3.7. Кинематические характеристики плоских механизмов с высшими парами

Мгновенный центр скоростей Р является точкой плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю. Он определяется как точка пересечения перпендикуляров, восста­ новленных из любых двух точек фигуры к векторам скоростей этих точек.

В каждый момент времени с мгновенным центром скоро­ стей совпадает мгновенный центр вращения — точка непо­ движной плоскости, поворотом вокруг которой плоская фигура перемещается из данного положения в положение, бесконечно близкое к данному. Метод центроид наиболее часто использу­ ют применительно к передаче вращательного движения между звеньями с параллельными осями. Отношение угловых скоро­ стей звеньев 1 к 2 является функцией обобщенной координа­ ты <р\:

На рис. 3.16, а показаны звенья 1 и 2, вращающиеся от­ носительно осей Л и С и образующие между собой высшую кинематическую пару В в точке контакта (К\ и К 2 — точки звеньев 1 и 2 соответственно). Найдем центроиды как геомет­ рические места мгновенных центров вращения и мгновенных центров скоростей.

По отношению к звену 1 звено 2 имеет сложное движе­ ние (см. рис. 3.16, б). Однако, используя метод обращения дви­ жения, можно указать направление относительных скоростей точек С и К 2 относительно точек неподвижного звена 1] ско­ рость VQA точки С относительно оси А перпендикулярна меж­ осевому расстоянию АС, а точка К 2 в данный момент имеет скорость vK2_ Kl скольжения, направленную вдоль общей ка­ сательной t — t к соприкасающимся профилям. Мгновенный центр скоростей Р звена 2 в относительном движении (при неподвижном звене 1) находится как точка пересечения двух перпендикуляров к скоростям этих точек. Иначе: мгновенный центр скоростей Р звена 2 и совпадающий с ним мгновенный центр вращения в относительном движении находятся в точ­ ке пересечения межосевого расстояния АС и общей нормали п — п к профилям, проведенным в общей контактной точке К

(К 1 и К 2).

Следовательно, полюс зацепления Р звеньев 1 и 2 в от­ носительном движении расположен на межосевой линии АС (см. рис. 3.16, а) или 0\0ч (рис. 3.17, а) и делит межосевое расстояние на отрезки АР(РО\) и Р С (Р 0 2 ), отношение кото­ рых обратно пропорционально отношению мгновенных угло­ вых скоростей звеньев (в том числе зубчатых колес). Если по­ люс зацепления Р расположен между осями 0 [ и О2 , то звенья вращаются в разных направлениях, т.е. и\2 имеет знак ми­ нус, а зацепление называют внешним (см. рис. 3.17, а). Если полюс зацепления Р находится вне отрезка O1O2 , то звенья вращаются в одинаковом направлении и передаточное отноше­ ние и\2 имеет знак плюс, а зацепление называют внутренним (рис. 3.17, б).

Скорость скольжения vCK профилей в относительном дви­ жении определяется соотношением

v = U2\IK P = 1к р (ш1 Т ^г).

Обозначим межосевое расстояние АС(0 \0 2 ) через aw, а расстояние полюса зацепления Р до осей А (0 1) и С ( 0 2 ) — через rwl и rw2.

Если передаточное отношение u\2 постоянно, то радиусы центроид rwi и rw2 также постоянны. Следовательно, при пе­ редаче вращательного движения звеньями, оси которых парал­ лельны с постоянным межосевым расстоянием (aw = const) и постоянным передаточным отношением (и\2 = const) центро­ иды являются окружностями. В теории зацеплений их назы­ вают начальными окружностями.

Расположение начальных окружностей для внешнего (см. рис. 3.17, а), внутреннего (см. рис. 3.17,6) и реечного (рис. 3.17, в) зацеплений с постоянными передаточными отно­ шениями показано на рис. 3.17.

Если передаточное отношение Щ2 переменно, то радиусы центроид (рис. 3.17, г) являются переменными и их находят из следующих соотношений:

для колеса 1

Q>w a w

Угол ip1 наклона общей касательной к центроидам в точке их касания относительно радиус-вектора rw\ определяется как угол наклона касательной к кривой, заданной в полярных координатах:

Если некоторые звенья механизма участвуют в сложном движении, состоящем из суммы двух вращательных движений, то для определения передаточных отношений можно восполь­ зоваться методом обращения движения.

На рис. 3.18, а изображены центроиды колес 1 и 2 зубчато­ го планетарного дифференциального механизма с водилом Я. Колесо 2 участвует в двух вращениях: в переносном вместе с

Сообщим всем звеньям механизма вращения со скоростью, равной по модулю и противоположной по направлению угло­ вой скорости водила Я, т.е. сообщим механизму угловую ско­ рость —и# (рис. 3.18, б). При таком обращении движения во­ дило можно условно рассматривать неподвижным, колесо 1 — вращающимся вокруг неподвижной оси А с угловой скоростью (u>i - и д ), а колесо 2 — вращающимся вокруг неподвижной оси В с угловой скоростью (Ш2 —ЧйО*

б

Рис. 3.18

Учитывая соотношения (3.39) между угловыми скоростя­ ми и радиусами центроид, находят соотношения, определяю­ щие связь между угловыми скоростями и радиусами центроид планетарных зубчатых колес 1 и 2 :

(3.42)

Знак минус относится к внешнему зацеплению, плюс — к внут­ реннему. Это соотношение называют формулой Виллиса.

Треугольники скоростей для зубчаты х механиз­ мов. Для исследования зубчатых механизмов, особенно мно­ горядных планетарных редукторов и дифференциалов, проф. МГТУ им. Н.Э. Баумана Л.П. Смирнов предложил использо­ вать графический метод.

На рис. 3.19, а показана схема планетарного редуктора, с помощью которого вращательное движение центрального ко­ леса 1 преобразуется во вращательное движение двух валов 6 и Я, вращающихся в противоположных направлениях. Предста­ вление о распределении скоростей точек получают с помощью треугольников скоростей (рис. 3.19, б). Вектор скорости точки А изображается в виде отрезка АА1 = pvv ^ а распределение скоростей точек — радиальной прямой колеса 1 : наклонным лучом 0 А\ проходящим через точки А' и О под углом к линии отсчета углов. Прямую А1СВ1 распределения скоростей точек колес 2, 3, 5, объединенных в блок (сателлит), прово­ дят через точки А1 и С (С1), так как через точку С проходит ось мгновенного вращения сателлита, поскольку колесо 4 не­ подвижно, сателлит совершает сложное движение: вращение с

в

Рис. 3.19

водилом Я вокруг оси 0 0 и вокруг оси В. Отрезок ВВ1 между линией отчета и прямой распределения скоростей пропорцио­ нален скорости оси В сателлита. Для водила Н прямая В'О распределения линейных скоростей проходит через точку В1 и ось вращения О под углом фц. Линейная скорость точки D — полюса зацепления колес 5 и 6 — изображается отрезком DD 1

Для получения наглядной картины об угловых скоростях и частотах вращения зубчатых колес выбирают общую точку О (рис. 3.19, в), через которую проводят пучок лучей, парал­ лельных соответствующим прямым распределения скоростей, т.е. лучей с углами наклона ф\, фч> Фн> Фб- Если этот пучок лучей пересечь какой-либо прямой, перпендикулярной линии отсчета линейных скоростей, то можно отметить точки пере­ сечения 1 , 2, Я , 6 и отрезки 01, 02, ОН, 06, отсчитываемые от начала отсчета О. Нетрудно показать, что эти отрезки пропор­ циональны частоте вращения и угловой скорости соответству­ ющих зубчатых колес. Записывают следующие соотношения:

= мм/(рад •с""1) — единица СИ масштаба угловой скорости. Так как между частотой вращения п\ (с-1 ) и угловой ско­

где //п = 27г//о, — масштаб частоты вращения; [//п] = мм/с-1

— единица СИ масштаба частоты вращения. Передаточные отношения определяют из соотношений

г/ б1 = CJ6M = tg^ e/tg^ l = 0 6 /0 1 ; ^71 - ^7 /^ 1 = ЬёФн tg^i = ОН/01.

На линии частот вращения зубчатых колес обычно для наглядности наносят шкалу (см. рис. 3.19, б).

При проектировании сложных зубчатых механизмов, на­ пример коробки передач (рис. 3.20, а), проводят последова­ тельные построения, а результаты представляют в виде со­ вокупности нескольких линий частот вращения для разных валов, например А , 5 , С. На рис. 3.20, а приведена схе­ ма шестиступенчатой коробки передач, состоящей из подвиж­ ного блока колес г1 , Z2 , z 3 на. валу А, подвижного блока

колес Z7 , zg на валу В, колес Z4 , Z5 , zg, закрепленных на валу Б, и колес zg, zio, закрепленных на валу С.

При проектировании подобных механизмов частота вра­ щения выходного вала С должна изменяться в требуемых пре­ делах по заданному закону, что и отражается в форме графика

— «лучевой диаграммы». На рис. 3.20, б изображен один из таких графиков, показывающий изменение частоты вращения вала С в пределах от пс\ = 10 0 мин” 1 до riQg = 400 об/мин с последовательностью частот вращения по закону геометриче­ ской прогрессии с заданным знаменателем прогрессии v^lo =

=1,25. Шкалу частот вращения принимают логарифмической

спостоянной длиной отрезков между соседними значениями неравномерной шкалы.

Метод заменяющих рычажных механизмов. В плоских механизмах высшая кинематическая пара образует­ ся путем касания двух кривых, по которым очерчены со­ прикасающиеся элементы звеньев, образующих эту пару (см. рис. 3.16, а). В частном случае один из элементов пары может быть точкой.

Для каждой из соприкасающихся кривых в точке контакта

К можно найти радиусы кривизны и центры кривизны. Оба центра кривизны и контактная точка расположены на общей прямой, являющейся нормалью п — п к соприкасающимся кри­ вым. Профиль на плоскости может быть заменен в любой его точке кругом кривизны, т.е. окружностью, которая проходит через точку и две другие близкие точки кривой. Кривизна окружности эквивалентна самой кривой до производных вто­ рого порядка включительно. При смене контактной точки двух кривых с переменной кривизной центры кривизны и радиусы кривизны меняются. Если же кривизна кривых остается не­ изменной, то положение центров кривизны относительно соот­ ветствующих звеньев и радиусы кривизны остаются постоян­ ными. Это обстоятельство позволяет заменять механизмы с высшими кинематическими парами эквивалентными механиз­ мами с низшими кинематическими парами. Такие механизмы называют заменяющими рычажными механизмами. Они экви­ валентны в кинематическом смысле механизму с высшими па­ рами до производных второго порядка включительно.

Рис. 3.21

Для образования заменяющего механизма любую высшую кинематическую пару заменяют одним звеном (например, зве­ ном ВС на рис. 3.21, а), длина которого равна сумме радиусов кривизны элементов кинематической пары (}в с — -®1 + -#2 ), и двумя низшими кинематическими парами. Вращательные кинематические пары В и С при замене высшей кинематиче­ ской пары располагают в центрах кривизны соприкасающих­ ся профилей (см. рис. 3.21, а). Если радиус кривизны одного из элементов равен бесконечности (прямая линия на звене 3 (рис. 3.21,6) и на звене 1 (рис. 3.21, в)), то заменяющим зве­ ном является ползун 2 , направляющая 7 7 которого параллель­ на прямой линии профиля и проходит со смещением а (а = R на рис. 3.21, б; а = Rp на рис. 3.21, в) через центр кривизны В другого профиля.

Если радиус кривизны одного из элементов равен нулю (заострение), то длина заменяющего звена равна радиусу кри­ визны второго профиля. Если радиус кривизны одного из эле­ ментов равен нулю, а другого — бесконечности (прямая ли­ ния), то заменяющим звеном является ползун, направляющая