студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

3.1 ] Волны де Бройля 41

всех свойств света: для объяснения интерференции и дифракции следует пользоваться волновой оптикой, которая только в пределе очень коротких длин волн переходит в геометрическую. С другой стороны, известно, что и ньютонова механика имеет ограниченную применимость: она, например, не может объяснить существование дискретных уровней электронов в атоме и т. п. Идея де Бройля состояла в том, что необходимо расширить аналогию между механикой и оптикой, сопоставив при этом волновой оптике волновую механику.

До сих пор мы говорили о волнах де Бройля в чисто теоретическом аспекте. Не менее важным оказался тот факт, что гипотеза о наличии волновых свойств у электрона и других частиц, высказанная сперва чисто умозрительно, может быть проверена на опыте. Первыми доказательствами наличия волновых свойств у электрона были эксперименты по рассеянию электронов на кристаллах американских физиков Л. Джермера (1896–1971) и К. Дэвиссона (1881–1958) и, независимо, английского физика Дж.П. Томсона (1892–1975). Обе работы появились в 1927 г. в одном и том же выпуске журнала Nature.

На самом деле эти опыты имели интересную предысторию. Интерференционные явления при прохождении электронов через кристалл никеля наблюдались еще до опубликования работы де Бройля. В 1921–1923 гг. американские физики Дэвиссон и Кунсман исследовали рассеяние электронов в тонких металлических пленках. Стеклянный аппарат, использовавшийся в их эксперименте, однажды лопнул, и находившаяся в нем никелевая пластинка окислилась. Чтобы снять слой окиси никеля, ее прокалили в вакууме. Во время этой операции в пластинке появилось несколько крупных монокристаллов никеля. Когда ее снова поставили на пути пучка электронов, то на кривой, показывавшей зависимость интенсивности от угла рассеяния, появились характерные интерференционные максимумы и минимумы. Понять такую картину было тогда невозможно. И только в 1925 г. немецкие физики М. Борн (1882–1970) и Дж. Франк (1882–1964) объяснили ее как результат интерференции волн де Бройля.

ну из граней кристалла никеля, атомы которого образуют периодическую структуру, подобную дифракционной решетке. Максимум отражения соответствовал условию Брэгга–Вульфа

.

Вопытах Дж.П. Томсона было показано, что пучок электронов, прошедших через тонкую металлическую пленку и попавших потом на фотопластинку, демонстрирует типичную интерференционную картину, состоящую из набора концентрических кругов. Картина поразительно напоминала дифракцию рентгеновских лучей, пропущенных через такую же пленку, однако ее можно было разрушить, поместив всю установку в магнитное поле. Последнее действовало на заряженные электроны, отклоняя их в сторону. В случае незаряженных рентгеновских лучей магнитное поле, разумеется, ничего не меняет.

Интерференционные и дифракционные явления были обнаружены позднее не только для электронов, но и для других частиц — протонов, нейтронов, -частиц и т. д. Стало ясно, что корпускулярно-волновой дуализм является общим свойством всех микроскопических объектов. Развилась новая отрасль — электронная оптика, занимающаяся созданием, исследованием и использованием в практических целях электронных пучков.

Современная экспериментальная техника позволяет «напрямую увидеть» электронные волны. На рис. 3.2 приведена фотография электронных волн на поверхности кристалла меди (дли-

Æ

на волны электрона равна 15 А). На ней имеется два дефекта

Рис. 3.2

структуры, и с помощью туннельного микроскопа, который фактически измеряет распределение плотности электронов по поверхности, видна образующаяся интерференционная картина — стоячие электронные волны, точно такие же, как на поверхности воды.

Какова же связь волны де Бройля с механическими законами движения частицы? Вычислим фазовую и групповую скорости

волн де Бройля для нерелятивистской частицы массы :

Итак, групповая скорость просто равна механической скорости частицы, в то время как фазовая скорость равна лишь половине механической. Покажем, что для релятивистского случая получается аналогичный результат:

Получившееся различие в выражениях для фазовой скорости волн де Бройля в релятивистском и нерелятивистском случаях легко понять, если вспомнить, что в нерелятивистской механике энергия всегда определена с точностью до аддитивной постоянной. К тому же следует иметь в виду, что величина фазовой скорости волн де Бройля непосредственного физического смысла не имеет.

Волновые свойства частицы ярко проявляются тогда, когда их длина волны де Бройля порядка размеров системы, т. е. именно в таких случаях механическое описание электрона неправомерно. Это и есть критерий квантовости. Для наглядности оценим длину волны де Бройля частиц в некоторых случаях:

длина волны электрона оказалась порядка размера системы (атома водорода), а это значит, что рассмотрение поведения электрона в атомах должно вестись на квантовом языке.

2. Электрон в миниатюрной радиолампе размером 5 мм (напряжение на лампе порядка 100 В):

то есть поведение электрона в радиолампе (даже миниатюрной) чисто классическое.

44 Волны де Бройля. Соотношения неопределенностей [ Гл. 3

3. Жидкий гелий: при нормальном давлении температура кипения жидкого гелия 4,2 K, кинетическая энергия атомов

в единице объема , а среднее расстояние между атомами (характерный размер системы)

как видно, жидкий гелий — квантовая система.

Итак, мы показали, что групповая скорость волны де Бройля равна механической скорости частицы. И тем не менее: волна де Бройля не является волной, движущейся вместе с классической частицей. Волна де Бройля и частица — это один и тот же объект. Просто частица обладает свойством волны, и если мы хотим это подчеркнуть, то говорим о дебройлевской длине волны.

Понятие длины волны де Бройля характеризует рассматриваемый объект с волновой точки зрения, в то время как понятие импульса определяет свойства объекта как частицы. Взаимосвязь между корпускулярной и волновой характеристиками одного и того же объекта отражает важнейшее свойство микромира: микрообъект может проявлять свойства как частицы, так и волны в зависимости от типа эксперимента.

3.2. Физический смысл волн де Бройля. Волновая функция

Как же следует трактовать волну де Бройля? Физически правильное толкование было найдено М. Борном. Оно гласит: «Интенсивность волны де Бройля в каком-либо месте пространства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этом месте.» Таким образом, волна де Бройля определяет вероятность обнаружения (локализации) частицы в данном месте пространства в данный момент времени. Как мы видим, такое толкование полностью эквивалентно тому, что мы говорили о фотоне.

В физике XIX в. понятие вероятности использовалось для описания лишь таких явлений, информация о которых была неполной. Согласно классической механике, созданной еще Галилеем и Ньютоном, движение всех частиц и предметов должно быть строго определенным, если только заданы все силы, действующие между телами, и в какой-то начальный момент времени известны их положения и скорости. Если отвлечься от непреодолимых, но чисто вычислительных трудностей, связан-

ных с необходимостью совместного решения огромного числа дифференциальных уравнений для сложной системы, состояние последней в любой момент времени может быть в принципе определено вполне однозначно. Именно из этого утверждения исходил французский астроном, физик и математик П. Лаплас (1749–1827) в своей концепции абсолютного детерминизма: поскольку в настоящий момент все тела имеют неизвестные, но вполне определенные положения и скорости, будущее мира предопределено на все времена. Если бы мы были всемогущими математиками и могли решать систему невероятно большого числа уравнений, можно было бы заранее вычислить, какая погода будет 1 января 3000 г., и где окажется воздушный шарик, выпущенный весной прошлого года из окна.

На самом деле, разумеется, человеческие возможности ограничены, и строгое решение задачи о движении очень многих тел невозможно даже в рамках классической механики. Именно по этой причине при рассмотрении сложных систем приходится применять статистические методы, использующие понятие вероятности. В классической физике такие методы рассматриваются как вспомогательные, к ним прибегают лишь в тех случаях, когда исследователям не хватает знаний о подробностях того или иного процесса.

В квантовой механике, согласно Борну, ситуация совсем иная. Даже задав все начальные условия в какой-то момент времени, т. е. произведя в этот момент максимально полный опыт и полностью решив систему уравнений для волновых функций, мы смогли бы только установить вероятность тех или иных процессов. Вероятность обнаружить электрон в данном месте, например, может оказаться в 5 раз больше вероятности попадания его в другую область пространства, однако предсказать его положение со стопроцентной достоверностью, как это было в классической механике, уже нельзя.

Это означает в первую очередь отказ от лапласовского детерминизма. То есть в будущем теперь может реализоваться не одна определенная возможность, а любая из бесчисленного множества, какая именно — заранее неизвестно. Можно лишь говорить о том, какая возможность более вероятна, а какая — менее. В этой связи приходится отказаться и от привычного представления об определенной и непрерывной траектории, по которой движется частица. Электрон в стационарном состоянии, например, может присутствовать в любом месте внутри атома, однако, как показывает вычисление, с наибольшей вероятностью он находится где-то около боровской орбиты. В этом смысле планетарная модель атома, созданная Резерфордом и Бором, представляет собой грубое приближение квантовой механики.

траекториях противоречит привычным представлениям большинства людей, которые складываются на основе так называемого «жизненного опыта». Поэтому имеет смысл произвести мысленный опыт, из которого будет видно, почему при рассмотрении процессов, происходящих в микромире, неизбежно приходится говорить о волнах вероятности.

Пусть пучок электронов от источника попадает на экран с двумя отверстиями 1 и 2; прошедшие сквозь них электроны регистрируются затем с помощью фотопластинки, расположенной позади экрана. Чтобы исключить какое бы то ни было воздействие одного электрона на другой, будем выпускать их из источника по очереди через достаточно большие интервалы времени (чтобы через систему проходила только одна частица).

Если сперва закрыть отверстие 2, то электроны, прошедшие через отверстие 1, попадут в некоторую точку фотопластинки. Собираясь там один за другим, они приведут к заметному почернению фотоэмульсии в точке, расположенной за отверстием 1. Если, напротив, закрыть отверстие 1, то на фотопластинке почернеет участок, расположенный за отверстием 2. Поочередно открывая и закрывая каждое из отверстий, мы должны получить фотоснимок с двумя черными пятнами.

Откроем теперь сразу оба отверстия 1 и 2. Пуская электроны один за другим, будем фиксировать место попадания каждого из них на фотопластинку. Всякий раз электрон попадает в одно определенное место фотоэмульсии; в этом отношении он с несомненностью ведет себя как точечная частица. Казалось бы, что как частица он должен пройти только через одно из двух открытых отверстий — либо через 1, либо через 2. Соответственно надо ожидать его попадания либо в точку, расположенную за отверстием 1, либо за отверстием 2, так что результатом прохождения достаточно большого числа частиц снова должна быть картина с двумя темными пятнами. На опыте, однако, возникает совсем иная, интерференционная картина, подобная картине интерференции света от двух щелей. Это значит, что электрон «чувствует», открыто ли только одно отверстие или же оба сразу. Иными словами, он способен «проходить» сразу через оба отверстия 1 и 2. Последнее свойство естественно для волнового процесса, тогда как электрон, попадая в строго определенное место пластинки, ведет себя как частица. Только пропустив через установку достаточно большое число электронов, мы смогли установить, что они «предпочитают» теперь не попадать в изолированные точки, а располагаются вдоль некоторых интерференционных полос.

Это может означать только одно: открыв отверстия 1 и 2 одно за другим или оба сразу, мы меняем вероятность попадания

частиц в разные места фотопластинки. Увы, мы никак не можем обойтись в данном случае без понятия вероятности. С другой стороны, как только оно появилось в нашем описании происходящих событий, все становится на свои места. Волна проходит по-разному через одно или через два отверстия, и потому распределение вероятности зарегистрировать электрон на фотопластинке зависит от условий эксперимента. Все это не мешает отдельному электрону попадать в одну и только одну точку пластинки. Совокупность же большого числа частиц создает на ней распределение темных и светлых полос в строгом соответствии с законом распределения вероятности. Понятно, что, говоря о волне, мы не можем сохранить понятие непрерывной траектории частицы, так как волна проходит сразу через оба отверстия, а частица — только через одно. Сказать, через какое из двух открытых отверстий прошла частица, невозможно.

Втаком опыте отчетливо проявляется отличие квантовой концепции вероятности от классической. Согласно последней вероятностное распределение возникает лишь по причине большого числа событий и их неупорядоченности. В квантовой механике приходится говорить уже о вероятности одиночных, элементарных событий. Даже прохождение отдельного электрона через монокристалл управляется законом вероятности.

Внастоящее время эксперимен-

тально установлено, что волновые свойства обнаруживают (в определенных условиях) все без исключения частицы (протоны, нейтроны, мезоны и т. д.), а не только электроны.

Для иллюстрации волновых свойств частиц на рис. 3.3 приведена картина дифракции нейтронов на монокристалле NaCl.

Итак, будем характеризовать состояние частицы функцией , , , ,

называемой волновой или просто -функцией. Мы принимаем, что вероятность местонахождения частицы определяется интенсивностью волны, т. е. квадратом амплитуды , которая может быть и комплексной, так что 2 . Вероятность найти частицу в области в момент времени

а вероятность обнаружения частицы в объеме в момент вре-

Какими свойствами обладает -функция? Ясно, что при вероятностной трактовке она должна удовлетворять условию нормировки

Интегрирование здесь проводится по всему пространству. Это условие означает, что частица обязательно (с вероятностью 1) находится в каком-то месте пространства. В частности, отсюда следует, что волновая функция должна на бесконечности стремиться к нулю:

причем так, чтобы интеграл (3.10) сходился. Например, если волновая функция сферически симметрична, т. е. зависит только от радиуса, то интеграл (3.10) можно переписать в виде

4 2 2 ,

и значит, в данном случае волновая функция должна убывать с расстоянием быстрее, чем 1 .

Особым случаем является плоская волна де Бройля, для которой вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства, и нормировка типа (3.10) невозможна. Это затруднение (на самом деле кажущееся) является результатом идеализации реальной ситуации, поскольку «настоящей» плоской волны, простирающейся от до , не существует: такая волна не отвечает физически реализуемому состоянию частиц. Математически расходимость интеграла (3.10) в случае плоской волны легко устраняется выбором рациональной нормировки волновой функции.

Одним из фундаментальных свойств волновой функции является принцип суперпозиции состояний:

Если какая-либо система способна находиться в состояниях как с волновой функцией 1, так и 2, то она может находиться и в состоянии с волновой функцией

где 1, 2 — любые числа, для которых функция удовлетворяет условию нормировки (3.10). Примером, демонстрирующим этот принцип, может служить волновая функция электрона после отражения от поверхности кристалла: она представляет собой совокупность дифрагированных плоских волн, но в то же время эта совокупность есть единое волновое поле. Иными словами, состояние электрона, возникающее в результате дифракции в кристалле, может быть представлено суперпозицией состояний свободного движения.

3.3 ] Соотношения неопределенностей и принцип дополнительности 49

Подчеркнем, что описывая поведение электрона (или какойлибо другой частицы), мы, вообще говоря, не можем указать точно положение этой частицы в пространстве. Она может находиться в любом месте в пределах размеров волны, ее описывающей. Будем в таком случае говорить, что положение частицы «неопределенно» или «неточно», в отличие от случаев, когда некоторая величина принимает «точное» значение, как, например, скорость электрона в эксперименте с дифракцией. Тот факт, что точные значения не всегда могут быть сопоставлены каждой физической величине, представляет фундаментальную особенность квантовой механики. Как мы видели, это вызвано двоякой природой частиц (волновой и корпускулярной), подтверждаемой многочисленными экспериментами. Необходимость примирения такой «двоякой природы» непосредственно приводит к вероятностному истолкованию 2 и фундаментальному принципу неопределенностей физических величин.

3.3. Соотношения неопределенностей и принцип дополнительности

Мы не всегда можем приписать точное значение данной физической величине; часто можно указать лишь вероятность того, что она принимает те или иные определенные значения. С другой стороны, существуют, конечно, физические величины, которые в конкретных случаях принимают точные значения. Примером может служить длина волны свободно движущегося электрона. Так как , то отсюда следует, что (или ) также имеют точные значения (они могут быть определены по ускоряющей электроны разности потенциалов). Однако координата свободно движущегося электрона, которому соответствует плоская волна де Бройля, полностью неопределённа. Это сразу следует из вероятностного смысла волновой функции. Свободной частице соответствует волна де Бройля . Квадрат ее модуля

2 представляет собой плотность вероятности найти частицу в точке , т. е. 2 есть вероятность того, что значение координаты частицы заключено между и . Поскольку 1 и не зависит от координаты, волновая функция соответствует постоянной плотности вероятности. Другими словами, у свободной частицы координата полностью неопределенна, а импульс известен точно.

Разобранный нами случай свободной частицы на самом деле является частным случаем общего принципа неопределенностей, связывающего между собой неопределенности в значениях так называемых сопряженных координат (здесь это были пространственная координата и импульс). Как показал немецкий физиктеоретик В. Гейзенберг (1901–1976), необходимость описывать

поведение частиц волновыми функциями приводит к соотношениям неопределенностей как математическому следствию теории.

Анализируя возможности измерения координаты и импульса электрона, Гейзенберг пришел к заключению, что условия, благоприятные для измерения положения, затрудняют нахождение импульса, и наоборот, — в этом смысле понятия координаты и импульса дополняют друг к друга. Для доказательства он пользовался мысленными экспериментами. Вот краткая схема одного из них.

Для того чтобы определить положение электрона, нужно осветить его и посмотреть в «микроскоп». Такой способ определения координаты дает неопределенность порядка длины волны использованного света, т. е. . Действительно, дифракция на краях линзы диаметра приводит к угловому расхождению светового пучка ; в результате в фокусе линзы получается световое пятно размера (где — фокусное расстояние линзы); а так как обычно , то . Для уточнения положения электрона надо брать возможно меньшую длину световой волны. Но это — палка о двух концах. При взаимодействии с электроном свет передает ему импульс. Чтобы уменьшить передаваемый импульс, можно ослабить интенсивность света так, чтобы с электроном взаимодействовал только один фотон. То есть минимальный передаваемый импульс будет порядка импульса одного кванта. Последний связан с длиной волны соотношением ф , поэтому неопределенность импульса электрона вдоль той же оси : . Умножая обе части неравенства на и подставляя вместо , получаем

Это и есть соотношение неопределенностей Гейзенберга. Следует отметить, что связанными соотношением неопреде-

ленностей оказались сопряженные величины — координата и проекция импульса на ту же ось . Такие же неравенства справедливы для неопределенностей в значении координаты и импульса по двум другим осям и :

Особо подчеркнем, что здесь речь идет о принципиальном ограничении, которое природа накладывает на понятия координаты и импульса частицы. Этого ограничения не знала классическая физика. Однако оно не вносит сколько-нибудь заметных изменений в классическое описание макрообъектов из-за очень малой величины постоянной Планка.

Соотношение неопределенностей не мешает проведению физических экспериментов в микромире. Более того, оно правильно