Задание 2

1.Текст задания

Для системы со структурной схемой из задачи 1 принять:

, ,

что соответствует ПИ-закону регулирования. Определить параметры настройки регулятора (коэффициент передачи и постоянную времени изодрома ), обеспечивающие устойчивость замкнутой системы. Построить зависимость установившейся ошибки при параболическом воздействии от коэффициента .

2. Вариант.

ПФ будут описаны следующими уравнениями:

3. Выполнение задания. Найдем ПФ замкнутой системы:

Определим параметры системы, при которых она является устойчивой. Используем критерий устойчивости Стодолы, который заключается в том, что все коэффициенты характеристического полинома должны быть либо строго положительны, либо строго отрицательными. Имеем

Отметим, что для систем 3 порядка и выше данное определение является только необходимым, но не достаточным условием для определения устойчивости.

Воспользуемся алгебраическим критерием устойчивости Гурвица. Необходимое и достаточное условие которого заключается в том , чтобы все Запишем ХП замкнутой системы (коэффициенты по степеням уже скомпонованы):

Составим матрицу Гурвица:

Рассмотрим следующие миноры:

(по теореме о разлож. det)

В результате всего вышеизложенного имеем следующую систему:

Найдены параметры настройки регулятора, обеспечивающие устойчивость замкнутой системы.

Найдем установившуюся ошибку для задающего воздействия Применим преобразование Лапласа к воздействиям:

Передаточные функции системы по ошибке от задающего и возмущающего воздействий определяются выражением

Изображение ошибки:

Определим установившуюся ошибку при квадратичном воздействии g(t):

Таким образом, установившаяся ошибка уменьшается с увеличением . Используя программные средства MATLAB/Simulink построим график зависимости установившейся ошибки от коэффициента (рис. 6).

Рис. 6. Зависимости при воздействии от коэффициента

4. Ответы на вопросы.

Вопрос 1. Какое минимальное значение установившейся ошибки при заданном воздействии можно обеспечить в этой системе?

Ответ:

Исходя из выражения, полученного выше ( ) , минимальная величина ошибки достигается при

Вопрос 2. Как изменяется характер переходного процесса в системе на воздействие при возрастании коэффициента ?

Ответ:

Используя программные средства MATLAB/Simulink построим график реакции переходного процесса в системе на воздействие при возрастании коэффициента и (рис. 7).

Рис. 7. Переходный процесс в системе при воздействии (серый) для различных значений .

Из вышеприведенного графика видно, что при увеличении коэффициента величина ошибки падает, и система лучше воспроизводит задающее воздействие.

Вопрос 3. Каким будет установившийся режим в системе при выборе c? Дать пояснения.

Ответ:

В полученном раннее выражении ХП замкнутой системы подставим указанное значение постоянной времени:

Составим матрицу Гурвица:

Рассмотрим минор второго порядка:

Следовательно, система находится на границе устойчивости при При система является неустойчивой. Переходный процесс имеет вид незатухающих колебаний.

Используя программные средства MATLAB/Simulink построим график переходной характеристики приняв при (рис. 8).

Исходя из графика видно, что переходный процесс действительно представлен в виде незатухающих колебаний с амплитудой 2. Стоит отметить, что увеличение приводит к увеличению частоты колебаний.

Рис. 8. Переходная характеристика ПФ приняв при