Сопротивление материалов

Qp = γpVp = γp (2πR δ H + πR2 δ) = γpπR δ(2H + R) = = 20 3,14 4,5(40 +0,6) =11473,6 H,

Вес резервуара от веса жидкости составляет 7,3 % – следовательно, весом резервуара в уравнении равновесия можно пренебречь.

Пример 2

Определить толщину оболочки, указанной на рис. 15.5, заполненной агрессивной жидкостью R = 5 м, Н= 5 м, γж = 9 кН/м3, γр = 20,5 кН/м3, [σ] = 20 МПа. При расчете применить 4-ю теорию прочности.

1. Определить меридиональные и окружные напряжения. Для заданной оболочки рассматриваем два участка – ко-

нусную часть и цилиндрическую. Проведем сечение на конусной части, отбросив верхнюю (рис. 15.6).

Рис. 15.5. Рис. 15.6.

σm + σt = p , ρm = ∞.

ρm ρt δ

Зависимость для напряжения σt в соответствии с последней формулой – параболическая. В связи с этим проверяем σt на экстремальное значение.

ddσzt = 0, 1,4H −2z = 0, z = 0,7H.

Определим напряжения в различных точках конусной части резервуара.

Запишем уравнение равновесия для отсеченной части.

σm 2πRzδ cos α− pπRz2 −Qж = 0, где p =γ(1, 4H − z) ,

а Qж = 13 γπRz2 H ,

тогда σm = γz(5, 2H −3z)tg α.

Зависимость для напряжения также представляет собой параболу второго порядка. Проверим на экстремум.

ddσzm = 0, 5, 2H −6z = 0, z = 0,867H.

322

тогда

σm =1130γRHδ = 82500δ Па = const.

Построим эпюры напряжений (рис. 15.8).

323

2. Наиболее напряженными точками могут быть точки А или В.

3. Определим эквивалентные напряжения по 4-й теории прочности точках А и В.

В точке А

Рис. 15.8.

Следовательно, наиболее опасной точкой будет точка В.

324

С учетом технологии изготовления и коррозионной среды принимаем δ = 0,87 + 2 =11 мм. Таким образом, толщина обо-

лочки принята равной 11 мм. Для определения веса резервуара необходимо найти боковую поверхность оболочки S. Тогда вес резервуара Qрез = γрез S δ.

Вопросы для самопроверки

1.Какие оболочки называются осесимметричными?

2.В чем смысл безмоментной теории осесимметричных оболочек?

3.Что связывает уравнение Лапласа?

4.Какое дополнительное уравнение можно записать для определения меридиональных напряжений?

5.Какое напряженное состояние в осесимметричных оболочках?

Для лучшего усвоения материала рекомендуется изучить источник [1] (гл. 9, § 64–5); [2] (гл. 11, § 35–36).

Контрольная работа № 15

Расчет на прочность осесимметричной оболочки по безмоментной теории

Определить толщину оболочки по 4-й теории прочности, используя безмоментную теорию осесимметричных оболочек

(рис. 15.9, табл. 15.1).

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычертить в масштабе схему заданной оболочки с указанием геометрических параметров, плотности заполненной жидкости (давление газа), плотности резервуара и допускаемого напряжения.

2.Используя уравнение Лапласа и уравнение равновесия, определить меридиональные и окружные напряжения по высоте оболочки. В случае необходимости проверить на экстремум.

3.Построить эпюру меридиональных и окружных напряжений по высоте оболочки.

325

Рис. 15.9.

4. Присвоить меридиональным и окружным напряжениям индексы главных напряжений. Определить опасное сечение, используя 4-ю теорию прочности.

326

5. Вычислить, применив 4-ю теорию прочности, необходимую

δ

толщину оболочки. Скорректировать найденную толщину ,

η

гдеη= 0,8, сучетомтехнологическихикоррозионныхфакторов. 6. Датьоценкувесарезервуарапоотношениюквесужидкости.

Таблица 15.1

ГЛАВА 16. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

16.1.Основные понятия

Всовременной технике имеется ряд задач, в которых вопрос о прочности не может быть удовлетворительно решен без учета закона движения рассчитываемой конструкции. Возникающие при этом силы инерции, удары, вибрации играют весьма существенную роль.

Такие нагрузки, а также вызванные ими напряжения и деформации называются динамическими. В случае динамической нагрузки любой элемент конструкции в каждый момент времени

327

можно рассматривать как находящийся в состоянии равновесия под действием внешних сил, характеризующих действие соседних элементов, и сил инерции, как известно из принципа Д’Аламбера.

В некоторых случаях динамическую обобщенную силу Fд можно представить в следующем виде:

Fд = Fст Kд.

Под Fст подразумевается обобщенная сила, возникающая при статическом нагружении. Kд – динамический коэффициент. Определив динамическую силу, можно вычислить динамическое напряжение и динамическую деформацию для соответствующего вида нагружения.

Найденное значение динамического напряжения сравнивается с допускаемым напряжением, полученным для материала на основании статических экспериментальных исследований.

16.2. Влияние сил инерции

Стержень, движущийся по направлению своей продольной оси

Стержень АВ (рис. 16.1) поднимается вверх силой, приложенной к концу А. При равномерном движении на каждый элемент стержня будет действовать только сила тяжести с наибольшим значением ql в сечении А. При равномерно ускоренном движении с ускорением а на каждый элемент длиной dz, кроме его веса qdz, будут действовать силы инерции, имеющие в данном случае то же направление, что и сила тяжести. Для определения величины сил инерции, действующих на элемент, нужно массу

элемента q dgz помножить на ускорение а.

328

Наибольшее усилие будет в сечении А.

Если qст l обозначить через Fст, то

Из выражения (15.3) следует, что

При опускании стержня сила инерции и сила тяжести имеют разный знак, следовательно,

Если бы к нижнему концу стержня был подвешен груз Q, то для растягиваемого усилия в сечении А выражение для динамической силы имело бы вид

Вращающийся стержень

Вращающийся стержень представлен на рис. 16.2. При вращательном движении элементов конструкций инерционные силы обычно значительно превосходят статическую составляющую в формуле (16.3). В связи с этим можно принять правомерным соотношение

Fд ≈ Fин.

329