4. Комплесксная форма записи.

Т ак как функции и удовлетворяют волновому уравнению, то решениями являются также и суперпозиции этих функций. Наиболее часто используемой суперпозицией является комплексная функция

, тогда можно представить волну в виде

, где – комплексная амплитуда.

Можно ввести графическое представление волн, при котором комплексная амплитуда представляется в виде вектора, модуль которого равен , а фаза задает направление данного вектора.

В этом случае сложение амплитуд может быть выполнено по правилам сложения векторов.

Рассмотрим соотношение между компонентами в уравнениях Максвелла для комплексной формы записи.

Записав уравнения плоской волны в комплексной форме

,

т.е. в комплексной форме для уравнений Максвелла действие оператора сводится к умножению на , а дифференциал по – к умножению на .

Система уравнений Максвелла примет вид:

Эти соотношения наглядно показывает поперечность электромагнитных волн:

• из уравнения (1^/) – ;

• и з (2^/) – ;

• из (3^/) – ;

• из (4^/) – ,

следовательно .

5. Сферические волны .

Решением волнового уравнения, кроме плоских волн, являются также сферические волны. Сферические волны распространяются от точечных источников.

В сферической системе координат оператор Лапласа:

,

если имеется точечный изотропный источник, то . Тогда волновое уравнение будет иметь вид

Умножив уравнение на , получим

Введя обозначение , получим уже знакомое нам уравнение, в котором :

,

его решение представимо в виде волны, распространяющейся в направлении :

,

тогда

.

Первая функция описывает сферическую расходящуюся волну, вторая – сходящуюся волну.

Для гармонических сферических волн

Часто в оптике применяются источники в виде длинных щелей и нитей. В этом случае испускаются цилиндрические волны, описание которых в плоскости нити совпадает с описанием сферической волны.

Волны, распространяющиеся от реальных источников, всегда можно описать суперпозицией известных решений волнового уравнения.

Лекция 3

1.2.6. Энергетические характеристики.

Законы сохранения энергии для световых волн.

Электромагнитное поле характеризуется объемной плотностью энергии:

Рассмотрим электромагнитную волну с напряженностями электрического и магнитного полей и соответственно.

Запишем уравнения Максвелла:

Умножим скалярно первое уравнение на , второе на и вычтем одно из другого:

используя соотношение , получим:

или

Введем вектор

Тогда

Проинтегрируем полученное выражение по объему :

С огласно теореме Остроградского-Гаусса:

Так как - энергия электромагнитного поля в объеме , то закон сохранения энергии имеет вид:

Вектор носит название вектора Умова – Пойтинга и определяет плотность потока энергии переносимой в направлении нормали к площадке. (Энергия переносимая в единицу времени, через ед. площадки по направлении нормали)

В изотропных средах направление и совпадают, т.е. волновой вектор направлен по направлению распространения потока энергии.

Направление “луча” определяется направлением вектора распространения энергии т.е. вектором .

Примечание: В анизотропных средах уравнения Максвелла имеют вид:

так как векторы и не совпадают в этом случае по направлению, то направление вектора показывает направление распространения фаз, а не энергий.

Для характеристики световых волн вводится понятие интенсивности, которое определяется средним по времени значением модуля вектора Умова-Пойтинга. Частота оптических колебаний . Время наблюдения оптических явлений на несколько порядков превышает период колебаний .

Найдем интенсивность плоской волны:

Если напряженности записаны в комплексной форме, то , тогда

Примечание: при работе с комплексной формой следует учесть, что если и комплексные числа, то .

Рассмотрим более подробно, т.к. переход от комплексной формы к реальной, нам потребуется в дальнейшем.

Пусть

В этом случае (по формуле Эйлера)

В результате усреднения:

При использовании комплексной записи в общем виде

Энергетические характеристики пучков и импульсов.

Пучок – это световой поток ограниченного сечения. Если по сечению пучка меняется только амплитуда, а волновой фронт остается постоянным, то такая волна называется квазиплоской.

Тогда интенсивность такой волны также зависит от координат

Можно заменить такой пучок цилиндрическим пучком, введя эффективную интенсивность и эффективный радиус.

Пример:

Рассмотрим Гауссов пучок, интенсивность которого изменяется по закону:

Найдем полную мощность в таком пучке .

,

учтем, что

, (интеграл Пуассона), получим

В этом случае эффективная интенсивность равна , а эффективное сечение пучка , где - эффективный радиус, равный расстоянию на котором интенсивность уменьшается в раз.

Импульс –ограниченный во времени поток энергии

Для импульса

Оценки и цифры:

1. He-Ne – лазер

Напряженность поля световой волны

2. Лазер работающий в импульсном режиме

Режим свободной генерации:

Мощность

Напряженность электрического поля

Режим модулированной добротности:

Мощность

Напряженность электрического поля

2. 1 Физика излучения световых волн.

2.1.1 Атом, как элементарный источник света.

Частота излучения оптического диапазона составляет 10¹⁴-10¹⁵Гц. Источником такого высокочастотного излучения является атом или молекула.

Классическая модель атома представляет собой пару разноименных зарядов, связанных между собой упругой силой. Такая система имеет собственную частоту колебаний .

Движение электрона относительно ядра описывается уравнением колебаний

, где e, m-заряд и масса электрона, E- внешнее электрическое поле, x-смещение электрона относительно положения равновесия, _ - время затухания свободных колебаний электрона. В случае если внешнее электрическое поле отсутствует, например колебания "запустились " в результате атом-атомного соударения, решение уравнения при имеет вид и представляет собой затухающее колебание. Здесь X-амплитуда колебания в начальный момент времени. Колебания осциллятора приводят к соответствующим колебаниям дипольного момента

.

2.1.2 Излучение заряда

Х орошо известно, что силовые линии электрического поля неподвижного заряда представляют собой прямые радиальные линии с центром в месте расположения заряда. Если заряд движется равномерно и прямолинейно, силовые линии также являются прямыми, выходящими из мгновенного положения заряда (рис.1). При таком движении заряда силовые линии нигде не имеют изломов и невозможно образование поперечной электромагнитной волны, необходимой для излучения. При скорости движения заряда много меньшей скорости света напряженность электрического поля в соответствии с теоремой Гаусса описывается выражением

, (1)

где r-радиус вектор, проведенный из мгновенного положения заряда в точку наблюдения.

Х

О₂

O₁ r₂

O

r₁

Рис.2 Картина силовых линий при ускоренном движении заряда.

При скорости движения заряда близкой к скорости света напряженность электрического поля описывается выражением

, (2)

где ,  - угол между векторами и . К появлению поперечной компоненты поля и излучению приводит ускорение заряда. Рассмотрим прямолинейное ускоренное движение заряда вдоль оси Х. Допустим, что заряд q первоначально покоился, затем в течение промежутка времени t двигался с ускорением , а затем равномерно. Картина силовых линий заряда в некоторый момент времени показана на рис 2. Заряд находится в точке О₂. Так как возмущение силовых линий, вызванное перемещением заряда, распространяется со скоростью света, за пределами сферы радиусом электрическое поле совпадает с полем неподвижного заряда и описывается уравнением (1). С ускорением заряд прошел расстояние ОО₁. Информация об изменении характера движения заряда в точке О₁ также распространяется со скоростью С, поэтому поверхность, на которой происходит излом силовых линий, представляет собой сферу радиусом с центром в точке О₁, граница которой также перемещается со скоростью с. В области охватываемой данной поверхностью характер силовых линий описывается уравнением (2). На границах сферических областей линии напряженности электрического поля претерпевают излом, распространяющийся со скоростью с, что приводит к появлению поперечной компоненты электрического поля и излучению электромагнитных волн.

2.1.3 Излучение диполя

Рассмотрим более подробно излучение классического диполя.

Строгое решение задачи может быть получено путем решения системы уравнений Максвелла с учетом наличия источника излучения.

(3)

В уравнениях Максвелла имеются два источника тока. Один из них - это плотность заряда  и второй - плотность тока j. Связь между данными величинами задается уравнением непрерывности

. (4)

Пусть колебания диполя происходят вдоль направления x , рассмотрим волну, распространяющуюся в направлении r. Дипольный момент также направлен по оси x . В векторной форме можно записать

(5)

где - единичный вектор, направленный вдоль линии соединяющей заряды. Плотность тока связана с дипольным моментом соотношениями

или (6)

Точное решение уравнений Максвелла, включающих токи и заряды, достаточно громоздко, однако оно существенно упрощается с учетом оптического приближения. Сделаем некоторые оценки. Размер диполя в оптике определяется характерным размером атома или молекулы и составляет длина волны излучения . То есть в оптическом приближении обычно хорошо выполняется соотношение

 r, (7)

где r расстояние до точки наблюдения.

Условия (7) позволяют получить простые приближенные выражения для полей и , описывающие дипольное излучение в вакууме в так называемой дальней (или волновой) зоне. Эти выражения имеют вид

(8)

где - единичный вектор, направленный от диполя в точку наблюдения поля. Структура поля совпадает с найденной ранее из анализа картины силовых линий, если учесть, что .

Сделаем анализ полученных выражений.

1. Вектора и ортогональны друг другу и связаны соотношением . Электромагнитное поле излучения поперечно.

2. Полученные решения, являются запаздывающими, что определяется конечной скоростью распространения возмущений поля.

3. В дальней зоне волна является сферической, ее амплитуда ~ .

Вычислим характеристики излучения, считая, что диполь совершает гармонические колебания по закону

. (9)

В данном случае мы пренебрегли затуханием колебаний. Найдем дипольный момент

, (10)

отсюда

.

Для момента времени

. (11)

Подставим полученные выражения в (8), получим для модуля вектора напряженности магнитного поля следующую формулу

, (11)

аналогичное выражение получаем для напряженности электрического поля

, (12)

индекс xy означает, что вектор лежит в плоскости (xy).

Амплитуда колебаний

(13)

зависит от угла , определяющего направление излучения.

В оптическом диапазоне используется энергетическая характеристика, которая называется интенсивностью. Интенсивность равна средней плотности потока энергии электромагнитной волны и определяется выражением

. (14)

Подставив значение амплитуды из выражения (13), получим

. (15)

Введем

. (16)

Получим для интенсивности следующую зависимость от направления

. (17)

Из выражения (15) следует, что интенсивность излучения ~⁴, следовательно, наибольшую интенсивность имеют волны высокой частоты или малой длины волны. Это закон Релея, он в частности объясняет голубой цвет неба, так как наиболее сильно рассеиваются волны синей и фиолетовой частей солнечного спектра. Кроме того, излучение имеет ярко выраженную

диаграмму направленности (рис.5). При , амплитуда и интенсивность излучения имеют максимальное значение, а при равны 0, то есть в направлении колебаний осциллятор не излучает.

Используя формулу (15) найдем полную мощность излучения. Для этого следует проинтегрировать интенсивность излучения по поверхности

сферы, охватывающей диполь. Проведем вокруг диполя сферу радиуса r. Полная мощность излучения

, (18)

где  и  углы сферической системы координат (рис.6).

Подставляя (15) в (24) и интегрируя, получим

. (19)

Мощность энергии излучения диполя, переносимая через замкнутую поверхность, не зависит от расстояния до точки наблюдения.