, соответствуют точки расположенные в заштрихованной области.

Наложим круговые диаграммы на один чертеж