I' 1 I 1 sin 2 cos (*), 2
где I - интенсивность света за первым поляризатором и падающего на кварцевую пластинку; I'- интенсивность света на выходе из системы; - угол между плоскостью пропускания заднего поляризатора и оптической осью пластинки; 2 ne no d / - разность фаз между составляющими света, возникшая при прохождении лучей o и e в пластинке.
Если в формуле (*) угол принять равным 45 , то мы перейдем к системе скрещенных поляризаторов. При этом будем иметь
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I' I sin2 |
|
. |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Из (1) |
видно, |
что I' 0 |
при |
2m , |
т.е. когда |
ne |
no d / m и m 1,2,... . Максимум интенсивности имеет |
место быть |
при |
2 ne |
no d / 2 /2 k , т.е. |
при |
ne |
no d / k 1/2, где k |
0,1,2,.... |
|
|
|
|
Известно, |
что |
свет |
с |
1 |
проходит |
систему |
с |
максимальной интенсивностью, а с 2 - минимальной. В результате получаем два условия:
|
|
|
|
ne |
no d m 2 , |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
d |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
n |
o |
k |
|
. |
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
Отсюда имеем соотношение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
m |
|
k |
|
|
, или m k |
|
|
/ |
|
. |
(4) |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
Для 1 |
643нм |
|
и |
|
|
2 |
564нм |
соотношение |
(4) |
принимает частный вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1,14 k 1/2 . |
|
|
|
|
(5) |
Для целых m и k это соотношение является приближенным. Для наименьших m и k , когда левая часть соотношения (5) практически равна, когда m 4 и k 3.
Выражая d либо из равенства (2), либо из (3) и подставляя значения m 4 и k 3, найдем соответствующую толщину кварцевой пластинки:
|
k 1/2 |
|
3 0,5 643 10 9 |
м =0,25мм; |
|
d |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 10 3 |
|
n n |
|
|
|
|
|
e |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
4 564 10 |
9 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
м =0,25мм. |
|
ne no |
|
9 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.211. |
По ходу лучей оптическая система построена по |
схеме: поляризатор P - кварцевой клинполяризатор P'. |
Ориентация |
плоскостей |
|
пропускания |
поляризаторов |
скрещенная, оптическая ось клина параллельна его ребру и составляет угол 45 с плоскостями пропускания поляризаторов. При малом преломляющем угле клина все лучи, проходящие через систему, практически не отклоняются от первоначального направления. Взаимно перпендикулярные колебания в лучах o и e сводятся вторым поляризатором P' в одну плоскость и, следовательно, выходящие из системы когерентные и поляризованные в одном направлении лучи будут интерферировать и создавать на экране систему светлых и темных полос равных толщин. При этом важно отметить, что интерферируют отдельные лучи, прежде являющиеся лучами o и e, пройдя один и тот же геометрический путь d в определенном сечении клина. Оптическая разность хода и разность фаз для этих лучей равны:
ne no d и 2 / ne no d . |
(1) |
|
|
|
Ширину |
|
|
интерференционной |
полосы |
Ө |
∆x |
определим |
расстоянием |
между |
|
d1 |
соседними |
максимумами |
|
d -d |
картины, |
наблюдаемой на |
Өэкране, расположенном за2 1
поляризатором |
P'. |
На |
основании формулы (1) |
задачи |
4.210 максимум интенсивности наблюдается при разности фаз интерферирующих лучей, равной
|
|
2 /2 k 2 k 1/2 . |
(2) |
Выражения (1) и (2) дают: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n d k 1/2 , |
(3) |
где n ne no . |
|
Для двух соседних |
максимумов |
имеем: |
n d1 k 1/2 , |
n d2 k 1 1/2 . Отсюда получаем |
n d2 d1 (4). Обратившись к рисунку, увидим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 d1 |
x tg x. (5) |
Равенства (4) и (5) совместно дают: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Для 550нм, /180 3,5 |
и |
|
x 1,0мм разность |
показателей преломления n ne |
no |
0,009. |
|
4.212. Здесь также воспользуемся формулой (2) |
задачи |
4.207: |
|
|
|
I' I 1 sin 2 cos /2. |
|
|
|
|
|
|
Если в этой формуле положить 45 , то перейдем |
к вариантам: а) P ||P', б) P P'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 45 ; I |
|
' |
1 |
|
I 1 cos I cos2 |
|
; |
|
|| |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
б) 45 ; I |
' |
1 |
I 1 cos I sin2 |
|
|
. |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.213. Представим циркулярно поляризованную волну как наложение двух линейно поляризованных во взаимно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярных |
направлениях |
|
|
|
волн, для которых амплитуды |
|
x |
|
равны и разность фаз /2. |
|
|
O |
|
Будем считать данную волну |
|
P |
|
левокруговой |
|
поляризации, |
|
Ee |
|
кристаллическую |
|
пластинку |
|
|
|
|
E1 |
|
положительной (ne |
no ). Введем |
|
φ |
|
систему |
координат: ось |
Z |
y |
E2 |
|
|
|
направим вдоль |
распространения |
|
|
Eo |
O |
|
волн, ось |
Ox |
- |
параллельно |
|
оптической |
оси |
кристаллической |
|
|
пластинки. Пусть амплитуды линейно поляризованных
составляющих падающей |
волны равны E , а |
уравнения |
световых колебаний имеют вид |
|
Ex Ecos t kz , |
(1) |
Ey Ecos t kz /2 . |
(2) |
На выходе из пластинки будем иметь волны с |
амплитудами Ee E и Eo |
E, и разностью фаз /2, где |
2 ne no d / (см. рисунок). Здесь фаза волны Eo '(t,z) опережает фазу волны Ee '(t,z). Волны Eo ' и Ee ', пройдя
поляризатор P , обусловят колебания, совершающиеся в плоскости пропускания поляризатора, амплитуды которых
пусть будут E1 и E2 . Из рисунка видно: |
|
|
E1 Ee cos Ecos , |
(3) |
|
|
|
|
|
E2 |
Eo cos |
|
|
Esin . |
(4) |
|
|
2 |
|
|
|
Разность фаз колебаний, амплитуды которых представлены выражениями (3) и (4), равна разности фаз волн
Ee ' и Eo', т.е. /2. Квадрат амплитуды результирующей волны за поляризатором
E'2 E |
2 E |
2 |
2E E |
|
cos( |
|
), |
|
2 |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
E2 1 sin 2 sin . |
|
E'2 |
(5) |
Результат (5) показывает, что интенсивность света, прошедшего систему I'~ 1 sin 2 sin .
4.214. Ответы на вопросы данной задачи в достаточной мере ясности приведены в разделе сборника “Решения и ответы”.
4.215. Сначала рассмотрим систему при отсутствии исследуемого образца O. Взаимное положение плоскостей пропускания поляризатора P и анализатора P' и оптических
осей O1O1 |
и O2O2 |
клиньев |
компенсатора K показаны на |
рис.1. Пусть амплитуда волны, |
прошедшей поляризатор П , |
есть E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
45˚ |
O1 φ=45˚ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
Ee |
P' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O2 |
Eo |
Ee |
O2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 O1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
|
В первом клине компенсатора возникнут волны o и e, |
амплитуды |
которых |
равны |
Ee |
Eo E/ |
|
. При |
переходе |
2 |
общей границы OA клиньев обыкновенная волна o |
в первом |
клине переходит в необыкновенную волну e во втором клине,
и наоборот. Амплитуды составляющих волны во втором клине
равны: E'o Ee E /
2 , E'e Eo E /
2 .
Амплитуды составляющих прошедшей систему волны равны:
E"e E'o / 
2 E/2,E"o E'e / 
2 E /2 E/2 cos . (1)
Световые векторы волн Eo" и Ee" совершают колебания
в одной плоскости P' и, следовательно, эти волны интерферируют. Благодаря этому мы можем наблюдать интерференционную картину, состоящую из системы чередующихся между собой параллельных светлых и темных полос. Основной характеристикой интерференционной картины служит ширина интерференционной полосы, которая определяется оптической разностью хода (разностью фаз) интерферирующих волн.
В рассматриваемом случае ширина интерференционной полосы определяется оптической разностью хода лучей o и e на пути в клиньях компенсатора и ориентацией направлений пропускания поляризатора и анализатора по отношению к оптическим осям компенсатора. При вычислении оптической разности хода интерферирующих волн Eo '(z,t) и Ee '(z,t)
пренебрежем их расходимостью, поскольку угол 1. Оптические пути для узких пучков лучей o и e на
расстоянии x от ребра O, |
прошедших компенсатор (см. рис. |
2), соответственно равны: |
|
|
se |
ne 1 |
no 2 |
ne(x ) no(h x ), |
(2) |
so |
no 1 |
ne 2 |
no(x ) ne (h x ). |
(3) |
Оптическая разность хода этих лучей, возникающая в |
компенсаторе, равна: |
|
|
|
|
1 se so (ne no)(2x h). |
(4) |
Пусть для лучей o и e на расстояниях x1 и x2 на выходе |
из системы наблюдаются максимумы интенсивности |
k -го и |
(k 1) -го порядков. Тогда с учетом условия (1) получим два равенства:
(ne no )(2xk h) (k 1/2) , |
(5) |
(ne no )(2xk 1 h) (k 1 1/2) . |
(6) |
Из (5) и (6) находим ширину интерференционной полосы: |
x xk 1 xk |
|
|
|
. |
(7) |
2(ne no ) |
При введении в систему |
исследуемой |
двулучевой |
пластинки с показателями преломления ne ' и no ' для интерферирующих лучей возникает дополнительная разность хода (ne ' no ')d , где d - толщина пластинки. Оптическая разность хода в целом для этого случая равна:
2 |
(ne no )(2x h) (ne ' no ')d . |
(8) |
Максимумы |
одного порядка k в первом |
и втором |
случаях будем наблюдать для разных значений x, |
положим |
xk ' и xk ". Это возможно, когда: |
|
(ne no )(2xk ' h) (ne no )(2xk " h) (ne ' no ')d . |
(9) |
По условию |
|
xk " xk ' и xk ' xk " x. |
(10) |
Из (9) и (10) следует, что: |
|
(ne ' no ')d 2(ne no ) x ,
или
(no ' ne ')d 2(ne no ) x<0.
4.216. Допустим, что падающая плоская световая волна распространяется вдоль оси Z и имеет амплитуду, по модулю равную A0 . На пути световой волны поместим прозрачный
диск параллельно плоскости XY и центром на оси Z . Выберем точку P на оси Z такую, чтобы диск перекрывал полторы зоны Френеля. При этом получим двойную систему вторичных волн, исходящих от круговой и внешней частей волновой поверхности, в которой расположена передняя плоскость диска. Складываясь, вторичные волны создадут в точке P определенную интенсивность света I .
|
A1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
A3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3/2 |
Aвш O' |
|
|
φ=90˚ |
A |
A0 |
|
Aвш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45˚ |
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
O |
|
|
|
A'3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
Рис.2 |
|
Введем обозначение амплитуд световых колебаний, |
приходящих в точку P : |
A3 - от части волновой поверхности, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
занятой диском; Aвш - от внешней части поверхности. |
|
Воспользовавшись |
методом |
графического |
сложения |
амплитуд (спиралью Френеля), найдем: A3 |
|
2 |
A0 , Aвш A0 |
(см. рис. 1). |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим, что заданная монохроматическая волна |
поляризована в направлении оси Y |
(см. рис. 2). По условию |
диск выполнен из оптически активного вещества и на пути в диске плоскость поляризации волны поворачивается на угол90 . В связи с этим, колебания, приходящие в точку P и
имеющие амплитуды A3 ' A3 |
и Aвш , будут совершаться во |
2 |
2 |
взаимно перпендикулярных направлениях. Отсюда для квадрата амплитуды результирующего колебания в точке P имеем:
A2 A 2 |
|
2 A |
2 |
|
|
|
3A 2 . |
A |
( |
2A )2 |
0 |
3 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Переходя к интенсивностям, получим I 3I0 .
4.217. Кварц обладает способностью вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через него
258
плоскополяризованного света. Кварц, как и все оптически активные вещества, существует в двух разновидностях - правовращающей и левовращающей.
Кристаллические вещества сильнее всего вращают плоскость поляризации в случае, когда свет распространяется вдоль оптической оси кристалла. Угол поворота
пропорционален пути , пройденному лучом |
в |
кристалле: |
. Коэффициент пропорциональности |
|
называют |
постоянной вращения. Постоянная зависит от длины волны проходящего света.
От вводных слов перейдем к поставленной задаче. Будем считать кварцевую пластинку вырезанной перпендикулярно оптической оси и правовращающей. При этом, для нормально падающих лучей ne no n. Толщину пластинки обозначим
через .
Рассмотрим отличительные особенности, наблюдаемые при пропускании через пластинку право- и левополяризованного по кругу света с 0 590нм. Определяя
амплитуду циркулярно поляризованного пучка света некоторым вектором, будем исходить из представления о его вращении вокруг оси пучка с угловой скоростью, равной частоте волны, положим 0 . Можно сообразить, что на
вращение амплитудного вектора волны будет накладываться вращение с угловой скоростью (частотой) , обусловленное оптической активностью вещества. В зависимости от направления круговой поляризации волны, результирующая частота вращения амплитуды светового вектора будет равна0 1,2 : для правополяризованной по кругу волны и
правовращающей модификации кристаллической пластинки знак +, для левовращающей модификациизнак минус. Итак, имеем:
1 |
0 1 , 2 0 2 . |
(1) |
Определим 1 и |
2 . |
|
Промежутки времени прохождения лучей, по-разному
поляризованных, равны 1 / 1 |
n1 /c |
и 2 |
/ 2 n2l/c, |
где |
c- скорость света в |
вакууме. |
|
Полагаясь |
на равенство |
1 |
2 |
и закон , найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
c |
, |
2 |
c . |
(2) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
Подставим (2) в (1): |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
(3) |
|
|
1 |
|
0 |
|
n |
|
2 |
|
|
0 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая соотношение между частотой и длиной волны2 v/ 2 c/(n ), представим уравнение (3) в виде:
2 c |
|
2 c |
|
c |
, |
2 c |
|
2 c |
|
c |
. |
n1 1 |
0 |
|
n2 2 |
|
|
|
|
n1 |
|
0 n2 |
Из уравнений (4) получаем:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, n2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
n1 0 |
|
0 |
2 |
. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разность показателей преломления:
|
Если учесть, что |
2 |
|
0 |
2 |
и |
0 |
, то приближенно, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разность показателей преломления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
0 |
. |
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для кварца при 0 |
590нм и |
|
21,8 103 м-1 |
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
n |
|
0,71 10 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.218. Положим, что колебания светового вектора E падающей поляризованной волны совершаются перпендикулярно главному сечению призмы, одним из которых служит плоскость (рис. 1). Из этого выбора
