Московский государственный технический
университет им. Н. Э. Баумана.
Калужский филиал.
Т.С. Китаева, а.В. Попов «Определение момента инерции маятника Максвелла»
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 4
по курсу механики, молекулярной физики и термодинамики.
Калуга 2007 г.
Правила техники безопасности.
Необходимо выполнять общие правила безопасности труда, относящиеся к устройствам, в которых используется напряжение до 250 .
Эксплуатация установки допускается при наличии заземления. При любых неполадках в установке обращаться к дежурному лаборанту или преподавателю.
Целью данной работы является экспериментальное определение момента инерции маятника Максвелла.
1. Теоретическая часть.
Момент инерции системы материальных точек относительно некоторой неподвижной оси вращения определяется равенством:
, (1)
где - масса-й точки системы;
- расстояние от -й точки до оси вращения.
Для твёрдого тела:
, (2)
где - элемент массы твёрдого тела;
- расстояние от элемента массы до оси вращения;
- элементарный объём;
- расстояние от элементарного объёма до оси вращения;
- плотность вещества тела ().
Момент инерции тела относительно произвольно заданной оси вращения определяется с помощью теоремы Штейнера:
, (3)
где - масса тела;
- момент инерции данного тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси;
- расстояние между указанными осями.
Используя основное уравнение динамики вращательного движения, момент инерции тела относительно неподвижной оси можно вычислить по формуле:
, (4)
где - результирующий момент действующих на тело внешних сил относительно данной неподвижной оси;
- угловое ускорение тела.
Момент инерции тела относительно заданной оси и угловая скорость позволяют вычислить кинетическую энергию вращательного движения этого тела:
(5)
Экспериментальное определение момента инерции маятника Максвелла основано на законе сохранения энергии в механике: полная энергия изолированной консервативной системы - величина постоянная.
Маятник Максвелла (Рис. 1.) представляет собой диск (маховик 1), жестко закреплённый на осевом стержне 2, висящем на двух нитях 3, прикрепленных к опоре 4.
Вращая маятник Максвелла вокруг его оси и тем самым наматывая нити 3 на осевой стержень 2, можно поднять его на некоторую высоту . В этом случае маятник, обладающий массой, будет иметь потенциальную энергию(- ускорение свободного падения).
Рис. 1. Маятник Максвелла. Предоставленный затем самому себе, маятник начнёт раскручиваться, и его потенциальная энергия начнёт переходить в кинетическую энергию поступательного движения и вращательного движения. Таким образом, на основании закона сохранения механической энергии имеем:
, (6)
где - момент инерции маятника относительно его оси вращения;
- высота, на которую опустилась ось маятника;
- скорость спуска оси маятника в тот момент, когда ось опустилась на расстояние ;
- угловая скорость маятника в тот же момент времени.
Из уравнения (6) следует:
(7)
Раскручивание нитей с осевого стержня маятника совершается без их проскальзывания. Поэтому
, (8)
где - радиус осевого сечения стержня;
- диаметр нити.
В тоже время, поскольку маятник опускается с ускорением , не равным(), скоростьна расстоянииот начального верхнего положения можно определить с использованием зависимости:
(9)
Подставим (8) и (9) в (7). Тогда момент инерции равен:
(10)
Учитывая, что ,, окончательно получим:
, (11)
где - диаметр осевого стержня,;
- диаметр нити, ;
- время спуска оси маятника на расстояние ;
- масса маятника;
- ускорение свободного падения.
С другой стороны, теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла можно рассчитать по формуле как сумму моментов инерции составляющих его отдельных элементов:
, (12)
где - масса диска (маховика 1) маятника, включая массу части осевого стержня 2 внутри его;
- масса части осевого стержня вне маховика;
- масса кольца 5;
- радиус осевого стержня, ;
, - внутренний и внешний радиусы кольца,,.