576_Maglitskij_B.R._Modelirovanie_ehlementov_i_sistem_TSRS_v_SKM_MATLAB_

высокочастотные компоненты спектра сигнала не проходят на выход идеального ФНЧ.

Искажения АЧХ типа "завал" высоких частот приводит к изменению формы (огибающей) передаваемых сигналов, затягиванию фронтов импульсов. Характерным признаком искажения ФЧХ (непостоянства ГВЗ – группового времени задерживания) в пределах полосы пропускания фильтра является асимметрия выходного сигнала при условии, что входной сигнал имеет симметричную форму.

Нелинейными называются искажения сигналов, которые возникают в нелинейных безынерционных четырехполюсниках с постоянными параметрами. Из-за наличия таких искажений спектр сигнала на выходе НЭ расширяется: в спектре колебания на выходе нелинейного преобразователя появляются дополнительные составляющие, возрастают уровни взаимных помех в канале при использовании множественного доступа с частотным разделением. Существенно нелинейными являются спутниковые каналы связи.

В настоящем учебном пособии рассматриваются только линейные каналы связи, в которых нелинейность амплитудных характеристик усилителей не проявляется. В этом случае функциональная схема канала в линейном приближении может быть упрощена (рис. 3.4):

Рис. 3.4. Функциональная схема канала

Введем обозначение: H (j ) H (j ) H (j ).

Итак, нам удалось упростить модель нелинейного инерционного канала, сведя ее к одному линейному блоку с частотной характеристикой H (j ). Рассмотрим прохождение импульсной последовательности m(t) на выход этого канала.

Реакция линейной системы на последовательность импульсов, равна сумме реакций линейной системы на отдельные импульсы. Переходный процесс, вызванный предыдущим импульсом последовательности, обычно не завершается к моменту поступления следующего. Импульсы на выходе канала связи накладываются один на другой. Взаимные искажения, возникающие в результате наложения импульсов, называют межсимвольной интерференцией

(МСИ).

Часто эти искажения являются главным препятствием на пути повышения скорости и достоверности передачи данных по каналам даже при малом уровне шума.

Межсимвольные искажения возникают во всех цифровых системах связи. Однако влияние МСИ на характеристики приемника без потери общно-

31

сти можно наглядно рассмотреть на примере системы с амплитудноимпульсной модуляцией. Введём обозначения: |H(j )| – амплитудно-частотная характеристика, определяемая ЧХ фильтров передатчика, приѐмника и радиоканала, h(t) – импульсная реакция этого канала. Пусть на такте с номером j передаѐтся отсчет («δ-импульс») с амплитудой Ij (один из М разрешенных уровней амплитуды). Сигнал z(t) на выходе канала представляет собой сумму задержанных реакций канала на каждый переданный отсчет с амплитудой Ij:

Если взятие отсчѐтов производится в момент (kT + ), где учитывает задержку момента взятия отсчета на j-м такте на выходе канала, то

Первое слагаемое в правой части (3.4) – это полезный отсчет, так как по нему можно определить амплитуду переданного импульса. Второе слагаемое отражает уровень интерференции с соседними сигналами. Каждое слагаемое в этой сумме пропорционально отсчѐту импульсной характеристики канала, смещѐнной относительно на величину (k – j)T, кратную длительности импульса.

Межсимвольные искажения отсутствуют тогда и только тогда,

когда h(jT + ) = 0, j ≠ 0, то есть когда импульсная характеристика h(t) пересекает нулевой уровень в точках, отстоящих одна от другой на величину T, за исключением точки j = 0.

3.2.2. Формирование спектра радиосигнала

Формирование спектра радиосигнала может производиться путем фильтрации сигнала, как до модулятора, так и после модуляции сигнала в передатчике. Рассмотрим первый вариант фильтрации.

Известно несколько используемых типов формы элементарного импульса, которые обеспечивают уменьшение, как мощности межсимвольной интерференции, так и ширины спектра радиосигнала.

Впервые проблему уменьшения межсимвольной интерференции (МСИ) при ограниченной полосе пропускания канала рассматривал Найквист. Он обратил внимание на то, что МСИ можно полностью исключить, если общий отклик системы, включая передатчик, канал и приемник, построить таким образом, чтобы при каждом отсчете мгновенного значения сигнала в приемнике значения всех символов, кроме текущего, были равны нулю. Если обозначить символом h(t) импульсный отклик (характеристика) всей системы, то это требование можно записать в виде следующего ограничения на функцию h(t):

32

где Tс – длительность интервала времени, на котором передается очередной канальный символ.

Если характеристика h(t) обращается в нуль в равноотстоящих точках, за исключением точки ее максимума, то говорят, что функция h(t) удовлетворяет свойству отсчетности или первому критерию Найквиста.

3.2.3. Теорема Найквиста о минимальной полосе частот канала связи

Если синхронные короткие импульсы с частотой следования fs символов в секунду подаются в канал, имеющий идеальную прямоугольную частотную характеристику с частотой среза fN = fs / 2 Гц, отклики на эти импульсы можно наблюдать независимо, т. е. без межсимвольных искажений.

Доказательство теоремы следует из формы импульсной характеристики идеального прямоугольного фильтра. Объяснение приводится на рисунке 3.5.

t

Отклики

импульсов

Ts

fN = 1/2ТS

Отсчеты

Рис. 3.5. Иллюстрация отсутствия межсимвольной интерференции

Таким образом, минимальная полоса частот канала связи на низкой (baseband) частоте равна половине символьной скорости. В радиоканале (после модуляции несущей частоты) минимальная полоса частот равна символьной скорости.

33

Однако фильтров с идеальной прямоугольной частотной характеристикой не существует.

Тем не менее, существуют фильтры, удовлетворяющие условию передачи без межсимвольных искажений, но они имеют несколько расширенную полосу по сравнению с минимальной.

Общий вид характеристики таких фильтров описывается следующей теоремой Найквиста.

3.2.4. Теорема Найквиста о частичной симметрии: фильтры с характеристикой приподнятого косинуса

Суммирование действительной кососимметричной функции передачи

схарактеристикой передачи идеального фильтра НЧ сохраняет моменты пересечения импульсной характеристики с нулевой осью. Эти пересечения

снулевой осью обеспечивают необходимое условие передачи без межсимвольных искажений.

Свойство симметрии Y(ω) относительно частоты среза ωN (угловая частота Найквиста ωN = 2πfN) фильтра с прямоугольной частотной характеристикой и линейной фазой определяется выражением:

Одна из самых простых интерпретаций этой теоремы представлена на рисунке 3.6.

Одной из наиболее часто используемых функций, удовлетворяющих теореме о частичной симметрии, является функция приподнятого косинуса, АЧХ которого имеет вид:

величина α называется коэффициентом округления фильтра (Roll off) и принимает значения от 0 до 1.

Чем меньше α, тем меньше полоса пропускания фильтра, но больше дрожание фронтов сигнала (джиттер), что приводит к трудностям синхронизации. При α = 0 получается нереализуемый фильтр с минимальной шириной полосы fN. При α = 1 ширина полосы 2fN в два раза больше минимальной теоретической полосы, но дрожание фронтов отсутствует.

34

Рис. 3.7. АЧХ фильтра типа «приподнятый косинус»

35

Импульсная характеристика фильтра с косинусоидальным сглаживанием, полученная методом моделирования, приведена на рисунке 3.8.

Рис. 3.8. Импульсная характеристика фильтра приподнятого косинуса

Спектральная эффективность, которую может обеспечить фильтр приподнятого косинуса, может быть достигнута только в случае сохранения точной формы огибающей сигнала на радиочастоте. Это требование не всегда легко выполняется, так как требуются линейные усилители мощности в передатчике, коэффициент полезного действия которых невелик. Небольшие искажения формы огибающей могут привести к существенному возрастанию занимаемой полосы частот передаваемым сигналом. Если не осуществлять надлежащий контроль, то это может привести к значительному возрастанию помех для соседних частотных каналов.

Сквозная частотная характеристика H(j ) всей системы радиосвязи приближенно можно представить как произведение частотных характеристик наиболее узкополосных фильтров приемника и передатчика. При этом наиболее «подходящими» оказываются фильтры с коэффициентом передачи:

| H1(j ) | = | H2(j )| = | H ( j ) |

как в передатчике, так и в приемнике («корень из приподнятого косинуса» ‒

Square root).

Целесообразность использования такого разбиения одной АЧХ на две одинаковые объясняется тем, что в этом случае эквивалентная ЧХ приемного

36

тракта согласована с сигналом передатчика и, следовательно, обеспечивает наибольшее значение отношения сигнал/шум в моменты взятия отсчетов.

Кроме того, будут выполняться требования подавления МСИ при минимально возможной ширине полосы пропускания канала.

Для формирования сигнала основной полосы не обязательно использовать фильтр Найквиста. Один из методов, который применяется достаточно часто, состоит в том, чтобы использовать гауссовский формирующий фильтр.

3.2.5. Гауссов фильтр (Gaussian Filter)

Этот фильтр особенно полезно применять при модуляции радиосигнала с минимальным сдвигом частоты или при нелинейных методах модуляции, которые допускают использование эффективных нелинейных усилителей. В отличие от формирующих фильтров Найквиста, которые имеют усеченные импульсные отклики с нулевыми значениями в моменты отсчетов соседних символов, гауссовский фильтр имеет гладкий импульсный отклик, нигде не пересекающий нулевой уровень. Гауссовский фильтр имеет следующую передаточную функцию:

Значение параметра α можно определить через значение полосы пропускания фильтра на уровне –3 дБ. При f = B/2 имеем [13]:

Импульсный отклик гауссова фильтра равен:

2

Ввыражение (3.10) можно ввести произведение ширины полосы В гаус-

совского фильтра и длительности Тс элементарного символа. Для этого доста-

точно в показатель экспоненты вместо α подставить его значение из (3.9). Тогда получим выражение: (3.10)t 2 .h(t) exp

37

На рисунке 3.9 изображены графики функции (3.11) для некоторых значений произведения ВТс при α = 1,0.

Гауссовский фильтр обеспечивает возможность формирования достаточно узкой занимаемой полосы частот (хотя и несколько большей полосы, формируемой фильтром приподнятого косинуса). Его график передаточной функции быстро убывает с ростом частоты. Этим обеспечивается низкий уровень внеполосных излучений. Фильтр относительно малочувствителен к искажениям формы импульсного отклика. Все эти свойства фильтра являются положительными для его применений при реализации методов модуляции при использовании нелинейных усилителей и наличии искажений формы импульсов при передаче. Однако гауссовский фильтр не удовлетворяет условиям Найквиста, что приводит к более высоким уровням межсимвольных искажений. Так что экономия занимаемой полосы сопровождается повышением вероятности ошибок при приеме.

h(t)

1,8

1,6

ВТс=0,5

1,4

1,2

ВТс=0,3

1,0

0,8

ВТс=0,2

0,6

0,4

0,2

t/Тс

0

Рис. 3.9. Импульсный отклик гауссовского формирующего фильтра

Гауссовский формирующий фильтр может оказаться полезным в тех случаях, когда важнейшим фактором при построении системы связи является стоимость, которую желательно снизить даже за счет некоторого увеличения вероятности ошибки по сравнению с требуемым номинальным значением.

38

Применение Гауссова фильтра приводит к межсимвольной интерференции тем больше, чем меньше BT.

Уменьшение BT приводит к расширению эффективной длительности импульсной характеристики фильтра и увеличению межсимвольной интерференции. Для визуальной оценки межсимвольной интерференции удобно использовать глаз‒диаграммы представленные на рисунке 3.10.

Рис. 3.10. Глаз‒диаграммы сигнала при ВТ = 1; 0.7; 0.5; 0.3

Из рисунков видно, что с уменьшением BT межсимвольная интерференция усиливается ввиду расширения фильтра Гаусса.

Если в системах передачи информации не используются сигналы Найквиста, то искажения, вносимые каналом, компенсируют в приемнике специальными устройствами – эквалайзерами [3].

39

4.Взаимосвязь скорости передачи данных и энергетических затрат

вцифровых системах радиосвязи

4.1. Формула Шеннона о пропускной способности канала связи

Пропускной способностью канала связи называется максимально возможная при определенных условиях скорость передачи данных в канале.

По Найквисту для цифрового канала без шумов при двухуровневых сигналах (символьная скорость равна битовой скорости передачи (Rs = Rb)) без межсимвольной интерференции пропускная способность канала обработки (передача в основной полосе частот) ограничена удвоенной полосой BN:

Полоса BN – полоса Найквиста. То есть:

В случае многоуровневых сигналов (число уровней сигнала М > 2) символьная скорость передачи в основной полосе частот Rs* равна:

Rs* = Rb / n, символ/с,

где n – число битов, переносимых одним символом:

n = log2 M.

В этом случае формула Найквиста принимает вид:

где BN* = BN log2 М = Rb/2 (log2 М) = 1/ (2Ts ), где Ts* = Tb (log2 М).

В приведенных формулах под полосой Найквиста BN (BN*) понимается полоса идеального фильтра, имеющего прямоугольную частотную характеристику (типа «кирпичная стена»).

На практике такую характеристику получить невозможно. Поэтому в реальных условиях используют фильтры с АЧХ в виде наклонносимметричной функции «приподнятый косинус» (RC – Raised Cosine) (рис. 4.1 гладкая кривая).

Функция RC характеризуется коэффициентом спада АЧХ α (Roll-off- Factor). Параметр α характеризует избыток полосы обработки BN относитель-

40