рассматривать как резонансную частоту по отношению к единице объема вещества. С учетом этого замечания формулу
(1) напишем в виде:
2
1 . (8)
o2 2 4 2 2
Представленные выше результаты были получены исходя из модели вынужденных колебаний связанных электронов в атомах диэлектрика. Однако в металлах имеются свободные электроны, на которые не действует квазиупругая сила, привязывающая их к какому-то отдельному атому, но есть сила “трения“, характеризующая сопротивление движению электрона. Поэтому уравнение классической теории дисперсии (1) можно применить к свободным электронам,
если собственную частоту o положить равной нулю, а
частоту p рассматривать как плазменную частоту. Тогда
для таких состояний вещества диэлектрическая проницаемость:
|
1 |
p2 |
|
2 |
2i |
. |
(9) |
|
|
2 |
|
2 |
4 2 |
|
|
|
|
|
|
Полагая , из (9) получим: |
|
|
|
|
|
|
n2 ( ) 1 |
p2 / 2 . |
(10) |
Такой же результат был получен и в задаче 4.228, формула (16). Отсюда вытекает, что в области высоких частот
( p , |
) |
диэлектрическая проницаемость и |
показатель преломления таких сред (металлов, плазмы) — вещественные, и что эти среды в данных условиях практически прозрачны для электромагнитного излучения.
|
|
|
|
|
|
При |
p |
(но |
) |
диэлектрическая |
проницаемость отрицательна, |
показатель преломления чисто |
мнимая величина. Это значит, |
что волны с |
p и |
не могут распространяться в металле из-за сильного затухания,
причем это затухание не связано с поглощением энергии, поскольку мнимая составляющая диэлектрической проницаемости ~ 0.
Фактически при p происходит полное отражение
падающей волны от среды. При чистом мнимом показателе преломления коэффициент отражения равен единице.
|
4.233. Электромагнитные волны не проходят через |
разряженную |
плазму |
(отражаются) |
если |
o , |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
Ne2 /(m o ) |
- |
плазменная частота. Здесь N - |
концентрация электронов в плазме. Отсюда имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
4 2 o2m o |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для o 400МГц |
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
4 (4 108 )2 9 10 31 |
8,85 10 12 |
|
|
1 |
6,2 1015 1/ м3 |
|
|
|
|
(1,6 10 19 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,2 109 |
1/см3 . |
|
|
|
4.234. |
Строго |
монохроматическая |
волна |
вида |
E Eo cos( t kx) |
бесконечна во времени и в пространстве, |
перемещается |
вдоль |
оси |
|
х |
с |
|
фазовой скоростью |
dx/dt /k /T . |
|
Однако |
в |
действительности |
отдельные |
атомы |
излучают |
|
|
не |
бесконечные |
монохроматические волны, а своего рода световые импульсы в виде отрезков монохроматической волны длительности t. Немонохроматичность световых волн обусловлена в основном обрывом монохроматической волны.
Согласно теореме Фурье, отдельный конечный световой импульс можно представить в виде совокупности гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и фазами. Пусть — интервал, в пределах которого лежат частоты светового импульса. Ширина интервала зависит
292
от длительности импульса t . Можно показать, что интервал частот обратно пропорционален длительности импульса, т.е.t 2 , или k x 2 . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн. Для волнового пакета можно сопоставить уравнение:
|
0 / 2 |
|
|
|
|
E(x,t) |
E A cos( t k x)d . |
|
(1) |
|
0 / 2 |
|
|
|
|
полагая, что o . |
|
Здесь |
индекс |
|
|
|
E(x,t) |
|
указывает на то, |
что эти |
|
|
величины |
для |
разных |
|
|
частот различны. |
Для |
|
|
некоторого |
заданного |
|
x |
момента |
времени |
t |
|
примерный |
|
график |
|
|
|
Рис.1 |
|
функции (1) имеет вид, |
|
|
показанный на рис.1. С |
течение времени график смещается вдоль оси Oх. В пределах пакета плоские волны в разной степени усиливают друг друга, вне пакета они практически полностью гасят друг друга.
В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью . В этом случае скорость движения пакета совпадает с и форме пакета со временем не изменяется. В диспергирующей среде пакет с течением времени расплывается, ширина его увеличивается. В этом случае распространение импульса характеризуется с помощью, так называемой групповой скорости u, под которой понимают скорость перемещения центра пакета, т.е. точки с максимальным значением E.
Получим выражение для групповой скорости пакета u и её связь с фазовой скоростью волны на частоте . Обратимся к группе волн, состоящих из двух плоских волн с одинаковой
амплитудой и мало отличающихся по частоте (длине волн), распространяющихся вдоль оси х:
E1 Eo cos( 1t k1x),E2 Eo cos( 2t k2 x) . (2)
Результирующая волна будет иметь вид:
E E1 E2
|
2Ecos( |
1 2 |
t |
k1 |
k2 |
|
x) cos( |
1 |
2 |
t |
k1 k2 |
x). |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
По |
условию, |
|
1 |
|
2 |
1, 2 . |
Учитывая |
это, |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E 2E |
o |
cos |
|
t |
|
|
x |
cos( t k |
x). |
(4) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
~ |
1 |
2 |
|
|
~ |
k1 k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
1 |
|
2 |
, |
k1 |
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (4) для сложной волны можно приближенно считать уравнением монохроматической волны с частотой1, волновым числом k1 и медленно меняющейся (модулированной) амплитудой
Понимая групповую скорость как скорость перемещения максимума амплитуды пакета, на основании выражения (5), получим условие:
|
|
|
|
|
|
|
t |
k |
x m 2 . |
(6) |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
где m — любое целое число. |
|
|
|
|
|
|
|
После дифференцирования (6) по t |
получим |
|
u |
dx |
|
|
. В пределе можно перейти к производной |
|
|
|
|
|
dt k |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
. |
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk |
|
|
|
Если учесть соотношение |
k , получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
d |
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
( 3 / 4)d |
|
|
|
|
3 d |
|
|
|
3 3 |
|
|
4.236. Из условия |
|
|
|
u c2 |
|
|
при заменах |
|
u |
d |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk |
|
|
имеем |
|
|
cn , |
|
или |
d cndk. Далее учтем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
dk |
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk |
d |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
( dn nd ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d n( dn nd ), или |
|
(1 n2 )d n dn . |
|
|
Разделяя по переменным, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
ndn |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
Интегрирование уравнения дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n(1 n2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
где а - постоянная неопределенного интегрирования. Отсюда имеем:
|
a |
|
1 n2 n2 |
1 |
|
a |
|
1 a/ 2 . |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.237. |
|
На основании |
соотношений |
c/n |
и |
d (c/n2 )dn формулу Рэлея |
|
u d /d перепишем |
в виде : |
|
|
c |
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
(1) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
d |
|
|
Примем следующую индексацию заданных точек (n, )зависимости n( ) :
(n1 1,647; 1 509нм), (n2 1,640 ; 2 534нм),
(n3 1,630; 3 589 нм).
Далее, от точной формулы (1) перейдем к приближенной:
По условию задачи нам необходимо вычислить групповую скорость во второй точке.
Положим n n3 n1 . Подставляя числовые значения
3 1
n и для точек 1 и 3, получим:
n/ 2,12 105 1/м.
При этом |
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
n |
6,9 10 2 , |
|
|
|
|
|
|
n n2 |
|
|
групповая скорость во второй точке
|
u |
2 |
|
|
c |
(1 6,9 10 2) 0,57c, |
|
1,640 |
|
|
|
|
вто время как фазовая скорость для волны с 2 равна:
2 c/n2 c/1,64 0,61c.
4.238. Перемещение светового импульса в определенных условиях характеризуют групповой скоростью u d /dk . Подобный импульс можно представить как суперпозицию монохроматических волн с частотами, заключенными в некотором интервале частот . Суперпозицию волн импульса, мало отличающихся друг от друга по частоте, называют волновым пакетом.
В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью и форма пакета со временем не изменяется. В диспергирующей среде пакет с течением времени деформируется (расплывается). При определенных условиях деформация пакета происходит медленно и можно говорить о
его скорости, как о скорости какой-либо точки, огибающей пакета, например, точки максимальной амплитуды.
Что происходит с волновым пакетом в процессе его перемещения. Рассмотрим волну, возникающую в результате наложения трех монохроматических волн одинаковой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
амплитуды |
с |
близкими значениями |
длины |
волны: |
o , |
1 o 1, |
2 o 2 . |
При этом |
o |
1 |
2 и |
1, |
2 o . |
Фазовые |
скорости |
этих |
волн |
имеют |
туже |
упорядоченность: |
1 2 |
3 . |
Третья |
волна |
опережает |
движение первых двух волн. |
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривая |
отдельную |
гармоническую |
волну, |
как |
распространяющуюся последовательность горбов и впадин,
|
|
|
|
скажем, что взаимное положение горбов и впадин волн с |
1 , |
2 и |
3 в импульсе изменяется во времени. Положим, в |
какой-то момент времени горбы P1 и P2 первой и второй |
волн совпадают (см. рисунок). |
Фаза третьей волны в этом |
месте может быть другой. Через |
некоторое время 1 горб |
P2 |
1 |
|
1 |
|
|
Q1 |
P1 |
|
|
|
1 |
|
x |
2 |
|
|
|
Q2 |
P2 |
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
3 |
Q |
P3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
298 |
|
|
обгонит |
P1 , |
но |
зато |
совпадут |
|
горбы |
Q1 |
и |
Q2 . |
Относительное |
смещение горбов |
|
Q1 |
и |
Q2 |
|
равно |
2 1 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Относительная скорость этих горбов |
|
|
|
|
|
1 2 1 a b 2 (a b 1) b( 2 1). |
|
За |
время |
|
|
1 |
|
состояние |
|
группы |
волн |
1 |
и 2 |
восстанавливается. При этом |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
/ |
1 |
|
1/b. |
|
|
|
|
b( |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Аналогично рассуждая, получи промежуток времени, по истечению которого восстанавливается взаимное положение
горбов Q2 и Q3 |
волн 2 и 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
2 |
1/b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство |
1 2 |
|
является |
|
следствием |
линейной |
зависимости |
( ) a b |
|
(*). |
|
Приходим |
к выводу: |
выбранное состояние группы из трех волн, обозначенные на рисунке, восстанавливается через промежуток времени
1/b.
При выполнении условия (*), полученный результат можно распространить и на сложный импульс. Для любой пары монохроматических составляющих сложного импульса некоторое значение амплитуды повторяется через 1/b.
Итак, форма сложного светового импульса в среде, для которой имеет свойство (*) восстанавливается каждый раз через 1/b.
4.239. Оптически неактивное вещество под действием продольного магнитного поля приобретает способность поворачивать плоскость поляризации светового пучка. Угол поворота плоскости поляризации определяется выражением:
V H .
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
- длина |
пути |
светового луча, |
Н - |
напряженность магнитного поля, V - постоянная Верде |
вещества. |
В |
рассматриваемых |
условиях |
линейно |
поляризованный |
пучок |
света |
интенсивности |
Io /2 |
пропускается через вещество с линейным коэффициентом
поглощения х. |
Пройдя |
путь |
, пучок будет иметь |
интенсивность |
I (Io |
/2)e x . |
При этом плоскость |
поляризации луча под влиянием магнитного поля повернется на угол V H . Поскольку на выходе системы помещен поляризатор с направлением пропускания колебаний, которое перпендикулярно аналогичному направлению входного поляризатора, интенсивность выходящего из системы светового пучка будет равна:
I |
I cos |
2 |
|
|
I sin |
2 |
(Io |
/ 2) e |
x |
|
2 |
(V H ) . |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.240. В общем (теоретическом) смысле прошедшая пластинку световая волна представляет собой наложение бесконечного числа волн – основной и вторичных, возникающих в результате многократных внутренних отражений на поверхностях пластинки. На практике при оценке интенсивности прошедшей волны пренебрегают вторичными волнами, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью основной волны.
Поставлена задача найти интенсивность прошедшего света, пренебрегая вторичными отражениями, а также с учётом многократных отражений. При этом нам даны: интенсивность падающей монохроматической волны I0 , толщина пластины d,
коэффициент отражения поверхностей и коэффициент поглощения вещества x.
С учётом отражений первичной световой волны и поглощения интенсивность основной прошедшей волны равна
I1 (1 )I0e xd (1 ) I0(1 )2e xd I0 (1 )2 , (1)
где exp( xd) .
