§ 2.3. Аналитическая аппроксимация функции н(в) неполным кубическим полиномом

Неполный кубический полином выглядит следующим образом:

Н = αB + βB³. (43)

Использование аналитической аппроксимации (43) в ряде случаев позволяет решить задачи, неразрешимые при использовании аналитической аппроксимации гиперболическим синусом. Коэффициенты α и β определяются методом избранных точек (H₁; B₁) и (Н₂; В₂). Выражение (43) аппроксимирует только функцию Н(В). Функцию Н(В) из формулы (43) получить невозможно.

Положим, в выражении (43) Н = 0, тогда получим:

В(α+βВ²) = 0. (44)

Корень B₁ = 0 соответствует прохождению кривой (43) через начало координат и качественно верному приближению кривой Н(В). Корни

(45)

в этом случае должны быть мнимыми, для чего необходимо, чтобы одновременно имело место α>0 и β>0 или α<0 и β<0. Анализ показывает, что это имеет место далеко не всегда и подбор точек (H₁; B₁) и (Н₂; В₂) с учетом пригодности аппроксимации для условий задачи и соблюдения соотношения (45) приходится проводить методом проб и ошибок.

Пример 6

Из анализа работы цепи по рис. 8 выявлено, что рабочая точка режима работы нелинейной индуктивности лежит в районе колена кривой намагничивания. Найти значения α и β в (43).

Выбираем точки: B₁ = 0,425 Тл, H₁ = 70 А/м на линейной части кривой В(Н) и В₂ = 1,23 Тл, Н₂ = 600 А/м за коленом кривой намагничивания. Подставляя величины (H₁; B₁) и (Н₂; В₂) в уравнение (43), получим:

0,425α + 0,425³β = 70,

1,23α + 1,23³β = 600.

Решая совместно систему, получим α = 120, β = 243, α>0 и β>0, условие (43) выполнено.

Уравнение (43) примет вид

Н = 120В + 243В³. (46)

Используя соотношения (14), (15) и (16) для мгновенных значений тока, магнитного потока и потокосцепления, из формулы (43) получим вебер-амперные характеристики:

, (47)

. (48)

Использование уравнений (43), (47) и (48) при решении задачи часто приводит к бикубическому уравнению вида

ax⁶+bx⁴+cx²+d = 0. (49)

Подстановкой

z = x² (50)

уравнение (49) приводится к канонической форме кубического уравнения:

az³+bz²+cz+d = 0. (51)

Разделим равенство (51) на а и введем вместо z новую переменную

. (52)

Из формулы (51) получим

y³+3py+2q = 0, (53)

где

, (54)

. (55)

В рассматриваемых задачах уравнение (53) имеет один действительный корень:

. (56)

Найдя корень уравнения (53) по формулам (52) и (50), находят корень уравнения (49).

Решение уравнения (49), по существу, сводится к извлечению корня шестой степени. Поэтому для получения значащего результата в коэффициентах уравнения (53) нужно иметь не менее шести цифр. Таким образом, при решении уравнения (49) привычные округления приводят к существенным ошибкам.

Положим

B(ωt) = В₀ + В_msinωt. (57)

Подставляя формулу (57) в равенство (43) после возведения в куб и приведения подобных членов, получим:

(58)

В преобразовании использованы известные тригонометрические формулы:

, (59)

. (60)

В усеченном тригонометрическом ряде равенства (58) содержатся постоянная слагающая, первая, вторая и третья гармоники. При В₀ = 0 формула (58) примет вид

. (61)

Равенство (61) содержит основную и третью гармоники.

Учитывая, что гармониками порядка выше третьего часто можно пренебречь, ряды (58) и (61) весьма удобны для использования.