11

Московский государственный технический

университет им. Н.Э. Баумана.

Калужский филиал.

Т.С. Китаева, Р.В. Нехаенко

«Определение отношения молярных теплоёмкостей газа при

постоянном давлении и объёме по методу Клемана и Дезорма»

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 7

по курсу механики, молекулярной физики и термодинамики.

Калуга 2007 г.

Целью настоящей работы является определение отношения молярных теплоёмкостей воздуха при постоянном давлении и объёме по методу Клемана и Дезорма.

1. Теоретическая часть.

Согласно первому закону (началу) термодинамики для бесконечно малого или элементарного квазистатического процесса:

, (1)

где - элементарное количество теплоты, сообщённое системе;

- элементарная работа, совершаемая системой против внешних тел;

- элементарное изменение внутренней энергии системы.

В качестве системы рассмотрим идеальный газ.

Величины и , в отличие от , не являются функциями состояния, а зависят от способа перехода идеального газа и будут неодинаковы в различных процессах, в то время как величина будет одна и та же.

Величины, связанные первым законом термодинамики, могут быть вычислены независимо друг от друга. Рассмотрим одну из них.

По определению:

, (2)

где - удельная теплоёмкость газа, ;

или , (3)

где - молярная теплоёмкость газа, ;

- число молей идеального газа, .

Приравняем (2) и (3), получим связь между теплоёмкостями;

(4)

Наибольший интерес представляет молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении () и при постоянном объёме ().

Отношение представляет собой характерную для каждого газа величину, которую можно рассчитать теоретически:

;

,

где - универсальная газовая постоянная, численно равная ;

- число степеней свободы молекулы, для одноатомных газов , для двухатомных , для трёхатомных и многоатомных .

Тогда (5)

Так для воздуха () имеем: .

Число входит также в уравнение Пуассона, связывающее давление и объём идеального газа при адиабатическом процессе, происходящем без теплового обмена с окружающей средой, и называется коэффициентом Пуассона или показателем адиабаты.

Запишем первый закон термодинамики в дифференциальной форме:

,

где ;

;

,

тогда (6)

Продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона:

,

тогда ,

отсюда (7)

Подставим (7) в (6):

.

Воспользуемся уравнением Майера:

, (8)

тогда ,

или .

Поделим полученный результат почленно на :

,

где ;

(9)

В результате интегрирования и потенцирования (9) получим:

;

или (10)

Выражение (10) называют уравнением Пуассона, которое для двух произвольных состояний запишется так:

(11)

Уравнение Пуассона используется при выводе экспериментальной формулы.

2. Экспериментальная часть.

Одним из методов экспериментального определения является метод Клемана и Дезорма. Суть его заключается в следующем. Стеклянный баллон (сосуд) вместимостью в несколько литров наполняется исследуемым газом - воздухом, который при атмосферном давлении и комнатной температуре по своим свойствам приближается к идеальному. Сосуд снабжён тремя трубками (Рис. 1.). Первая (1) - широкая (для лучшего адиабатического расширения воздуха, находящегося в сосуде), соединена с сосудом и запирается краном ; вторая (2) – соединена с насосом и снабжена краном ; третья (3) - соединена с U-образным жидкостным (водяным) манометром (4).

Рис. 1. Экспериментальная схема определения

по методу Клемана и Дезорма.

Мысленно выделим внутри баллона произвольную порцию газа, ограниченную замкнутой поверхностью, выполняющей роль «оболочки» (5). В различных процессах газ внутри «оболочки» будет расширяться и сжиматься, совершая работу против давления окружающего газа (6) и обмениваясь с ним теплотой. Поскольку кинетическая энергия возникающего макроскопического движения невелика, эти процессы могут рассматриваться как квазистатические.

Если отрыть кран , то параметры состояния мысленно выделенного малого объёма воздуха будут равны:

; ; ,

где - атмосферное давление;

- температура окружающей среды (комнатная).

Если закрыть кран и, открыв кран , ведущий к насосу, накачать в сосуд некоторое количество воздуха, а затем закрыть кран , то рассматриваемый малый объём сожмётся, а его температура и давление повысятся. Через некоторое время, благодаря теплообмену с окружающей средой, температура воздуха в сосуде снова сравняется с комнатной, а параметры состояния воздуха в «оболочке» будут равны:

; ; ,

где - установившаяся разность уровней жидкости в манометре.

Если на короткое время открыть широкую трубку (кран ), то воздух в сосуде адиабатически расширится и вследствие этого охладится. В конце этого малого промежутка времени, когда широкая трубка открыта, давление воздуха внутри сосуда сравняется с атмосферным и состояние воздуха внутри «оболочки» в данный момент определится параметрами:

; ; ,

причём .

Когда давление в сосуде сделается равным давлению атмосферы (разность уровней жидкости в манометре равна нулю), широкую трубку закрывают (кран ). Воздух, находящийся в сосуде, станет нагреваться от до за счёт теплообмена с окружающей средой. Вследствие этого давление в сосуде начнёт повышаться до величины , где - установившаяся разность уровней жидкости в манометре после выравнивания температур. Параметры состояния малого объёма воздуха равны:

; ; .

Итак, для вывода экспериментальной расчётной формулы рассмотрим три состояния малого объёма воздуха в «оболочке»:

I состояние (после закачивания воздуха в сосуд и последующего его охлаждения до температуры окружающей среды), характеризуемое параметрами:

; ; .

II состояние (короткое, наступающее в конце адиабатного расширения) с параметрами:

; ; .

III состояние (в конце эксперимента), характеризуемое параметрами:

; ; .

Переход из I-го состояния во II-ое представляет собой адиабатный процесс. Согласно уравнению Пуассона, имеем:

(12)

I-ое и III-ее состояния при связаны законом Бойля-Мариотта:

(13)

Возведём уравнение (13) в степень :

(14)

Поделив почленно уравнение (14) на (12), получим:

,

отсюда (15)

Взяв натуральный логарифм левой и правой частей (15) и решая относительно , находим:

(16)

Принимая во внимание, что , , получим , .

Подставляя полученные выражения для и в равенство (16), имеем:

(17)

Так как и значительно меньше , то числитель и знаменатель правой части равенства (17) можно разложить в степенной ряд, воспользовавшись формулой:

Ограничимся при разложении первой степенью. Тогда

для числителя: ;

для знаменателя: ;

окончательно: (18)