Глава 3 резонансные явления в цепи Lн-с с нелинейной индуктивностью и линейной емкостью

§ 3.1.Феррорезонанс напряжений

Резонанс напряжений может возникнуть при последовательном соединении линейной емкости и нелинейной индуктивности. Схема замещения приведена на рис. 22.

Рис. 22

В режиме резонанса напряжения первая гармоника тока в цепи совпадает по фазе с напряжением на ее зажимах. При воздействии на схему несинусоидального напряжения резонансы могут иметь место и на нескольких гармониках одновременно, например первой и третьей, первой и пятой и т.д. Найти условия возникновения таких резонансов можно путём расчёта схемы методом гармонического баланса.

В настоящем разделе ограничимся рассмотрением резонанса напряжений по основной гармонике. Используем метод гармонической линеаризации и результаты, полученные в §2.8. Применена аналитическая аппроксимация В(Н) формулы (62).

Сопротивление нелинейной индуктивности по первой гармонике (136):

Сопротивление емкости по первой гармонике:

. (180)

Условие резонанса по первой гармонике - равенство емкостного и индуктивного сопротивлений:

X_1C=X_1H. (181)

Используя выражения (136) и (180), получим:

, (182)

(183)

В отличие от линейной цепи резонанса можно достичь не только изменением величины емкости и частоты питающей сети, но и изменением величины тока, протекающего по цепи.

Исследуем процессы в цепи по рис. 22 на конкретном примере.

Пример 15.

Дроссель ( W=800; S=13^.10^-4 м² ; =0,469 м ) включен в сеть =314 1/с. Последовательно с дросселем включена емкость С=3,5 мФ. Построить вольт-амперную характеристику цепи. Определить точку резонанса. По цепи протекает синусоидальный ток i(t)=I_msint. Используем аналитическую аппроксимацию кривой B(H) примера 7.

B=2,07·10^-3H - 0,69·10^-9H³,

Ψ=γi - εi³,

γ=4,96430·10^-3; ε=3,76450·10^-3.

Емкостное сопротивление

.

Вольт-амперная характеристика емкостного сопротивления:

U_1mc=X_1cI_m=910 I_m B. (184)

Вольт-амперная характеристика нелинейной индуктивности по первой гармонике представляет собой зависимость амплитуды первой гармоники напряжения на индуктивности от протекающего по ней тока. Подставляя в формулу (133) числовые значения, получим:

U_1mL=1152 I_m – 2515 I³_m. (185)

Вольт-амперная характеристика схемы:

U_1m=U_1mL+U_1mC. (186)

При этом будем иметь в виду, что U_1mL и U_1mC находятся в противофазе и вольт-амперная характеристика емкостного сопротивления (прямая 1, рис. 23) находятся в 4-м квадранте, а индуктивного - (кривая 2, рис. 23) в 1-м. Сумма ординат прямой 1 и кривой 2, равная ординатам кривой 3, представляет собой амплитуду напряжения на зажимах цепи U_m при различных значениях амплитуды тока в цепи I_m. Если ординаты кривой 3 положительны (кривая 3 расположена над осью абсцисс), то U_1mL>U_1mC и ток в цепи отстает по фазе на 90^º от напряжения цепи. Если ординаты кривой 3 отрицательны (кривая 3 расположена ниже оси абсцисс), то U_1mL<U_1mC и ток опережает по фазе напряжение цепи на 90^º. Ради удобства построений часть кривой 3, расположенная ниже оси абсцисс, на рис. 23 дана в зеркальном отражении.

С учетом выражений (184) и (185) уравнение (105) примет вид

U_1m=242 I_m-2515 I³_m. (187)

Точка максимума кривой 3

(188)

.

По уравнению (187) этому значению I_m соответствует U_1m=28,9 В.

Результаты вычислений по формуле (187) с учетом равенства (188) приведены в табл. 9.

Таблица 9

Im, A	0,1	0,179	0,2	0,25	0,32	0,4
U1m, B	16,7	28,9	28,3	21,3	0	-64,2

Резонанс напряжений по первой гармонике имеет место при токе I_mR=0,31 A. При этом U_1mL+U_1mC=0, напряжение на емкости и индуктивности равны по величине и противоположны по фазе. Из равенства (184)

U_1mC=910 · 0,31=282,1 B=U_1mL.

На рис. 24 кривая U_m(I_m) в районе точки резонанса приведена в увеличенном масштабе.

Фактически из-за наличия потерь в стали магнитопровода и сопротивления обмотки в режиме резонанса при токе I_mR=0,31 А на зажимах цепи будет иметь место некоторое напряжение U_md (величина U_md на рис. 24 нанесена условно). Кроме того, в U_md будет составляющая основной частоты, компенсирующая третью гармонику напряжения на нелинейной индуктивности (132).

Будем плавно изменять напряжение на входе схемы в пределах 0< U_1m< U_1ma (от нуля до точки а, лежащей на максимуме кривой 3). Ток цепи будет плавно возрастать от I_m=0 до I_m=I_ma=0,179 A. На этой части кривой U_1mL>U_1mC и ток в цепи отстает от напряжения на 90^º.

Рис. 23

При дальнейшем росте напряжения U_m>U_mа рабочая точка скачком переместится от точки а в точку b, расположенную на части кривой 3, соответствующей U_1mС>U_1mL, где ток опережает напряжение на 90^º. Таким образом, скачок тока от значения I_ma до значения I_mb сопровождается

скачкообразным изменением его фазы на 180^º. Определим величину тока I_mb. Напряжения в точках а и b равных U_ma=U_mb=-28,9 В (точка b лежит на части кривой 3, расположенной ниже оси абсцисc. (на рис. 23 пунктир 3'). Из выражения (185) получим

2515 I³_m-1152 I_m-28,9=0. (189)

Решая кубическое уравнение (189), получим I_mb=0,358 А. При повышении напряжения свыше U_mb ток будет плавно возрастать по кривой U_m(I_m). При уменьшении напряжения от значения U_mb до значения U_md ток I_m будет плавно уменьшаться до величины I_mC, определяемой остаточным напряжением U_md. При дальнейшем уменьшении напряжения рабочая точка скачком переместится из точки с в точку d, а величина тока от значения I_mc скачком уменьшится до величины I_md. При этом фаза тока скачком изменится на 180^º и опережающий емкостной ток изменится на отстающий - индуктивный.

Явление скачкообразного изменения величины тока в цепи при незначительном изменении напряжения на входе (ничтожно малого увеличения его свыше U_ma или уменьшения ниже U_md) называется триггерным эффектом в феррорезонансной цепи.

Рис. 24

Таким образом, при изменении напряжения от U_md до U_ma и обратно рабочая точка цепи на кривой 3 описывает цикл d – a – b – c - d.

Если на входе напряжение U_m U_md или U_m U_ma в цепи возможны два режима работы. Например, в точке 1 и в точке 3 (см. рис. 24), эти точки расположены на частях кривой 3, где увеличению напряжения U_m соответствует увеличение тока I_m. Точка 2 расположена на части кривой 3, где уменьшению напряжения U_m соответствует увеличение тока I_m. Режим в точке 2 неустойчив и при малейшем изменении тока рабочая точка по части a - R кривой 3 скатывается до наименьшего возможного значения тока I_m=I_mc. При увеличении напряжения U_m>U_mc=U_md рабочая точка будет перемещаться вверх по участку с - b кривой 3. При уменьшении напряжения U_m<U_mc=U_md рабочая точка скачком переместится в точку. d

При включении цепи на напряжение U_m>U_md или U_m<U_ma (см.рис. 24) схема попадет в один из двух устойчивых режимов. В какой именно, зависит от характера переходного процесса. Определим величину сопротивления R, при котором триггерный эффект исчезает. Проведем вольт-амперную характеристику сопротивления U_mR(I_m) через точку а, в которой I_m=0,179 A, U_m=28,9 B. Величина сопротивления Ом. При наличии сопротивления R результирующее напряжение на входе схемы равно

, (190)

где (u_mL-u_mC) берется по кривой 3 (рис. 23 и 24).

В точке а U_mR=(u_mL-u_mC)=28,9 B и .

В точке резонанса U_mL-U_mC=0 и U_mR=I_mRR=0,31161,5=50,1 B.

Таким образом, при суммарном активном сопротивлении обмотки цепи R 161,5 Ом кривая 3 спрямляется и провал ее, а вместе с ним и триггерный эффект исчезают. Такие явления, как неоднозначность устойчивых режимов работы, триггерный эффект, резонансные явления одновременно на разных гармониках возможны только в нелинейных цепях. Вопросы устойчивости режимов в таких целях рассматриваются в специальных курсах.