Сопротивление материалов

Если увеличивать длину стойки, сохраняя неизменным геометрические размеры его поперечного сечения, то опасность продольного изгиба быстро возрастает. Так, при увеличении длины в три раза критическое напряжение уменьшается в девять раз, т.е. стержень теряет устойчивость при очень низком значении напряжений.

Как указывалось выше, формула Эйлера применима лишь

втом случае, если критическое напряжение не превосходит предел пропорциональности материала. Это следует из того, что

воснову вывода формулы положено дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука.

Учитывая, что границей применимости формулы Эйлера

является тот случай, когда σкр ≤ σпц, можно записать:

π2 E ≤

λ2 σпц,

где σпц – предел пропорциональности материала. Решая это уравнение относительно λ, получим:

Правая часть формулы (14.18) представляет собой наименьшее значение гибкости стержня, при котором формула Эйлера еще применима – это так называемая предельная гибкость λпред:

Предельная гибкость зависит только от физико-механи- ческих свойств материала стержня, его модуля упругости и предела пропорциональности.

Условие применимости формулы Эйлера с учетом выражения (14.18) можно записать в следующем виде:

291

Следовательно, формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня применима при условии, что гибкость больше предельной.

Для стали Ст3 Е = 2·105 МПа, σпц ≈ 200 МПа, тогда

Для сталей с повышенным значением σпц предельная гиб-

кость уменьшается. Для некоторых марок легированных сталей λпред ≈60…70, для сосны, ели λпред ≈ 70 , для чугуна λпред ≈80, для дюралюминия λпред ≈60…80.

При гибкости стержня, меньшей предельной, критическое напряжение, если его определять по формуле Эйлера, получается выше предела пропорциональности σпц. При гибкости λ = 60

по формуле

т.е. величина σкр значительно больше не только предела про-

порциональности, но также предела текучести и временного сопротивления разрыва (предела прочности).

Такое различие связано с тем, что для определения критического напряжения по формуле (14.16) предполагается постоянным угловой коэффициент схематизированной диаграммы испытания материала. Для действительной же диаграммы угло-

вой коэффициент ddσε зависит от напряжения и может рассмат-

риваться как текущий, переменный модуль упругости. Этот мгновенный модуль должен учитываться в выражении для эйлеровой критической силы. Из этого следует, что реальная крити-

292

ческая сила будет отличаться от той, которую дает схематизированная линейная диаграмма соответственно в том отношении, в каком мгновенный модуль Е* отличается от модуля Е. Мгновенный модуль Е* всегда меньше Е.

Действительные критические силы и критические напряжения для стержней, гибкость которых ниже предельной, значительно меньше величин, определяемых по формуле Эйлера. Для таких стержней критическое напряжение определяется по эмпирическим формулам. Наиболее широкое распространение получили эмпирические формулы Тетмайера – Ясинского, в основу которых положен линейный закон изменения критических напряжений в следующем виде:

Коэффициенты а и b определяются на основании экспериментальных данных. Для стали Ст. 3 при гибкости λ < 100

σкр =310...1,14λ МПа.

Для чугуна пользуются параболической зависимостью

где с = 0,53.

При некотором значении гибкости (λ0) величина σкр, вы-

численная по формулам (14.20) и (14.21), становится равной предельному напряжению при сжатии, т.е.

Стержни, у которых λ < λ0, называют стержнями малой гибкости, т.е. их рассчитывают только на прочность.

На рис. 14.7 изображен график критических напряжений для Ст. 3.

293

График критических и допускаемых напряжений

Рис. 14.7.

Он состоит из трех частей: гиперболы Эйлера, определяемой по формуле (14.16) для стержней большой гибкости ( λ ≥100 ), наклонной прямой линии, построенной по формуле (14.20) для стержней средней гибкости ( 40 ≤ λ ≤100 ) и прямой параллельной оси λ при малых гибкостях оси (λ < 40), где опасным является достижение критическим напряжением предела текучести, σкр = σт ((14.22), (14.23)).

Из приведенного графика видно, что при λ < 100 формула Эйлера дает завышенное значение критических напряжений (пунктирное продолжение гиперболы Эйлера), и, следовательно, потеря устойчивости произойдет при меньшей нагрузке и меньших критических напряжениях, чем это следует из формулы Эйлера. Аналогичные графики могут быть построены и для других материалов, которые по характеру будут соответствовать вышеприведенному и отличаться от него только числовыми значениями. Задаваясь коэффициентом запаса для стержней средней и большой гибкости, который принимают обычно для металлов [n]y =2…3, для дерева – [n]y =3…4, можно постро-

294

ить график допускаемых напряжений (см. рис. 14.7). Этим коэффициентом запаса учитывается, кроме чистого продольного изгиба, еще целый ряд побочных факторов: возможный небольшой эксцентриситет приложения нагрузки, небольшое начальное искривление стержня, неоднородность материала и т.д.

Пример 1

Определить запас устойчивости для стального стержня (Ст. 3) круглого поперечного сечения диаметром d = 32 мм, шарнирно закрепленного концами, длиной l =0,5 м, сжимаемо-

го силой F =50 кН.

Решение

Гибкость оказалась меньше 100, но больше 40, следовательно, стержень относится к разряду средней гибкости.

2. Определяем критическое напряжение по формуле Ясинского – Тетмайера:

σкр =310 −1,14 62,5 = 238,5 МПа,

коэффициенты а и b определяем из справочных таблиц. 3. Определяем действующее напряжение:

[n]y = σσкр = 238,562,2 = 3,83 .

295

Проектировочный расчет, связанный с подбором сечений, – это процесс более трудоемкий. Задача решается методом последовательных приближений.

Пример 2

Подобрать прямоугольное сечение с отношением сторон bh = 2 для стержня с жестко закрепленным одним концом и шар-

нирно опертым другим. Коэффициент запаса [n]у = 2, длина стержня l = 2 . Стержень центрально сжимается силой F = 200 кН. Материал Ст. 3, σт = 240 МПа.

Решение

1. Определяем площадь поперечного сечения:

Стержень относится к разряду стержней большой гибкости. 3. Проверяем правильность выбора сечения по уровню 5%-го

отклонения от заданного запаса устойчивости.

критическое напряжение находим по формуле Эйлера.

296

Проверка показывает, что стержень перегружен более чем на 5 %, что недопустимо.

Следовательно, проводим второе приближение. Принимаем b = 3,8 см,

0,95 [σкр] = 57,8 МПа; n y

1,05 [σкр] = 63,88 МПа; n y

F = 200 103 =

A 2 3,82 69, 25 МПа;

FA > 63,8 МПа;

FA = 63,8 МПа < 63,88 МПа.

Подобранное сечение удовлетворяет условию устойчивости.

297

14.5. Практические методы расчета на продольный изгиб

В предыдущем разделе указывалось, что расчет на устойчивость в зависимости от гибкости проводится по трем различным формулам. Такой подход весьма нежелателен, так как является возможным источником некоторых ошибок.

Анализируя формулы критических напряжений для стержней средней и большой гибкости, можно сделать вывод, что центрально сжатые стержни теряют свою несущую способность из-за потери устойчивости раньше, чем из-за потери прочности, так как критическое напряжение всегда меньше предела прочности:

σкр < σоп,

где σоп = σт − для пластичных материалов; σоп = σв − для хрупких материалов, где σв – предел прочности.

Для стержней малой гибкости несущая способность стержней определяется прочностью материала:

σ = FA ≤[σ],

где [σ] = σ[nоп] ; [n] – запас прочности.

При продольном изгибе условие устойчивости, как было рассмотрено выше, записывается в виде

F ≤ Fкр .

[n]y

Поделив левую и правую части неравенства на площадь поперечного сечения A, получим

Меньшие значения [n]у принимают при большей гибкости.

Принимая σкр = [σy], получим формулу

[n]y

298

Допускаемое напряжение при расчете на устойчивость можно сопоставить с допускаемым напряжением при расчете на простое сжатие [σсж]:

Здесь ϕ – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при продольном изгибе по сравнению с допускаемым напряжением при простом сжатии.

В этой формуле величины [n], [n]у и σоп постоянны для каждой конкретной задачи, а величина σкр зависит от гибкости стержня. Отсюда следует, что коэффициент ϕ всегда меньше единицы, зависит, в первую очередь, от гибкости стержня (геометрического фактора) и от механических свойств материала (σпч, кривая устойчивости):

Коэффициент ϕ в зависимости от гибкости λ может быть вычислен для разных материалов и представлен в виде табл. 14.1.

Окончание табл. 13.1

При расчете на устойчивость вводится полная площадь Абр поперечного сечения, местные ослабления сечения практически не изменяют величину критической силы.

300