1. Предварительные результаты

В этом разделе доказаны некоторые необходимые вспомогательные результаты.

Лемма 1.1. Пусть является частичной геометрией. Тогдаи выполняются следующие утверждения:

(1) точечный граф является сильно регулярным с,

, и содержитпрямых;

(2) делит(условие целочисленности);

(3) (s+1−2α)t ≤(s−1)(s+1−α)2 (условие Крейна);

(4) если содержит подгеометрию, тоили.

Лемма 1.2. Пусть является -однородной геометрией. Тогда точечный графявляется реберно регулярным с. Кроме того,делит, и в случаечислочетно.

Пусть далее иявляется антифлагом с. По структуре вычетадляточкалежит напрямых в, пересекающих, так чтосодержит единственную точкутакую, что тройкане лежит ни в одном из блоков множества. Ясно, что, поэтому числочетно.

Лемма 1.3. Пусть - сильно -однородная геометрия, где. Тогда точечный графявляется псевдогеометрическим дляи имеет собственные значения.

Лемма 1.4. 3-однородное расширение частичной геометрии не существует.

Доказательство. Пусть является точечным графом 3-однородной геометрии. Тогдасильно регулярен с параметрамиТак как эта геометрия треугольная, то подграфявляется треугольным графом Tдля любого. Значит, окрестности вершин в каждом-подграфе графаявляются четырехугольниками, что противоречит равенству. Лемма доказана.

2. Случай

Предположим, что есть - однородное расширение частичной геометрии порядка, т. е.. Пустьявляется дополнением к графу

Лемма 2.1. Допустим, что геометрия сильно -однородна. Тогда либои-квадратнаярешетка, либоиявляется треугольным графом, где.

Доказательство. По лемме 1.3 граф имеет собственное значение, и по теореме Зейделя графявляется одним из следующих графов: решетка или треугольный граф, полный многодольный граф, граф Петерсена, Шрикханде, Чанга, Клебша или Шлефли. Заметим,и

, поэтому графы исключаются.

Так как граф Петерсена имеет параметры , то, противоречие с тем, что. В случае графа Клебша графимеет параметры (противоречие с тем, что.

В случае графа Шлефли граф имеет параметрыи, поэтому, снова противоречие с тем, что.

Пусть имеет параметры решетки. Тогда. Заметим, что граф Шрикханде имеет параметры решетки при. Но существует единственное расширение обобщенного четырехугольникас, и его точечный граф является дополнением к-решетке.

Пусть, наконец, имеет параметрытреугольного графа. Тогда. По условию Крейна дляимеем. Будем считать, что. Но тогда,и графы Чангане возникают.

Лемма 2.2. Пусть является -однородной геометриейсиделит. Тогда.

Доказательство. Положим . В случаеимеем, и заключение леммы выполняется.

По лемме 1.1 число делится на. Далее, числаивзаимно просты, поэтомуделит. Наконец,делитиделит.

Пусть . Тогдаи, так что, противоречие. Если, то, поэтомуи.

Поскольку , тои по условию целочисленности длячислоделит. Значит,, что противоречит условию леммы.

Лемма 2.3. Пусть является -однородной геометрией. Тогда либо, либоявляется сильно регулярным графом си- геометрия вершин и клик графа , соответствующихдля, либосильно однородна.

Доказательство. Допустим, что - контрпример к этой лемме с минимально возможным. Имеем, так что. Диаметр графаограничен величиной, значит,.

По выбору в ней найдутся точкина расстоянии 2 такие, чтосодержит блоки двух типов: блокис(-блоки) и блокис(-блоки).

Пусть есть геометрия с точечным множествоми множеством блоков. Тогда каждый блок из, содержащий две точкиимножества, является-блоком. Таким образом, геометриясильно -однородна. Следовательно, либоесть геометрия точек единственного-блока, либоесть геометриядля некоторого.

В первом случае число точек в равно. Далее, каждый блок множества, содержащий точку из, содержит единственную точку из, поскольку. Так что число ребер между точками множествиравно. Однако каждая точка геометриилежит вблоках из, содержащих поs точек множества , поэтому то же число ребер равно. Значит,(и этот случай не возникает в расширенном четырехугольнике).

В случае имеетсяребер между точками геометриии, поэтому.

Допустим, что выполняется первый случай. Тогда . Пусть дляточеккаждый блок множестваявляется -блоком, и дляточеквсе точки множествалежат в единственном-блоке. Тогда число ребер между точками множествиравно

Если , то по целочисленности числа точек в множествахичислоделити, поэтому. Далее,иделит. Так каквзаимно просты, тоделит. Если, то, если же, тои. Поэтому, противоречие.

Итак, , графразбивается на-блоки иЗначит,,, поэтому графсильно регулярен с, иявляется геометрией вершин и клик графа, соответствующихдля. Но это противоречит выбору.

Таким образом, мы доказали, что для любой точки

(1) каждый блок из является -блоком или

(2) содержит подгеометриюс точечным множествоми множеством блоков, причем.

Пусть - множество точек графа, удовлетворяющее утверждению. Заметим, что еслии точкалежит в-блокеиз, то. Следовательно,разбивается на-однородные подгеометрии. По индукции мы заключаем, что либо, либо эти подгеометрии сильно однородны, и по лемме 2.1 имеем.

Как и выше, у нас имеется равенство для количества ребер между точками множеств и:

В первом случае имеем, поэтомуделит. Если, что абсурдно. Значит,. Так какразбивается на подгеометрии, тоделит, поэтомуделит 4 и. Противоречие с тем, чтоне делит.

Предположим теперь, что . Тогдаt и по утверждению (2) леммы 1.1 число делитs, поэтому делит. Далее,делит, поэтомуделит. Положим. Тогдаделит.

Если , то из равенстваследует, что, что противоречиво. Значит,иравенствопринимает вид:. Отсюдаделитделит (. Далее,и. Так как, тоделит, откуда

Если , тоделит, поэтомуне делит.

Если делит 4, и. Но тогдане делит. Значит,, противоречие с тем, чтоне делит.

Итак, , и по лемме 1.1 числоα делит , поэтомуделит. Как и выше,делит, и по лемме 2.2 имеем.

Если , то ввиду равенстваимеем, что абсурдно. Значит,и согласночислоделит. Далее,делит 7,делит 4 иделит 2. Таким образом,делит 14, противоречие. Лемма 2.3 и теорема 1 доказаны.