Сопротивление материалов

Определение необходимого числа панелей

Принимаем расчетную гибкость составного стержня относительно оси у, равной гибкости относительно оси х (условие равноустойчивости), а гибкость отдельной ветви λ1 – равной гибкости λу. Тогда, в соответствии с формулой (14.41), опреде-

лим (λу)расч:

Число панелей n должно быть целым. Поэтому принимаем n = 6, уточняем длину между панелями:

l1 = nl = 6006 =100 см.

Действительная гибкость отдельной ветви относительно оси у1:

Следовательно, необходимую номинальную гибкость составного стержня относительно оси у найдем из уравнения

откуда

311

Принимаем с некоторым запасом λу = 44 и находим необходимое расстояние между двутаврами а (см. рис. 14.8):

Подставляя известные величины, вычисляем a:

Принимаем а = 27 см.

312

Вопросы для самопроверки

1.В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?

2.Что называется критической силой и критическим напряжением?

3.Что называется гибкостью стержня?

4.Как влияет жесткость EJ поперечного сечения и длина стержня на величину критической силы?

5.Какой момент инерции обычно входит в формулу Эйлера? Возможны ли здесь исключения?

6.Как влияют условия закрепления на эйлеровскую критическую силу?

7.Что называется предельной гибкостью?

8.Какой вид имеет формула Ясинского для определения критических напряжений, и при каких гибкостях она применяется для стержней из стали Ст. 3?

9.Что представляет собой коэффициент ϕ, как определяется его значение?

10.Как проводится проверка стержней на устойчивость с его помощью?

11.Как подбирается сечение стержня при расчете на устойчивость?

Контрольная работа № 14

Расчет на устойчивость центрально сжатого стержня

Подобрать сечение центрально сжатого стержня из условий устойчивости и прочности.

Схема закрепления стержня и форма поперечного сечения приведены на рис. 14.9, длина и нагрузка – в табл. 14.2.

Окончание табл. 14.2

Рис. 14.9.

314

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычертить заданную схему стержня и его сечение с указанием главных центральных осей.

2.Подобрать сечение из условия устойчивости методом последовательных приближений с помощью коэффициента продольного изгиба.

3.Проверить прочность подобранного сечения, если ослабление сечения заклепками составляет 12 %.

4.Рассчитать длину панели lп (для схем 1–3, 7–10) из условия равноустойчивости ветви и всей стойки в целом. Схему обрешетки стержня принять по рис. 13.8, б.

5.Рассчитать расстояние между стержнями а из условия равноустойчивости во всех плоскостях.

6.Определить фактический коэффициент запаса устойчивости подобранного стержня.

ГЛАВА 15. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ТОНКОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

15.1. Основные понятия

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка,

имеющая форму тела вращения, толщина стенки которой весьма мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности.

К таким оболочкам могут быть отнесены цистерны, водонапорные резервуары, воздушные и газовые баллоны, купола зданий, аппараты химического машиностроения, части корпусов ракет и реактивных двигателей.

Радиусы кривизны оболочки указываются до срединной поверхности. Срединная поверхность – это геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки.

Задача о расчете оболочек вращения проще всего решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине, и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная на этом предположении, называется безмоментной теорией оболо-

315

чек. Если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами, то к ее расчету может применяться безмоментная теория.

15.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по безмоментной теории

Если из оболочки выделить элемент двумя парами бесконечно близких меридиональных и нормальных конических сечений, то в нем можно указать действующие по граням напряжения σm и σt. Первое напряжение называют меридиональным. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение σt называют окружным напряжением.

Связь этих напряжений, а также внутреннего давления (давление жидкости или газа) с геометрическими параметрами оболочки определяется соотношением, называемым уравнением Лапласа.

где σm – напряжение в меридиональном направлении; σt – напряжение в окружном направлении; р – давление жидкости или газа; ρm – радиус кривизны оболочки в меридиональном направлении; ρt – радиус кривизны оболочки в окружном направлении; δ – толщина оболочки.

Поскольку в уравнении Лапласа две неизвестные величины – σm и σt, в общем случае необходимо получить еще одно уравнение. Второе уравнение, содержащее лишь меридиональное напряжение σm, получим, рассматривая равновесие конечной части резервуара. В данном случае проектируем все силы на ось симметрии:

316

где Qж – вес жидкости (сыпучего вещества), заключенный в объеме ниже (выше) рассматриваемого сечения; Qр – вес резервуара в объеме ниже (выше) рассматриваемого сечения; R – радиус резервуара.

Третье напряжение – напряжение надавливания между слоями оболочки – предполагается малым, и ввиду этого напряженное состояние оболочки считается двухосным. Наибольшее радиальное напряжение по абсолютной величине равно нормальному давлению р, в то время как σm и σt в соответствии

с уравнением Лапласа имеют величину порядка pρδm или pδρt .

Для решения практических задач по безмоментной теории запишем следствия, вытекающие из двух теорем, которые приводятся без доказательства.

Теорема 1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то независимо от формы поверхности проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления р и площади проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную заданной оси.

Теорема 2. Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости вобъеме, расположенном надповерхностью.

15.3.Методика расчета на прочность (проектировочный расчет)

1.Для заданной оболочки по соответствующим зависимостям определить меридиональные и окружные напряжения. Построить эпюры напряжений.

2.Меридиональным и окружным напряжениям присвоить индексы главных напряжений, определить опасное сечение по высоте оболочки, применив 4-ю теорию прочности.

3.Используя соответствующую теорию прочности, определить из условия прочности допустимую толщину оболочки, которая должна быть увеличена на 1–3 мм в случае коррозионной среды. Расчетная толщина увеличивается и в связи с тем, что

вбольшинстве случаев стенки резервуаров склепывают или сваривают из отдельных листов. В местах соединений листов (швах) имеет место ослабление прочности стенки.

4.Датьоценкувесарезервуарапоотношениюквесужидкости.

317

318

Запишем уравнение равновесия для отсеченной части оболочки, не принимая во внимание вес оболочки, который обычно составляетнезначительнуювеличинупоотношениюквесу жидкости.

σm 2πR δ− pπR2 −Qж = 0, Qж = γπR2 z,

σm 2πR δ−γ(H − z)πR2 − γπR2 z = 0,

σm = γ2HRδ = const.

Эпюры напряжений приведены на рис. 15.3, а;

Рис. 15.3.

б) для оболочки, изображенной на рис. 15.1, б, рассмотрим равновесие части оболочки выше

2R сечения n-n (рис. 15.4).

Qж = γπR2 z;

σm 2πR δ−γπR2z +γπR2z =0,

σm = 0.

Эпюры напряжений приведены на рис. 15.3, б. 2. Присвоим индексы главных напряжений:

опасным сечением является сечение В; б) напряженноесостояниелинейное. ОпасноесечениевточкеВ.

σ= γHRδ .

3.Определим толщину оболочки по 4-й теории прочности. Вариант а:

Принимаем жидкость неагрессивной, коэффициент качест-

ва шва – равным 0,8. Тогда для варианта а δ = 3,0,86 = 4,5 мм, для

варианта б δ = 4,0,82 =5,25 мм.

4. Дадим оценку отношения веса резервуара к весу жидкости для оболочки варианта а (см. рис. 15.1, а).

320