- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
5.3.3.3. Линейное приближение
Решение уравнений (5.41) может быть легко получено в линейном приближении. В этом случае сами уравнения принимают вид
1 т |
= К\Ра2<р1яя - КН2 (*>! - |
рз) = 0; |
(5.55) |
||
1 т |
= К ^ а 2¥з„ - к ь12 (<р2 - |
щ ) = 0, |
|||
|
|||||
а их решения имеют вид плоских волн |
|
|
|
||
|
Ч>\ - ¥oi exp [г (qz - |
го*)]; |
(5.56) |
||
|
¥2 = ¥02 exp [г (qz - |
utf)] |
|
||
|
|
|
|||
Подставляя (5.56) в (5.55), найдем закон дисперсии |
|
||||
(Qi - h w 2) (Q2 - I2w2) - |
K b*l4 = 0, |
(5.57) |
где Qi = K b2a2l2q2 + К Ь12 (г = 1,2); q — волновой вектор; w — частота, ¥oi и ¥02 — амплитуды. Из формулы (5.57) найдем значения квадрата частот w2
wl 2 ( q ) = \ll Q 2 + h Q l+ [ ( h Q 2 - h Q l) 2 ± U l I 2K b\ 2l4^ /2} / 2 h I 2. |
|||
|
|
|
(5.58) |
В «симметричном» случае, когда I\ = I2 = /, К[ = |
= К г> |
||
квадраты частот равны |
|
|
|
w\ = |
K ba2l2q2/1\ w\ = |
{Кьа212Ч2 + 2K bl2) /I. |
(5.59) |
Этот результат |
хорошо коррелирует |
с формулой (4.48), |
полученной |
в предыдущей главе. И мы также можем сделать вывод, что кру
тильные колебания с частотой w\ |
являются акустическими |
(т. е. |
|
limt£;i=0), а колебания с |
частотами |
являются оптическими |
(т. е. |
я - * о |
|
|
|
lim w2 — (2Kbl2/ I ) 1/2 ^ 0 ) |
(рис. 5.5). |
|
|
q—+О |
|
|
|
Такая же картина обнаруживается и в общем («несимметричном») случае. Действительно, если подставить q = 0 в уравнение (5.58), полу чим
w2 (q = 0) = 0; w\ (q = 0) = K bl2(Д + Д) /Д Д . |
(5.60) |
Рис. 5.5. Две ветви крутильных колебаний ДНК, вычисленные в рамках линей ного приближения У-модели
Этот результат говорит о том, что и в общем случае колебательный спектр модели двойного упругого стержня состоит из двух ветвей: аку стической и оптической. Давайте теперь сравним этот результат с ре зультатами расчетов частот крутильных колебаний, полученными в рам ках модели одинарного упругого стержня (см. раздел 4.2). В том слу чае была получена только акустическая ветвь. Таким образом, можно заключить, что появление второй (оптической) ветви в спектре ДНК объясняется двухцепочечным характером У-модели.
5.3.3.4. Первый интеграл
Общее решение модельных уравнений (5.41) пока не найдено. Одна ко, первый интеграл может быть легко получен при помощи следующего алгоритма.
(I)Предположим, что решение уравнений (5.41) имеет вид бегущих волн
Ч>\ = Ч>\ (z - vt) ; ^2 = ¥>2 (z - vt) , |
(5.61) |
где v — скорость этих волн. (II) Подставим (5.61) в (5.41)
Wyip" - К Ь12 [2siny>i - sin (cpi + if2)] = 0;
(5.62)
W 2tp'{ —K bl2 [2siny>2 —sin (tpi + ip2)] = 0.
Здесь
W f = h v 2 - K |a 2/2; <p" = d2ipi/d42-, £ = z - v t \ * = 1,2.
(III) Умножим первое из уравнений (5.62) на у?!, а второе уравнение — на (р2.
(IV) Сложим полученные результаты.
(V)Проинтегрируем полученное уравнение.
Врезультате мы получим первый интеграл в виде
W 2<p'2/ 2 + W 2( p —K bl2 [2cos(/?i + 2 COS<£>2 —cos(tpi + (P2)] = const. (5.63)
Выражение (5.63) можно интерпретировать как закон сохранения энергии.
5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
Чтобы решить уравнения (5.41) при помощи метода Ньютона, пред положим, что их решения имеют вид (5.61), и перепишем соответству ющие уравнения (5.62) следующим образом
d2<fii/dt;2 + |
<*i {2sin<y?i - s in |
(у?, + у?2)} = |
0; |
<12< 2/(Ц? + OL2 {2sinч>2 - sin (<pi + ^ 2)} = |
(К КД) |
||
0, |
|||
где а\ = K bl2/W 2\ с*2 = |
K bl2/W$. Для |
простоты будем предполагать |
|
далее, что ац = а.ч = а. |
|
|
|
Уравнения (5.64) можно легко интерпретировать как уравнения, описывающие крутильные колебания двух связанных нелинейных ма ятников. В рамках такой «механической» модели переменная £ играет роль «времени», а переменные и ^ - роль угловых смещений маят ников из положений равновесия.
Уравнения (5.64) допускают еще одну интерпретацию. Если пере менная £ является «временем», а поля и ^ являются «координатами», то уравнения (5.64) могут рассматриваться как обычный закон Ньюто на, который описывает двумерное движение механической частицы под действием некоторого потенциала V (^ 1,^ 2)-
Действительно, легко переписать уравнения (5.64) в виде уравнения
Ньютона |
|
d2ipi/d£2 = - d V (<pi, (pi) /d(fi\ i = 1,2, |
(5.65) |
с потенциальной функцией V (у?1,у>г). определяемой формулой |
|
V (<pi, ч?2) = 2a(cosy>i +cosy>2) - acos(y?i + <£>2) + С. |
(5.66) |
Здесь С является произвольной константой. Удобно выбрать эту кон станту таким образом, чтобы функция V являлась неположительной и равнялась нулю в точках абсолютного максимума. Тогда потенциал V примет вид
V , р>2) = ^ [1 —cos (ср1± <Р2)] —2а (1 —cos срi ) —2а (1 —cos )
Для корректной постановки «механической» задачи уравнения^ьютона (5.65) должны быть дополнены граничными условиями. Эти усло вия легко найти из требования локализации в пространстве плотности энергии солитонной волны e(z, t). Поскольку мы используем перемен ную £ вместо переменных z и t, это требование можно сформулировать следующим образом: е(£) должно быть ограниченной функцией в неко тором интервале на оси и стремиться к нулю при £ —►±оо. Отсюда следует, что
dcpi/d£-+Q] dpijd^ —» 0; |
(5.68) |
V (<Pl,<p2) О |
(5.69) |
при £ —►±оо.
Обозначая положения максимумов потенциальной функции V((pi,cp2) при помощи пар «координат» {gitn]92,m} и используя условие (5.69), мы
находим, что |
9l,n\ <?2 -> 92,тп |
/с 7Лч |
Ч>1 |
(5.70) |
|
при £ —►± 00. |
|
|
Формулы (5.68) и (5.70) полностью определяют граничные условия для «механической» задачи.
Интегрирование уравнений Ньютона (5.65) с потенциалом (5.67) и граничными условиями (5.68), (5.70) является довольно сложной зада чей. Пока никому не удалось преуспеть в нахождении общих решений. Однако некоторые частные решения вполне можно найти при помощи метода траекторий [268]. Давайте проиллюстрируем этот метод.
Для этого, прежде всего, необходимо смоделировать функцию которая определяет так называемое уравнение траекторий,
<?(<£>!, (р2) = 0. |
(5.71) |
Принимая во внимание вид потенциала (5.67), естественно предпо ложить, что функция G является линейной комбинацией из функций cos</?i и cos <р2. Тогда уравнение (5.71) можно представить в виде
G (<£>i, ) = Acosipi ± В cos <р2 = 0, |
(5.72) |
где A and В — произвольные константы.
Давайте рассмотрим более простой вариант формулы (5.71). А имен но предположим, что А + В —0. Тогда вместо (5.72) получим уравнение
|
cos<pi = cos <£>2, |
(5.73) |
|
откуда найдем два семейства траекторий: |
|
||
= <р2 ±2п; |
п = 0, 1, 2, |
|
|
(2} |
=Ь 2 т; |
т = 0,1, 2,. |
(5-74) |
(^>2 = |
|
Полученные механические траектории показаны на рис. 5.6. Черньн ми кружочками обозначены «координаты» максимумов потенциальной функции V
Предположим теперь, что при £ = —оо аналог механической части цы находится в точке А. Он может продолжить затем движение вдоль одной из четырех траекторий (АВ\, А В 2, АВ% или АВ4), чтобы достичь одну из ближайших соседних точек максимумов при £ = +оо. В то же самое время функции <pi и <£>2будут изменяться от нуля (когда £ = —оо) до 27г и л и —27г (когда £ = +оо). Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что уравнения (5.65) имеют по крайней мере четыре пары кинк-
а•Pi
27Г /
/
/
0 е
<Р1
2тг /------
/
0 е
СЧ>1
\0
\
—27Г \____
<Р2
А 0 £
\
—2тг \____
Рис. 5.7 Солитоноподобные решения, соответствующие траекториям (a) ABi,
( b ) А-В2, ( с ) АВз и ( d ) АВа
(антикинк-) подобных решений. Они показаны на рис. 5.7 Сплошные линии показывают ассимптотическое поведение решений при £ —>±оо. Поведение этих решений в окрестности точки £ = 0 показано достаточно условно пунктирными линиями. Точное решение в окрестности нулевой точки может быть найдено из уравнений (5.64), дополненными одним из двух условий: — ф2 или <pi = —ip2. В первом случае уравнения (5.64) преобразуются в двойное синус-уравнение Гордона
d/?(p/d£2 + 2а sin ip —a sin 2 = 0; (f\ = cp2 = ip. |
(5.75) |
Во втором случае уравнения (5.64) преобразуются в обычное синус