Сопротивление материалов

14.6. Расчет на продольный изгиб по методу предельного состояния

При расчете на продольный изгиб по методу предельных состояний сохраняются те же значения коэффициентов ϕ, что и при расчете по допускаемым напряжениям, но в данном случае на этот коэффициент умножают не допускаемое напряжение, а расчетное сопротивление R. Тогда расчетная формула принимает вид

где N – расчетное усилие в сжатом стержне, стойке или колонне; m – коэффициент условий работы; ϕ – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при расчете на прочность; R – расчетное сопротивление при простом сжатии; Абр – площадь

поперечного сечения (брутто).

Расчеты на продольный изгиб по коэффициенту ϕ делятся на три основные группы:

1.Известны длина стержня, его поперечное сечение (размеры и форма), условие закрепления концов и допускаемое напряжение на сжатие. Необходимо определить допускаемую силу.

2.Заданы размеры и форма сечения стержня (стойки), задана сила F, допускаемое напряжение для материала. Необходимо проверить на устойчивость.

3.Заданы длина стержня, условия закрепления концов, допускаемое напряжение на сжатие и величина сжимающей силы. Следует определить сечение стойки.

14.7.Проверочный расчет на устойчивость

1.Учитывая размеры и форму сечения, определяют наименьший осевой момент инерции, площадь Абр, минимальный

301

2. По таблице находят коэффициент ϕ и вычисляют допускаемое напряжение на устойчивость по формуле [σ]у = ϕ[σ]сж .

2.По таблицам, применяя линейную интерполяцию, определяют коэффициент ϕ для найденного значения гибкости.

3.Определяется допускаемое напряжение на устойчивость

[σ]y = ϕ[σ]сж .

4.Определяется допускаемая сила Fдоп =[σ]y Aбр .

Проектировочный расчет

Анализ расчетной формулы на устойчивость

указывает на то, что в формуле имеются две неизвестные: ϕ и Aбр.

Они связанны между собой, однако зависимость между ними не выражается простой формулой. Исключить одну из этих величин и заменить ее на другую невозможно. В связи с этим подбор сечений сжатых стержней приходится проводить методом последовательных приближений. Сущность этого метода заключается

вследующем.

Вначале расчета задаются значением коэффициента ϕ, которое принимают обычно равным ϕ1 = 0,5. По принятому значе-

нию определяют требуемую площадь Aбр и затем подбирают

302

само сечение. После того как сечение подобрано, вычисляется

отличается от принятой в начале расчета, то необходимо сделать второе приближение, приняв среднее значение между ϕ и ϕ1′ –

и затем снова повторить все вычисления, в результате чего получим величину ϕ′2 . Разница между ϕ2 и ϕ′2 уменьшается, но

если она будет все же достаточно велика (более 5 %), то проводится следующее приближение:

ϕ3 = ϕ2 +2ϕ′2

и т.д. Обычно при подборе требуется не более двух-трех приближений.

14.8. Выбор материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней

В случае стержней большой гибкости, когда критические напряжения не превышают предела пропорциональности материала, модуль упругости Е является единственной механической характеристикой, от которой зависит сопротивляемость стержня потере устойчивости, и тогда становится явной нецелесообразность применения сталей повышенной прочности, так как модуль упругости для различных сталей практически одинаков.

Для стержней с малой и средней гибкостью применение высокопрочных сталей целесообразно, так как в этом случае повышение предела текучести стали приводит и к повышению критического напряжения, а следовательно, и повышению запаса прочности.

С точки зрения экономии материала наиболее рациональна такая форма поперечного сечения стержня, при которой величи-

303

на наименьшего радиуса инерции imin при определенной площади будет величиной наибольшей:

где jmin – удельный радиус инерции.

Наиболее рациональными будут трубчатые и коробчатые тонкостенные сечения. При проектировании трубчатых и коробчатых сечений необходимо предусматривать ребра жесткости на определенных расстояниях по длине стержня. Ребра жесткости препятствуют появлению местных деформаций (короблений) стенок. Как показывает анализ формулы (14.34), наименее рациональным сечением является прямоугольное.

При проектировании сжатых стержней на устойчивость необходимо стремиться к тому, чтобы они были равноустойчивы во всех направлениях, т.е. главные моменты инерции были по возможности одинаковы.

Если приведенные длины в главных плоскостях различаются, то и главные моменты инерции также следует проектировать разными с той целью, чтобы величины гибкости стержня в обеих главных плоскостях были одинаковыми или близкими по значению. В случае, если это не представляется возможным, то расчет следует вести по максимальной гибкости.

14.9.Расчет составных стержней на устойчивость

Винженерной практике при проектировании строительных конструкций приходится иметь дело со стержнями, работающими на сжатие, которые для восприятия больших нагрузок изготавливаются из нескольких отдельных профилей, соединенных между собой посредством заклепок или сваркой.

На рис. 14.8 изображены два варианта подобного составного стержня. Весь стержень разбит на панели, длины которых

равны l1 , называемые обычно длиной одной панели. Продоль-

ные элементы называют ветвями составного стержня. Соединительные элементы на рис. 14.8, а обычно называют по-

перечными планками, а соединительные элементы на рис. 14.8, б –

304

соединительной решеткой, состоящей из диагоналей и распорок. Составной стержень (рис. 14.8, в) состоит из двух двутавров, расстояние между осевыми линиями которых равно а.

Рис. 14.8.

Некоторое время при расчете таких стержней на устойчивость вычисления проводились, как для целого стержня (из одного элемента), главные центральные моменты инерции которого вычислялись по формулам:

Здесь Jx1, Jy1, А1 – геометрические характеристики одной ветви сечения относительно собственных главных центральных

осей x1, y1.

Однако это не соответствует действительности, что подтверждается некоторыми крупными авариями, вызванными потерей устойчивости составных стержней. При исследовании этого вопроса было установлено, что гибкость составного стержня относительно оси x, которая является и центральной осью для отдельной ветви стержня, соответствует теоретически вычисленной по формуле (14.24), так как она не зависит от со-

305

единительных элементов. Гибкость же относительно оси y оказывается в действительности большей, чем получается по формуле (14.15), которая может быть записана в следующем виде:

A

Повышение гибкости стержня, приводящее к резкому снижению критической нагрузки, вызвано упругостью элементов соединительной решетки, вследствие которой отдельные ветви стержня оказываются скрепленными между собой не абсолютно жестко. Решение этой задачи рассмотрено С.Н. Тимошенко.

Ниже приводятся без доказательств окончательные формулы, полученные им для расчета подобных стержней. С.Н. Тимошенко предложено ввести дополнительный коэффициент приведения длины µдоп. Для соединительной решетки из диагоналей и распорок

где J – момент инерции составного сечения относительно оси y, вычисленный по формуле (14.34); Ад – суммарное сечение диагоналей; Ар – суммарное сечение распорок, приходящихся на одну панель составного стержня.

Если продольные ветви соединяются поперечными планками, то

где Jп – момент инерции сечения отдельной планки относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости планки относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости

306

планки; J1 – момент инерции полусечения относительно оси у1; J – момент инерции, что и в предыдущем случае.

Н.М. Беляев предложил формулы приближенные. Для схемы на рис. 14.8, а

где A1 − площадь одной ветви (одной половины) стержня; λ − но-

минальная гибкость всего стержня относительно оси, перпендикулярной к плоскости решетки или планок, определяющихся по формуле (14.36); λ1 – гибкость отдельной ветви на длине одной панели:

λ1 = l1J1 .

A1

Величина λ1 должна удовлетворять неравенству λ1 ≤ λ. Коэффициент µдоп, вычисляемый по приведенным форму-

лам, вводится в формулу расчетной гибкости составного стержня:

A

Если в равенство (14.39) подставить значение (14.38) и учесть, что в данном случае

то получится так называемая формула Энгессера

307

которая очень удобна для приближенных расчетов составных стержней на устойчивость.

14.10. Пример расчета на устойчивость составных стержней

Необходимо подобрать размеры поперечного сечения и установить необходимое число панелей для стального составного стержня с шарнирно закрепленными концами, несущего нагрузку F = 1000 кН при длине l = 6 м и допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа. Сечение ветвей – двутавры (см. рис. 14.8), соединительные элементы – поперечные планки.

Решение

Поскольку запас на устойчивость не задан, а дано только допускаемое напряжение, задачу решаем с помощью коэффициента снижения допустимого напряжения ϕ. Принимая в первом приближении ϕ1 = 0,5, определяем

По сортаменту выбираем двутавр № 36, для которого А1 =

= 61,9 см2, Jx1 = 13380 см4, ix1 = 14,7 см.

Гибкость относительно оси х для составного стержня

где по условию задачи µx = µy = 1.

Тогда λ′x =14,2600 = 40,8.

По табл. 14.1 определяем ϕ1, принимая линейное интерполирование:

308

ϕ = − 0,920 −0,890 = 1 0,92 0,8 0,918.

10

Допускаемое напряжение

ϕ1′[σ]=147 МПа,

действительное напряжение

и берем по сортаменту двутавр № 27а, для которого

A1 = 43,2 см2, ix1 = 11,3 см,

допускаемое напряжение

ϕ′2 [σ] = 141 МПа,

действительное напряжение

309

Третье приближение

ϕ3 = ϕ2 +2 ϕ′2 = 0,795,

Принимаем по сортаменту двутавр № 24а, для которого

A1 = 37,5 см2, ix1 = 10,1 см.

Гибкость

λ′′′x =10,1600 =59, 4,

далее

ϕ′3 = 0,862,

допускаемое напряжение

ϕ1′ [σ] = 137,9 МПа,

действительное напряжение

Погрешность составляет

137,9 −133,3 100 % = 3,4.

133,3

Останавливаемся на этом профиле и выписываем для него необходимые данные:

A1 = 37,5 см2, iy1 = 2,63 см, J y1 = 260 см4, Jx1 = 3800 см4, ix1 = 10,1 см.

310